概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章習(xí)題答案

習(xí)題二1.一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在此中同時(shí)取3只，以X表示拿出的3只球中的最大號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)變量X的散布律.【解】X3,4,5P(X3)10.1C53P(X4)30.3C53P(X5)C420.6C53故所求散布律為X345P2.設(shè)在15只同種類(lèi)零件中有2只為次品，在此中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示拿出的次品個(gè)數(shù)，求：（1）X的散布律；（2）X的散布函數(shù)并作圖；(3)P{X1},P{1X3},P{1X3},P{1X2}.222【解】X0,1,2.P(X0)C13322.C15335P(X1)C12C13212.C15335P(X2)C1311.C15335故X的散布律為X012P22121353535（2）當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=022當(dāng)0≤x<1時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)=3534當(dāng)1≤x<2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=35當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=1故X的散布函數(shù)0,x0220x1,F(x)3534,1x2351,x2(3)P(X1)F(1)22,2235P(1X3)F(3)F(1)34340223535P(1X3)P(X1)P(1X3)122235P(1X2)F(2)F(1)P(X2)34110.3535射手向目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行了3次射擊，每次擊中率為，求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的散布律及散布函數(shù)，并求3次射擊中最少擊中2次的概率.【解】設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù).則X=0，1，2，3.P(X0)(0.2)30.008P(X1)C130.8(0.2)20.096P(X2)C32(0.8)20.20.384P(X3)(0.8)30.512故X的散布律為X0123P散布函數(shù)0,x00.008,0x1F(x)0.104,1x20.488,2x31,x3P(X2)P(X2)P(X3)0.8964.（1）設(shè)隨機(jī)變量X的散布律為kP{X=k}=ak!，此中k=0，1，2，，λ＞0為常數(shù)，試確立常數(shù)a.（2）設(shè)隨機(jī)變量X的散布律為{=}=a/N，k=1，2，，，PXkN試確立常數(shù)a.【解】（1）由散布律的性質(zhì)知k1P(Xk)aagek0k0k!故ae由散布律的性質(zhì)知NP(Xk)Na1ak1k1N即a1.5.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為,,今各投3次，求：（1）兩人投中次數(shù)相等的概率;（2）甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則X~b（3，）,Y~b(3,(1)P(XY)P(X0,Y0)P(X1,Y1)P(X2,Y2)P(X3,Y3)(0.4)3(0.3)3C130.6(0.4)2C130.7(0.3)2+C32(0.6)20.4C32(0.7)20.3(0.6)3(0.7)30.32076(2)P(XY)P(X1,Y0)P(X2,Y0)P(X3,Y0)P(X2,Y1)P(X3,Y1)P(X3,Y2)C130.6(0.4)2(0.3)3C32(0.6)20.4(0.3)3(0.6)3(0.3)3C32(0.6)20.4C130.7(0.3)2(0.6)3C310.7(0.3)2(0.6)3C32(0.7)20.3=6.設(shè)某機(jī)場(chǎng)每天有200架飛機(jī)在此下降，任一飛機(jī)在某一時(shí)辰下降的概率設(shè)為，且設(shè)各飛機(jī)下降是互相獨(dú)立的.試問(wèn)該機(jī)場(chǎng)需裝備多少條跑道，才能保證某一時(shí)辰飛機(jī)需立刻下降而沒(méi)有安閑跑道的概率小于(每條跑道只好同意一架飛機(jī)下降)？【解】設(shè)X為某一時(shí)辰需立刻下降的飛機(jī)數(shù)，則X~b(200,，設(shè)機(jī)場(chǎng)需裝備N(xiāo)條跑道，則有P(XN)0.01200C200k(0.02)k(0.98)200k即0.01kN1利用泊松近似np2000.024.P(XN)Be44k0.01kN1k!查表得N≥9.故機(jī)場(chǎng)最少應(yīng)裝備9條跑道.7.有一繁忙的汽車(chē)站，每天有大批汽車(chē)經(jīng)過(guò)，設(shè)每輛車(chē)在一天的某時(shí)段失事故的概率為,在某天的該時(shí)段內(nèi)有1000輛汽車(chē)經(jīng)過(guò)，問(wèn)失事故的次數(shù)不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】設(shè)X表示失事故的次數(shù)，則X~b（1000，）P(X2)1P(X0)P(X1)e0.10.1e0.1已知在五重貝努里試驗(yàn)中成功的次數(shù)X知足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p，則C15p(1p)4C52p2(1p)3故p13所以P(X4)C54(1)4210.332439.設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為，當(dāng)A發(fā)生很多于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)，（1）進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；（2）進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.【解】（1）設(shè)X表示5次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則X~6（5，）5P(X3)C5k(0.3)k(0.7)5k0.16308k3(2)令Y表示7次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則Y~b（7，）7C7k(0.3)k(0.7)7kP(Y3)0.35293k310.某公安局在長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊迫呼救的次數(shù)X聽(tīng)從參數(shù)為（1/2）t的泊松散布，而與時(shí)間間隔起點(diǎn)沒(méi)關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)）.（1）求某一天正午12時(shí)至下午3時(shí)充公到呼救的概率；（2）求某一天正午12時(shí)至下午5時(shí)最少收到1次呼救的概率.35【解】（1）P(X0)e2(2)P(X1)1P(X0)1e211.設(shè)P{X=k}=C2kpk(1p)2k,k=0,1,2P{Y=m}=mm4mC4p(1p),m=0,1,2,3,4分別為隨機(jī)變量X，Y的概率散布，若是已知P{X≥1}=5，試求P{Y≥1}.549【解】因?yàn)镻(X1)，故P(X1).99而P(X1)P(X0)(1p)2故得(1p)24,9即p1.365進(jìn)而P(Y1)1P(Y0)1(1p)40.802478112.某教科書(shū)第一版了2000冊(cè)，因裝訂等原由造成錯(cuò)誤的概率為，試求在這2000冊(cè)書(shū)中恰有5冊(cè)錯(cuò)誤的概率.【解】令X為2000冊(cè)書(shū)中錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù)，則X~b(2000,.利用泊松近似計(jì)算,np20000.0012得P(X5)e2250.00185!13.進(jìn)行某種試驗(yàn)，成功的概率為3，失敗的概率為1.以X表示試驗(yàn)初次成功所需試驗(yàn)的44次數(shù)，試寫(xiě)出X的散布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率.【解】X1,2,L,k,LP(Xk)(1)k1344P(X2)P(X4)LP(X2k)L131)331)2k13g(4L(L444443114g(1)2415414.有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn).在一年中每個(gè)人死亡的概率為，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元補(bǔ)償金.求：（1）保險(xiǎn)公司虧本的概率;（2）保險(xiǎn)公司贏利分別很多于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來(lái)考慮.（1）在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為2500×12=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X，則X~b(2500,，則所求概率為P(2000X30000)P(X15)1P(X14)因?yàn)閚很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有P(X14e55k15)10.000069k0k!P(保險(xiǎn)公司贏利很多于10000)P(300002000X10000)P(X10)10e55kk0k!

0.986305即保險(xiǎn)公司贏利很多于10000元的概率在98%以上P（保險(xiǎn)公司贏利很多于20000）P(300002000X20000)P(X5)5e55k0.615961k0k!即保險(xiǎn)公司贏利很多于20000元的概率約為62%15.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=?|x|?∞<<+∞,e,Ax求：（1）A值；（2）P{0<X<1};(3)F(x).【解】（1）由f(x)dx1得1Ae|x|dx20Aexdx2A故1A.2(2)p(0X1)11xdx1e1)2e(10121(3)當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)xxxedx2e2當(dāng)x≥0時(shí)，F(xiàn)(x)x1e|x|dx01xx1xdx2edxe20211ex21ex,x0故F(x)211exx0216.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只相同的電子管，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f(x)=1002,x100,0,x100.x求：（1）在開(kāi)始150小時(shí)內(nèi)沒(méi)有電子管損壞的概率；2）在這段時(shí)間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；3）F（x）.【解】（1）P(X150)150100dx1.x3p1[P(X150)]3(2)3811224327(2)p2C33(3)9(3)當(dāng)x<100時(shí)F（x）=0xf(t)dt當(dāng)x≥100時(shí)F(x)100f(t)dtxf(t)dt100x100100100t2dt1xF(x)1100,x100故x0,x017.在區(qū)間［0，a］上任意扔擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)這質(zhì)點(diǎn)落在［0，a］中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長(zhǎng)度成正比率，試求X的散布函數(shù).【解】由題意知~∪[0,]，密度函數(shù)為Xaf(x)1,0xaa0,其余故當(dāng)x<0時(shí)（x）=0Fxf(t)dtxx1x當(dāng)0≤x≤a時(shí)F(x)f(t)dtdt00aa當(dāng)x>a時(shí)，F(xiàn)（x）=1即散布函數(shù)0,x0F(x)x,0xaa1,xa設(shè)隨機(jī)變量X在[2，5]上聽(tīng)從平均散布.現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立察看，求最少有兩次的察看值大于3的概率.【解】X~U[2,5]，即f(x)1,2x530,其余P(X3)51dx2333故所求概率為pC32(2)21C33(2)32033327119.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間（以分鐘計(jì)）聽(tīng)從指數(shù)散布5口等待服務(wù)，若高出10分鐘他就走開(kāi).他一個(gè)月要到銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而走開(kāi)窗口的次數(shù)，試寫(xiě)出Y的散布律，并求{≥1}.PY【解】依題意知X~E(1)，即其密度函數(shù)為51xx0f(x)e5,5x00,該顧客未等到服務(wù)而走開(kāi)的概率為xP(X10)1e5dxe2105Y~b(5,e2),即其散布律為P(Yk)C5k(e2)k(1e2)5k,k0,1,2,3,4,5P(Y1)1P(Y0)1(1e2)50.516720.某人乘汽車(chē)去火車(chē)站乘火車(chē)，有兩條路可走.第一條行程較短但交通擁堵，所需時(shí)間X聽(tīng)從（40，102）；第二條行程較長(zhǎng)，但擁塞少，所需時(shí)間X聽(tīng)從（50，42）.NN1）若起程時(shí)離火車(chē)開(kāi)車(chē)只有1小時(shí)，問(wèn)應(yīng)走哪條路能乘上火車(chē)的掌握大些？2）又若離火車(chē)開(kāi)車(chē)時(shí)間只有45分鐘，問(wèn)應(yīng)走哪條路追上火車(chē)掌握大些？【解】（1）若走第一條路，X~N（40，102），則P(X60)Px406040(2)0.977271010若走第二條路，X~N（50，42），則P(X60)PX506050(2.5)0.9938++44故走第二條路乘上火車(chē)的掌握大些.（2）若（40，102），則X~NP(X45)PX404540(0.5)0.69151010若X~N（50，42），則P(X45)PX504550(1.25)441(1.25)0.1056故走第一條路乘上火車(chē)的掌握大些.設(shè)X~N（3，22），1）求P{2<X≤5}，P{?4<X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3};2）確立c使P{X＞c}=P{X≤c}.【解】（1）P(2X5)P23X353222(1)1(1)11220.841310.69150.5328P(4X10)P43X3103222770.999622P(|X|2)P(X2)P(X2)PX323PX323222211515222120.691510.99380.6977P(X3)P(X33-3)1(0)0.522c=3由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度（cm）X~N（,）,規(guī)定長(zhǎng)度在±內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.【解】P(|X10.05|0.12)PX10.050.120.060.061(2)(2)2[1(2)]0.045623.一工廠(chǎng)生產(chǎn)的電子管壽命X（小時(shí)）聽(tīng)從正態(tài)散布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}≥，同意σ最大不高出多少？【解】P(120X200)P120160X160200160404024010.8故4031.251.2924.設(shè)隨機(jī)變量X散布函數(shù)為ABext,x0,(0),F（x）=x0.0,（1）求常數(shù)A，B；（2）求P{X≤2}，P{X＞3}；（3）求散布密度f(wàn)（x）.limF(x)1A1【解】（1）由x得limF(x)limF(x)B1x0x0（2）P(X2)F(2)1e2P(X3)1F(3)1(1e3)e3(3)f(x)F(x)ex,x00,x0設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為x,0x1,f（x）=2x,1x2,0,其余.求X的散布函數(shù)F（x），并畫(huà)出f（x）及F（x）.【解】當(dāng)x<0時(shí)F（x）=0x0f(t)dtx當(dāng)0≤x<1時(shí)F(x)f(t)dtf(t)dt0x2tdt2xf(t)dt當(dāng)1≤x<2時(shí)F(x)0f(t)dt1xf(t)dtf(t)dt011x(2t)dttdt1x232x22x22x12當(dāng)x≥2時(shí)F(x)xf(t)dt10,x0x2,0x1故F(x)2x21,1x22x21,x2設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為1）f(x)=ae??|x|,λ>0;bx,0x1,(2)f(x)=12,1x2,x其余.0,試確立常數(shù)a,b，并求其散布函數(shù)F（x）.【解】（1）由f(x)dx1知1ae|x|dx2aexdx2a0故a2ex,x0即密度函數(shù)為f(x)2exx02當(dāng)x≤0時(shí)F(x)xxxdx1exf(x)dxe22當(dāng)x>0時(shí)F(x)xf(x)dx0xexdxexdx2021ex2故其散布函數(shù)11ex,x0F(x)21ex,x02(2)由1121dxb1f(x)dxbxdxx22201得b=1即X的密度函數(shù)為x,0x1f(x)1,1x2x20,其余當(dāng)x≤0時(shí)（）=0Fx當(dāng)0<x<1時(shí)F(x)x0xf(x)dxf(x)dxf(x)dx0x2xdx2當(dāng)1≤x<2時(shí)F(x)x01x1dxf(x)dx0dxxdx1x2310x當(dāng)x≥2時(shí)F（x）=1故其散布函數(shù)為0,x0x2,0x1F(x)231,1x22x1,x227.求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)散布的上分位點(diǎn)，1）=，求z;2）=，求z，z/2.【解】（1）P(Xz)0.01即1(z)0.01即(z)0.09故z2.33（2）由P(Xz)0.003得1(z)0.003即(z)0.997查表得z2.75由P(Xz/2)0.0015得1(z/2)0.0015即(z/2)0.9985查表得z/22.96設(shè)隨機(jī)變量X的散布律為X?2?1013P1/51/61/51/1511/30k求Y=X2的散布律.【解】Y可取的值為0，1，4，9P(Y0)P(X10)5P(Y1)P(X1171)P(X1)15306P(Y4)P(X12)5P(Y9)P(X113)30故Y的散布律為Y0149k1/57/301/511/30P29.設(shè)P{X=k}=(1)k,k=1,2,,令2Y1,當(dāng)X取偶數(shù)時(shí)1,當(dāng)X取奇數(shù)時(shí).求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y的散布律.【解】P(Y1)P(X2)P(X4)LP(X2k)L(1)2(1)4L(1)2kL222(1)/(11)1443P(Y設(shè)X~N（0，1）.X（1）求Y=e的概率密度；（2）求Y=2X2+1的概率密度；（3）求Y=｜X｜的概率密度.【解】（1）當(dāng)y≤0時(shí)，F(xiàn)Y(y)P(Y當(dāng)y>0時(shí)，F(xiàn)Y(y)P(Y

21)1P(Y1)3y)0y)P(exy)P(X

lny)lnyfX(x)dx故fY(y)dFY(y)1fx(lny)1dyyy(2)P(Y2X211)1當(dāng)y≤1時(shí)FY(y)P(Yy)0當(dāng)y>1時(shí)FY(y)P(Yy)P(2X21y)

1eln2y/2,y02πPX2y1Py122(y1)/2fX(x)dx(y1)/2

X

y12故fY(y)dFY(y)12fXy1fXdy4y12121e(y1)/4,y12y12π(3)P(Y0)1當(dāng)y≤0時(shí)FY(y)P(Yy)0當(dāng)y>0時(shí)FY(y)P(|X|y)P(yXy)

12yy

fX

(x)dx故fY(y)

ddy

FY(y)

fX

(y)

fX(y)2e

y2/2,y

02π設(shè)隨機(jī)變量X~U（0,1），試求：1）Y=eX的散布函數(shù)及密度函數(shù)；2）Z=?2lnX的散布函數(shù)及密度函數(shù).【解】（1）P(0X1)1故P(1YeXe)1當(dāng)y1時(shí)FY(y)P(Yy)0當(dāng)1<y<e時(shí)FY(y)P(eXy)P(Xlny)lnydxlny0當(dāng)y≥e時(shí)FY(y)P(eX)1y即散布函數(shù)0,y1FY(y)lny,1ye1,ye故Y的密度函數(shù)為11yefY(y)y,0,其余（2）由P（0<X<1）=1知P(Z0)1當(dāng)z≤0時(shí)，F(xiàn)Z(z)P(Zz)0當(dāng)z>0時(shí)，F(xiàn)Z(z)P(Zz)P(2lnXz)P(lnXz)P(Xez/2)21z/2dx1ez/2e即散布函數(shù)0,z0FZ(z)1-e-z/2,z0故Z的密度函數(shù)為fZ(z)1ez/2,z0200,z設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=2x2,0xπ,π0,其余.試求Y=sinX的密度函數(shù).【解】P(0Y1)1當(dāng)y≤0時(shí)，F(xiàn)Y(y)P(Yy)0當(dāng)0<y<1時(shí)，F(xiàn)Y(y)P(Yy)P(sinXy)P(0Xarcsiny)P(πarcsinyXπ)arcsiny2xdxπ2xdx02πarcsiny2ππ121-12（arcsiny）（π-arcsiny）22ππ2arcsinyπ當(dāng)y≥1時(shí)，F(xiàn)Y(y)1故Y的密度函數(shù)為2g1,0y1fY(y)π1y20,其余設(shè)隨機(jī)變量X的散布函數(shù)以下：1,x(1),F(x)1x2(2),x(3).試填上(1),(2),(3)項(xiàng).【解】由lim( )1知②填1。Fxx由右連續(xù)性lim+F(x)F(x0)1知x00，故①為0。xx0進(jìn)而③亦為0。即1F(x)1x2,x01,x034.同時(shí)擲兩枚骰子，直到一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止，求扔擲次數(shù)X的散布律.【解】設(shè)Ai={第i枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)}。（i=1,2）,P(Ai)=1.且A1與A2互相獨(dú)立。再設(shè)C={每6次扔擲出現(xiàn)6點(diǎn)}。則P(C)P(A1UA2)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)111111666636故扔擲次數(shù)X聽(tīng)從參數(shù)為11的幾何散布。3635.隨機(jī)數(shù)字序列要多長(zhǎng)才能使數(shù)字0最少出現(xiàn)一次的概率不小于?【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包括n個(gè)數(shù)字，則X~b(n,P(X1)1P(X0)1Cn0(0.1)0(0.9)n0.9即(0.9)n0.1得n≥22即隨機(jī)數(shù)字序列最少要有22個(gè)數(shù)字。36.已知0,x0,F（x）=x101,x,221,x1.2則F（x）是（）隨機(jī)變量的散布函數(shù).（A）連續(xù)型；（B）失散型；（C）非連續(xù)亦非失散型.【解】因?yàn)镕（x）在（?∞,+∞）上單調(diào)不減右連續(xù)，且lim( )0xFxlimF(x)1,所以F（x）是一個(gè)散布函數(shù)。x但是F（x）在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線(xiàn)，故F（x）是非連續(xù)亦非失散型隨機(jī)變量的散布函數(shù)。選（）C37.設(shè)在區(qū)間[a,b]上，隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，則區(qū)間[,]等于（）ab(A)[0,π/2];(B)[0,π];C[?π/2,0];(D)[0,3π()].π2【解】在[0,x≥0，且π/21.故f(x)是密度函數(shù)。]上sin0sinxdx2π1.故f(x)不是密度函數(shù)。在[0,π]上sinxdx20在[π0，故f(x)不是密度函數(shù)。2,0]上sinx在[0,3π]上，當(dāng)πx3π時(shí)，sin<0()也不是密度函數(shù)。22x，fx應(yīng)選（A）。設(shè)隨機(jī)變量X~N（0，σ2），問(wèn)：當(dāng)σ取何值時(shí)，X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大？【解】因?yàn)閄~N(0,2),P(1X3)P(1X3)(3)(1)令g()利用微積分中求極值的方法，有g(shù)( )(33112)( )2( )31e9/2211e1/222222得又故故當(dāng)

200

1e1/223e8/22令2[1]0242,則0ln3ln3g(0)02為極大值點(diǎn)且唯一。ln32時(shí)X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大。ln3設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)X聽(tīng)從泊松散布P（λ），每個(gè)顧客購(gòu)買(mǎi)某種物件的概率為p，而且各個(gè)顧客可否購(gòu)買(mǎi)該種物件互相獨(dú)立，求進(jìn)入商店的顧客購(gòu)買(mǎi)這類(lèi)物件的人數(shù)Y的散布律.m【解】P(Xm)e,m0,1,2,Lm!設(shè)購(gòu)買(mǎi)某種物件的人數(shù)為Y，在進(jìn)入商店的人數(shù)X=m的條件下，Y~b(m,p)，即P(Yk|Xm)Ckmpk(1p)mk,k0,1,L,m由全概率公式有P(Yk)P(Xm)P(Yk|Xm)mkemgCmkpk(1p)mkmkm!mpk(1p)mkemkk!(mk)!e(p)k[(1p)]mkk!(mk)!mk(p)kee(1p)k!(p)kep,kLk!0,1,2,此題說(shuō)明：進(jìn)入商店的人數(shù)聽(tīng)從參數(shù)為λ的泊松散布，購(gòu)買(mǎi)這類(lèi)物件的人數(shù)仍聽(tīng)從泊松散布，但參數(shù)改變成λp.設(shè)隨機(jī)變量X聽(tīng)從參數(shù)為2的指數(shù)散布.證明：Y=1?e?2X在區(qū)間（0，1）上聽(tīng)從平均散布.【證】X的密度函數(shù)為2e2x,x0fX(x)0,x0因?yàn)镻（X>0）=1，故0<1?e?2X<1，即P（0<Y<1）=1當(dāng)y≤0時(shí)，F(xiàn)Y（y）=0當(dāng)y≥1時(shí)，F(xiàn)Y（y）=1當(dāng)0<y<1時(shí)，F(xiàn)Y(y)P(Yy)P(e2x1y)P(X1ln(1y))12y)ln(12x22edxy0即Y的密度函數(shù)為1,0y1fY(y)

0,其余即Y~U（0，1）設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為1,03f(x)=2,390,若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范圍.【解】由P（X≥k）=2知P（X<k）=133若k<0,P(X<k)=0k1k1若0≤k≤1,P(X<k)=dx3303當(dāng)k=1時(shí)（<）=1311k0dx若1≤k≤3時(shí)P（X<k）=dx03111k2若3<k≤6，則P（X<k）=dxdx0339若k>6,則P（X<k）=1故只有當(dāng)1≤k≤3時(shí)知足P（X≥k）=2.3設(shè)隨機(jī)變量X的散布函數(shù)為

1,6,其余.(2000研考)132k119330,x1,0.4,1x1,F(x)=1x3,0.8,1,x3.求X的概率散布.（1991研考）【解】由失散型隨機(jī)變量X散布律與散布函數(shù)之間的關(guān)系，可知X的概率散布為X?113P43.設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相等.若已知A最少出現(xiàn)一次的概率為19/27，求A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.【解】令X為三次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，若設(shè)P（A）=p,則X~b(3,p)由P（X≥1）=19知P（X=0）=（1?p）3=82727故p=1344.若隨機(jī)變量X在（1，6）上聽(tīng)從平均散布，則方程y2+Xy+1=0有實(shí)根的概率是多少？【解】f(x)1,1x650,其余P(X240)P(X2)P(X2)P(X2)45若隨機(jī)變量X~N（2，σ2），且P{2<X<4}=，則P{X<0}=.【解】0.3P(2X4)P(22X242)2)(0)(20.5()故所以

2( )0.8P(X0)P(X202)(2)1(2)0.2假設(shè)一廠(chǎng)家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率能夠直接出廠(chǎng)；以概率需進(jìn)一步伐試，經(jīng)調(diào)試后以概率能夠出廠(chǎng)，以概率定為不合格品不能夠出廠(chǎng).現(xiàn)該廠(chǎng)重生產(chǎn)了n(n≥2)臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過(guò)程互相獨(dú)立）.求1）所有能出廠(chǎng)的概率α；2）此中恰好有兩臺(tái)不能夠出廠(chǎng)的概率β；3）此中最少有兩臺(tái)不能夠出廠(chǎng)的概率θ.【解】設(shè)A={需進(jìn)一步伐試}，B={儀器能出廠(chǎng)}，則A={能直接出廠(chǎng)}，AB經(jīng)調(diào)試后能出廠(chǎng)}={由題意知=A∪，且BABP(A)0.3,P(B|A)0.8P(AB)P(A)P(B|A)0.30.80.24P(B)P(A)P(AB)0.70.240.94令X為重生產(chǎn)的n臺(tái)儀器中能出廠(chǎng)的臺(tái)數(shù)，則X~6（n，）,故P(Xn)(0.94)nP(Xn2)Cn2(0.94)n2(0.06)2P(Xn2)1P(Xn1)P(Xn)1n(0.94)n10.06(0.94)n47.某地抽樣檢查結(jié)果表示，考生的外語(yǔ)成績(jī)（百分制）近似聽(tīng)從正態(tài)散布，平均成績(jī)?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的%，試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率.【解】設(shè)X為考生的外語(yǔ)成績(jī)，則X~N（72，σ2）0.023P(X96)PX7296721(24)故(24)0.977查表知242,即σ=12進(jìn)而X~N（72，122）故P(60X84)P6072X728472121212(1)2(1)10.682在電源電壓不高出200V、200V~240V和高出240V三種情況下，某種電子元件損壞的概率分別為，和（假設(shè)電源電壓X聽(tīng)從正態(tài)散布N（220，252））.試求：1）該電子元件損壞的概率α;(2)該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200~240V的概率β【解】設(shè)A1={電壓不高出200V}，A2={電壓在200~240V}，A3={電壓高出240V}，B={元件損壞}。由X~N（220，252）知P(A1)P(X200)PX2202002202525(0.8)1(0.8)0.212P(A2)P(200X240)P200220X220240220252525(0.8)(0.8)0.576P(A3)P(X240)10.2120.5760.212由全概率公式有3P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.0642i1由貝葉斯公式有P(A2|B)P(A2)P(B|A2)0.009P(B)49.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間（1，2）上聽(tīng)從平均散布，試求隨機(jī)變量Y=e2X的概率密度f(wàn)Y(y).1,1x2【解】fX(x)

0,其余因?yàn)镻（1<X<2）=1,故P（e2<Y<e4）=1當(dāng)y≤e2時(shí)FY（y）=P(Y≤y)=0.當(dāng)e2<