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文檔簡介

6.4求和方法(精練)【題組一公式法】1.(2021·黑龍江佳木斯市)已知等差數(shù)列滿足a1+a2=4,a4+a5+a6=27.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前n項和Sn.【答案】(1);(2).【解析】(1)由題意,設等差數(shù)列的公差為d,則∴,∴.(2),∴,∵,又,∴數(shù)列為等比數(shù)列,且首項為2,公比為4,∴.2.(2021·黑龍江佳木斯市)已知等差數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若設,求數(shù)列的前項和.【答案】(1),;(2).【解析】(1)由題意,設等差數(shù)列的公差為,則,解得,∴,.(2)由(1)知,,故數(shù)列是以2為首項,4為公比的等比數(shù)列,∴.3.(2021·四川攀枝花市·高三一模(文))在公差不為零的等差數(shù)列中,,且成等比數(shù)列.(1)求的通項公式;(2)設,求數(shù)列的前n項和.【答案】(1);(2).【解析】(1)設等差數(shù)列的公差為,由已知得,則,將代入并化簡得,解得或(舍去).所以.(2)由(1)知,所以,所以,即數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.所以.4.(2020·揚州市第一中學高二月考)設遞增等比數(shù)列的前項和為,已知,且,,成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)令,求.【答案】(1)(2)4480【解析】(1)由題意得:,設等比數(shù)列的公比為,則,解得:,或是遞增數(shù)列,,;所以(2)由(1)知:,,當時,;當時,;【題組二裂項相消】1.(2021·湖北武漢市·漢陽一中高三其他模擬)已知在數(shù)列中,前n項和為,若.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1);(2).【解析】(1)在數(shù)列中,①∵②且,∴①式÷②式得:,∴數(shù)列以為首項,公差為1的等差數(shù)列,∴∴,當時,;當時,,不滿足上式,∴數(shù)列的通項公式為.(2)由(1)知,,則數(shù)列的前項和,當時,,當時,,當時也滿足上式,故有.2.(2021·廣東高三其他模擬)已知數(shù)列的前項和為,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若數(shù)列滿足,,求數(shù)列的前項和.【答案】(1);(2).【解析】(1)由題意,數(shù)列的前項和為,可得,,因為,所以,解得,所以,,因為當時,,所以.當時,符合上式,所以數(shù)列的通項公式為.(2)由(1)知,可得,所以,,,……,,所以,又由,可得,當時,,滿足上式,所以.所以,所以.3.(2021·四川成都市·成都七中)已知等差數(shù)列的前n項和為,其中r為常數(shù).(1)求r的值;(2)設,求數(shù)列的前n項和.【答案】(1);(2).【解析】(1)先求前三項,,,,由為等差數(shù)列,所以,所以,即;(2)由(1)知,,也滿足,所以,所以,所以,所以.4.(2021·河南商丘市·高三月考(文))已知數(shù)列滿足,且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設,求數(shù)列的前n項和.【答案】(1);(2).【解析】(1)由條件,可得,又所以數(shù)列是首項為2,公差為1的等差數(shù)列,所以因此(2).所以,5.(2021·重慶一中高三其他模擬)已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設,求數(shù)列的前n項和.【答案】(1);(2).【解析】(1)由,可得=1,則數(shù)列是首項為=1,公差為1的等差數(shù)列,則=,即;(2),.【題組三錯位相減】1.(2021·全國高三其他模擬(理))已知等差數(shù)列滿足,正項等比數(shù)列滿足首項為1,前3項和為7.(1)求與的通項公式;(2)求的前n項和.【答案】(1),;(2).【解析】解:(1)設等差數(shù)列的公差為d,由,可得,解得,則;設正項等比數(shù)列的公比為q,q>0,由首項為1,前3項和為7,可得,解得q=2,則;(2)由(1)可得,所以,則,兩式相減可得=,所以.2.(2021·河南高三其他模擬(文))已知正項數(shù)列{an}滿足,且.(1)求{an}的通項公式;(2)若,求{bn}的前n項和Tn.【答案】(1);(2).【解析】(1)正項數(shù)列{an}滿足an2=an﹣1?an+1(n≥2),可得數(shù)列{an}為等比數(shù)列,設公比為q,q>0,由a2=2,a5=4a3,可得a1q=2,a1q4=4a1q2,解得a1=1,q=2,則an=2n﹣1;(2),,兩式相減可得化簡可得3.(2021·福建廈門市·廈門雙十中學高三其他模擬)在①,,②,,③點在直線上,這三個條件中任選一個,補充到下面的問題中,并解答.已知數(shù)列的前n項和為,___________.(1)求的通項公式;(2)若,求的前項和.【答案】條件選擇見解析;(1);(2).【解析】(1)方案一:選條件①.∵,∴當時,,兩式相減,整理得,∵,∴,,所以,∴數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,∴.方案二:選條件②.∵,∴當時,,兩式相減,整理得,∵,,∴,,所以,∴數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列.∴方案三:選條件③.∵點在直線上,∴,∴,兩式相減,整理得,當時,,得,∴數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,∴.(2)由(1)可得,,則,,兩式相減得∴.4.(2021·山東高三其他模擬)在①,②是公差為1的等差數(shù)列,③,這三個條件中任選一個,補充到下面的問題中并作答.問題:在遞增的等差數(shù)列中,為數(shù)列的前項和,已知,______,數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,設,為數(shù)列的前項和,求使成立的最小正整數(shù)的值.注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.【答案】7【解析】設數(shù)列的公差為,若選條件①:,,解得(舍負),故;若選條件②:是公差為1的等差數(shù)列,,則,當時,,滿足,;若選條件③:,,解得(舍去)或,故.由已知可得,則,則,,兩式相減可得,所以,,顯然,當時,,即,又,所以最小正整數(shù)的值為7.5.(2021·四川高三月考(理))在正項等比數(shù)列中,,且,,是等差數(shù)列的前三項.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)設,求數(shù)列的前項和.【答案】(1),;(2).【解析】(1)因為,所以,所以或,因為,所以,所以,因為的前三項分別是8,16,24,所以.(2)因為=,所以①②①-②得,所以.【題組四分組求和】1.(2021·全國高三二模)已知等差數(shù)列和正項等比數(shù)列滿足:,,且是和的等差中項.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)設,求數(shù)列的前項和.【答案】(1),;(2).【解析】(1)設為數(shù)列的公差,為數(shù)列的公比,由題意得,即,解得或,∵數(shù)列各項均為正,所以,即.∴.,解得,∴(2)由(1)得:,所以.所以.2.(2021·全國高三二模)已知數(shù)列的前項和為,且,在等差數(shù)列中,(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)定義;.記,求數(shù)列的前項和.【答案】(1);;(2).【解析】(1)對于數(shù)列,當時,得,當時,由,得,兩式相減得也滿足上式,所以數(shù)列的通項公式為.設等差數(shù)列的公差為,,,所以,所以數(shù)列的通項公式為.(2)由題意知﹐,即當時,,當時,,,,所以.3.(2021·北京高三二模)已知數(shù)列的前項和為,,從條件①、條件②和條件③中選擇兩個作為已知,并完成解答.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設等比數(shù)列滿足,,求數(shù)列的前項和.條件①:;條件②:;條件③:.【答案】(1);(2)【解析】(不能選擇①③作為已知條件)若選擇①②作為已知條件.因為,,所以數(shù)列是以為首項,公差的等差數(shù)列.所以.若選擇②③作為已知條件.因為,所以數(shù)列是以為首項,公差為的等差數(shù)列.因為,所以.所以,解得.所以.(2)設等比數(shù)列的公比為,結(jié)合(1)可得,,所以,所以.所以等比數(shù)列的通項公式為.所以所以.4.(2021·寧波市北侖中學高三其他模擬)已知數(shù)列滿足,記數(shù)列的前項和為,(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列,并求其通項;(2)求的前項和及的前項和為.【答案】(1)證明見解析;;(2);.【解析】(1)因為,,,所以,又,所以數(shù)列是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,因此;(2)由(1)可得①,則②,①②得,則;設,則,所以;;因此.【題組五倒序相加】1.(2021·全國高三專題練習(理))已知數(shù)列的前項和為,滿足,(均為常數(shù)),且.設函數(shù),記,則數(shù)列的前項和為()A. B. C. D.【答案】D【解析】因為,由,得,又也滿足上式,所以,則為常數(shù),所以數(shù)列為等差數(shù)列;所以,.則數(shù)列的前項和為,記,則,所以,因此.故選:D.2.(2020·靜寧縣第一中學高三月考(理))已知函數(shù)為奇函數(shù),,即,則數(shù)列的前項和為()A. B. C. D.【答案】B【解析】由于函數(shù)為奇函數(shù),則,即,,,所以,,因此,數(shù)列的前項和為.故選:B.3.(2020·內(nèi)蒙古包頭市·高三二模(理))已知函數(shù)滿足,若數(shù)列滿足,則數(shù)列的前20項和為()A.100 B.105 C.110 D.115【答案】D【解析】函數(shù)滿足,①,②,由①②可得,,所以數(shù)列是首項為1,公差為的等差數(shù)列,其前20項和為.故選:D.4.(2021·寧都中學)已知若等比數(shù)列滿足則()A. B.1010 C.2019 D.2020【答案】D【解析】等比數(shù)列滿足即2020故選:D5.(2020·全國高三專題練習)設函數(shù),利用課本(蘇教版必修)中推導等差數(shù)列前項和的方法,求得的值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】,,設,則,兩式相加得,因此,.故選:B.【題組六奇偶并項求和】1.(2021·吉林吉林市)已知等比數(shù)列的前n項和為.(1)求m的值,并求出數(shù)列的通項公式;(2)令,設為數(shù)列的前n項和,求.【答案】(1),;(2).【解析】(1)法一:當時,當時,∵是等比數(shù)列,∴,即,解得綜上,的值為,數(shù)列的通項公式為.法二:∵,,∵是等比數(shù)列,∴,即,解得,設的公比為,∴,,則.(2)∵,∴.2.(2021·河北衡水中學高三其他模擬)已知正項數(shù)列,其前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式:(2)設,求數(shù)列的前項

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