p05測(cè)量誤差的基本知識(shí)

第五章測(cè)量誤差基本知識(shí)§5.1測(cè)量誤差概念

§5.2評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)

§5.3觀測(cè)值的算術(shù)平均值及改正數(shù)

§5.4觀測(cè)值的精度評(píng)定§5.5誤差傳播定律§5.6誤差傳播定律的應(yīng)用§5.7加權(quán)平均值及其中誤差§5.1測(cè)量誤差概念

測(cè)量實(shí)踐中可以發(fā)現(xiàn)，測(cè)量結(jié)果不可避免的存在誤差，比如：1、對(duì)同一量多次觀測(cè)，其觀測(cè)值不相同。2、觀測(cè)值之和不等于理論值： 三角形α+β+γ≠180°

閉合水準(zhǔn)∑h≠0一、測(cè)量誤差的來源

同精度觀測(cè)：觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)。不同精度觀測(cè)：觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)。1.儀器誤差2.觀測(cè)誤差3.外界條件的影響觀測(cè)條件粗差：因讀錯(cuò)、記錯(cuò)、測(cè)錯(cuò)造成的錯(cuò)誤。二、測(cè)量誤差的分類

在相同的觀測(cè)條件下，無論在個(gè)體和群體上，呈現(xiàn)出以下特性：誤差的絕對(duì)值為一常量，或按一定的規(guī)律變化；誤差的正負(fù)號(hào)保持不變，或按一定的規(guī)律變化；誤差的絕對(duì)值隨著單一觀測(cè)值的倍數(shù)而積累。1、系統(tǒng)誤差—

誤差的大小、符號(hào)相同或按一定的規(guī)律變化。

例：鋼尺—尺長(zhǎng)、溫度、傾斜改正水準(zhǔn)儀—

i角經(jīng)緯儀—

c角、i角

注意：系統(tǒng)誤差具有累積性，對(duì)測(cè)量成果影響較大。

消除和削弱的方法:

（1）校正儀器；（2）觀測(cè)值加改正數(shù)；（3）采用一定的觀測(cè)方法加以抵消或削弱。

在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某個(gè)固定量作一系列的觀測(cè)，如果觀測(cè)結(jié)果的差異在正負(fù)號(hào)及數(shù)值上，都沒有表現(xiàn)出一致的傾向，即沒有任何規(guī)律性，這類誤差稱為偶然誤差。2、偶然誤差

偶然誤差的特性真誤差:理論值與觀測(cè)值之差例對(duì)一個(gè)角度觀測(cè)如下:③絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，可相互抵消；④同一量的同精度觀測(cè)，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測(cè)次數(shù)的增加而趨近于零，即：

①在一定的條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限度;（有界性）②絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)要多；（密集性、區(qū)間性）（抵償性）

誤差處理的原則：1、粗差：舍棄含有粗差的觀測(cè)值，并重新進(jìn)行觀測(cè)。2、系統(tǒng)誤差：按其產(chǎn)生的原因和規(guī)律加以改正、抵消和削弱。3、偶然誤差：根據(jù)誤差特性合理的處理觀測(cè)數(shù)據(jù)減少其影響。返回精度：

又稱精密度，指在對(duì)某量進(jìn)行多次觀測(cè)中，各觀測(cè)值之間的離散程度。評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)

中誤差容許誤差相對(duì)誤差§5.2評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)一、中誤差

定義在相同條件下，對(duì)某量（真值為X）進(jìn)行n次獨(dú)立觀測(cè)，觀測(cè)值l1，l2，……，ln，偶然誤差（真誤差）Δ1，Δ2，……，Δn，則中誤差m的定義為：式中式中：例：試根據(jù)下表數(shù)據(jù)，分別計(jì)算各組觀測(cè)值的中誤差。解：第一組觀測(cè)值的中誤差：第二組觀測(cè)值的中誤差：，說明第一組的精度高于第二組的精度。說明：中誤差越小，觀測(cè)精度越高

定義由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值。這個(gè)限值就是容許（極限）誤差。

二、容許誤差（極限誤差）

測(cè)量中通常取2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的容許誤差；即Δ容=2m或Δ容=3m。極限誤差的作用：區(qū)別誤差和錯(cuò)誤的界限。

相對(duì)誤差K是中誤差的絕對(duì)值m

與相應(yīng)觀測(cè)值D

之比，通常以分母為1的分式來表示，稱其為相對(duì)（中）誤差。即:三、相對(duì)誤差例已知：D1=100m,m1=±0.01m,D2=200m,m2=±0.01m，求：K1,K2解：§5.3觀測(cè)值的算術(shù)平均值及其改正值觀測(cè)值精度評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)

中誤差容許誤差相對(duì)誤差一、算術(shù)平均值（最或然值）

是指對(duì)某未知量進(jìn)行n次同精度觀測(cè)，其觀測(cè)值分別為，將這些觀測(cè)值取平均值作為該未知量的最可靠的數(shù)值。二、觀測(cè)值中誤差計(jì)算1.按觀測(cè)值的改正值計(jì)算中誤差a.觀測(cè)值的改正值的計(jì)算觀測(cè)值的改正值：即算術(shù)平均值與觀測(cè)值之差b.按觀測(cè)值的改正值計(jì)算中誤差c.按觀測(cè)算術(shù)平均值的中誤差計(jì)算（白塞爾公式）例對(duì)某一段水平距離觀測(cè)了6次，試求：例設(shè)用經(jīng)緯儀測(cè)量某個(gè)角6測(cè)回，觀測(cè)之列于中。試求觀測(cè)值的中誤差及算術(shù)平均值中誤差。算術(shù)平均值中誤差是：返回

概念

誤差傳播定律：闡述觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值函數(shù)中誤差的關(guān)系的定律。函數(shù)形式倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)&5.5誤差傳播定律設(shè)非線性函數(shù)的一般式為：式中：為獨(dú)立觀測(cè)值；為獨(dú)立觀測(cè)值的中誤差。求函數(shù)的全微分，并用“Δ”替代“d”，得一、一般函數(shù)式中：是函數(shù)F對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)函數(shù)式與觀測(cè)值確定后，它們均為常數(shù)。

為了求得函數(shù)和觀測(cè)值之間的中誤差關(guān)系，假設(shè)對(duì)進(jìn)行了k次觀測(cè)，則上式可寫為：

將以上各式等號(hào)兩邊平方，再相加得：將上式兩端各除于k，可得：當(dāng)k值為有限次時(shí)，則：即：誤差傳播定律的一般形式例已知：測(cè)量斜邊D′=50.00±0.05m，測(cè)得傾角α=15°00′00″±30″求：水平距離D中誤差mD。解：1.函數(shù)式

2.全微分

3.求中誤差誤差傳播定的幾個(gè)主要公式：函數(shù)名稱函數(shù)式函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)返回&5.6誤差傳播定律的應(yīng)用

1.列出觀測(cè)值函數(shù)的表達(dá)式：

2.對(duì)函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與觀測(cè)值真誤差之間的關(guān)系式：式中，是用觀測(cè)值代入求得的值。

求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的步驟：三、運(yùn)用誤差傳播定律的步驟

3、根據(jù)誤差傳播率計(jì)算觀測(cè)值函數(shù)中誤差：

注意：在誤差傳播定律的推導(dǎo)過程中，要求觀測(cè)值必須是獨(dú)立觀測(cè)值。§5.7加權(quán)平均值及其中誤差1算術(shù)平均值 對(duì)一個(gè)量進(jìn)行同精度觀測(cè)n次,假設(shè)真值為x，則每一次的真誤差為

（3）式是由偶然誤差第四特性知道，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增多時(shí)，即（算術(shù)平均值）說明，n趨近無窮大時(shí)，算術(shù)平均值即為真值。2算術(shù)平均值的中誤差如果是同精度觀測(cè),每個(gè)觀測(cè)值的中誤差都是一樣的,根據(jù)誤差傳播定律可得算術(shù)平均值的中誤差M.說明算術(shù)平均值中誤差比觀測(cè)值中誤差提高了 倍。一般來說，當(dāng)n大于20后,提高不明顯。算例改正值平均值3加權(quán)平均值（1）權(quán)的意義同精度觀測(cè)算術(shù)平均值作為最或然值不同精度觀測(cè)？（2）權(quán)的定義（1）對(duì)未知量進(jìn)行了n次的同精度觀測(cè)，得到l1,l2…,ln1,ln1+1,ln1+2,….Ln1+n2（n=n1+n2

）,（2）現(xiàn)將n個(gè)觀測(cè)值分為兩組，第一組有n1個(gè)觀測(cè)值，第二組有n2個(gè)觀測(cè)值。（3）分別求兩組的算術(shù)平均值，并以L1,L2表示為以觀測(cè)值的中誤差為m，則這兩組算術(shù)平均值的中誤差分別為：從上式可以看出，當(dāng)n1≠n2時(shí)，L1,L2的精度是不同的根據(jù)全部同精度觀測(cè)值求該未知量的最或然值顧及兩組的算術(shù)平均值公式，得由上式可知，如將L1,L2看成兩個(gè)不同精度的觀測(cè)值，則為求被觀測(cè)值的最或然值時(shí)，在本例的情況下，只要考慮求得它們的觀測(cè)次數(shù)n1和n2，代入下式即可為得到不同精度觀測(cè)值求被觀測(cè)量的最或然值的一般公式時(shí)，可將代入得從上式可見，如果將上式的m2換成另一常數(shù)C，并不影響x的值。因此，在測(cè)量工作中，令由權(quán)的定義式及上式可以看出，

Li的精度越高，即mi越小，而Pi越大，相應(yīng)的Li在x中的比重就越大；反之，

Li的精度越低，即mi越大，而Pi越小，相應(yīng)的Li在x中的比重就越小也就是說，Pi值的大小，權(quán)衡了觀測(cè)值Li在x中所占比重的大小，故稱Pi為L(zhǎng)i的權(quán)。得到例已知L1的中誤差m1=±3mm，

L2的中誤差m2=±4mm，L3的中誤差m3=±5mm，求各觀測(cè)值的權(quán)。解：（1）設(shè)C=m1=±3mm，則

（2）單位權(quán)中誤差單位權(quán)觀測(cè)值中誤差計(jì)算舉例：1、已知真值的情況計(jì)算中誤差

如：對(duì)一個(gè)三角形內(nèi)角重復(fù)觀測(cè)5次，觀測(cè)結(jié)果如下：180°00′30″，179°59′36″，180°00′36″，179°59′18″，180°00′48″求觀測(cè)值中誤差。 觀測(cè)值 真誤差△

△△

180°00′12″ ＋12″ 144″179°59′36″ －24 576180°00′30″ ＋30 900179°59′48″ －12 144180°00′06″ ＋06 36理論值:180° 2、不知道真值,求觀測(cè)值中誤差的計(jì)算

如對(duì)一角度進(jìn)行4次觀測(cè),觀測(cè)數(shù)據(jù)如下:

觀測(cè)值 V VV

502930 －30 90050300000 00503012＋12 144503018 ＋18 324平均值為:50300001368″

距離測(cè)量計(jì)算舉例1：

1往返丈量一段距離，往量得250.015m,返量得250.005m.求這段距離丈量的相對(duì)誤差?解:D平=250.010m,往返較差m=0.01m,則相對(duì)誤差K=1/(250.01/0.01)=1/25000距離測(cè)量例2:

對(duì)一段距離觀測(cè)了5次,得150.005m、150.008m、150.000m、150.003m、150.006m.試計(jì)算這段距離的最或然值、最或然值的中誤差、相對(duì)中誤差、測(cè)量一次的中誤差？解：(1)5次結(jié)果的平均值（即最或然值）：150.0044;(2)改正值v:＋0.6,＋3.6,-4.4,-1.4,＋1.6

(5)K=1/(150/0.00186)=1/80645 (相對(duì)中誤差)

誤差傳播定律應(yīng)用實(shí)例1.倍數(shù)函數(shù)例：在1∶2000地形圖上，量得一段距離為23.2cm，其測(cè)量中誤差±0.1cm，求該段距離的實(shí)地長(zhǎng)度及中誤差?！窘狻?/p>

（1）圖上量得的距離對(duì)應(yīng)的實(shí)地長(zhǎng)度：23.2×2000=464m（2）實(shí)地長(zhǎng)度的中誤差2000×0.1=200cm=2m（3）實(shí)地長(zhǎng)度：464m±2m觀測(cè)值與常數(shù)乘積的中誤差=觀測(cè)值的中誤差×常熟2.和差函數(shù)例：在一個(gè)直角三角形中，獨(dú)立丈量了兩條直角邊a，b，其中誤差均為m，試推導(dǎo)由a，b邊計(jì)算所得斜邊c的中誤差的公式？【解】（1）斜邊的計(jì)算公式為，（2）全微分得：（3）應(yīng)用誤差傳播定律得：

觀測(cè)值代數(shù)和的中誤差平方=各觀測(cè)值中誤差的平方之和當(dāng)z是一組觀測(cè)值x1，x2，…xn代數(shù)和或差的中誤差時(shí)，即z=x1±x2

…±

xn，則可得到函數(shù)z的中誤差平方為：若這些觀測(cè)值都為同精度觀測(cè)值時(shí)（中誤差都為m），則上式將為：總結(jié)和回顧:

誤差傳播定律（線性函數(shù)）設(shè)t個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值的線性函數(shù)則有假若對(duì)該組觀測(cè)值進(jìn)行n次觀測(cè)，有將上列n個(gè)式子平方后求和，得

其中有誤差傳播定律（線性函數(shù)）兩種特殊情況（1）設(shè)Z是一組同精度獨(dú)立觀測(cè)值的代數(shù)和，該組觀測(cè)值的中誤差均為m，即則（2）對(duì)某量同精度觀測(cè)n次，算術(shù)平均值為設(shè)一次觀測(cè)的中誤差為m,則誤差傳播定律（非線性函數(shù)）設(shè)t個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值的非線性函數(shù)對(duì)該式求全微分，并用真誤差代替微分量，有再利用線性函數(shù)的誤差傳播定律公式，可得

誤差傳播定律在測(cè)量上應(yīng)用舉例（1）水準(zhǔn)測(cè)量的精度設(shè)A、B兩水準(zhǔn)點(diǎn)間的高差h施測(cè)了n個(gè)測(cè)站，則若各測(cè)站觀測(cè)的精度相同，其中誤差均為，則。設(shè)各測(cè)站的S大致相等，A、B間的距離為L(zhǎng)，則測(cè)站數(shù)如果L、S均以千米為單位，則為一千米觀測(cè)高差的中誤差，令

則有誤差傳播定律在測(cè)量上應(yīng)用舉例（2）距離丈量的精度若用長(zhǎng)度為l的鋼尺量距，連續(xù)丈量n個(gè)尺段，設(shè)全長(zhǎng)為D，則設(shè)每尺段的量距中誤差為則其中是定值，為單位長(zhǎng)度的量距中