L(三章6講)守恒定律

量子力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理

Quantummechanicsandstatisticalphysics光電信息學(xué)院李小飛第三章第6講：力學(xué)量平均值隨時(shí)間的演化對稱性與守恒律1.經(jīng)典物理中的守恒量與條件（對稱性）機(jī)械能空間平移不變→動(dòng)量守恒（空間均勻性）機(jī)械能空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變→角動(dòng)量守恒（空間各向同性）機(jī)械能時(shí)間平移不變→能量守恒（時(shí)間均勻性）2.量子力學(xué)中的守恒量守恒量：在任意態(tài)下力學(xué)量的平均值不隨時(shí)間變化

守恒量：力學(xué)量的值不隨時(shí)間變化

引入：物理學(xué)中的守恒定律量子力學(xué)中有哪些守恒定律，成立條件又是什么？（1）由薛定諤方程有

一、力學(xué)量平均值隨時(shí)間的演化(1)體系所處的狀態(tài)隨時(shí)間變化(2)力學(xué)量算符，隨時(shí)間變化表明：平均值隨時(shí)間的演化有兩方面的原因:（2）因是厄米算符則二、守恒的條件如果：

c.充分條件：證明：（１）若F是守恒量，則其測量值的概率分布也不隨時(shí)間改變考慮到

可以選擇包含和在內(nèi)的一組力學(xué)量完全集，將其共同本征態(tài)記為，有：

在態(tài)下，t時(shí)刻測量得到的概率為因此，實(shí)際要證明

三、守恒量的性質(zhì)體系的任一狀態(tài)均可用展開：得結(jié)論：

如果某力學(xué)量A為守恒量，則無論體系處于何種狀態(tài)，

其平均值及其各測量值的概率分布都不隨時(shí)間變化。又不顯含時(shí)間四、常用守恒定律證明（1）：自由粒子的動(dòng)量是守恒量

守恒證明：動(dòng)量守恒源于空間平移不稱性設(shè)體系沿x軸方向作一無窮小平移波函數(shù)的變化為：顯然即作變換則上式可化為則平移δx的算符可表示為Note:與平移變換無窮小算符對應(yīng)。推廣：對于三維空間：若體系具有平移不變性，[D,H]=0對于無窮小平移則可推出=>動(dòng)量守恒與三維平移變換無窮小算符對應(yīng)證明（2）：粒子在中心力場中運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量是守恒量

求哈密頓算符在球坐標(biāo)系中的形式：

角動(dòng)量各分量及角動(dòng)量平方均為守恒量－－角動(dòng)量守恒定律?。?）在球坐標(biāo)系中算符等只是的函數(shù)，與時(shí)間t無關(guān)，相對于時(shí)間的變化率為零。（2）角動(dòng)量各分量算符及角動(dòng)量平方算符均與哈密頓算符對易可見：角動(dòng)量守恒源于空間轉(zhuǎn)動(dòng)對稱性（自己證明）總能＝徑向動(dòng)能+轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能+勢能證明（3）：哈密頓算符不顯含時(shí)間的體系，能量守恒

當(dāng)不顯含t時(shí)，

又能量守恒源于時(shí)間平移對稱性（自己證明）證明（4）：

哈密頓算符對空間反射不變，則宇稱守恒空間反演算符也稱為宇稱算符定義空間反射算符：反射算符的本征值：本征值空間反射含義：1、宇稱算符：

具有偶宇稱或奇宇稱的波函數(shù)稱為具有確定宇稱的波函數(shù)。宇稱是對空間對稱性的描述。2、證明宇稱守恒定律體系的哈密頓算符具有空間反射不變性，即有：(偶宇稱)(奇宇稱)

故

因此,為運(yùn)動(dòng)恒量，證畢！又

不顯含t，

含義：

若體系的哈密頓量具有空間反射不變性，宇稱守恒。此時(shí)，哈米頓算符和宇稱算符具有共同本征函數(shù)，即：能量本征函數(shù)也是宇稱的本征函數(shù)對稱性與守恒定律的對應(yīng)關(guān)系楊振寧，李政道，吳健雄：弱相互作用體系宇稱不守恒楊-米爾斯規(guī)范場理論1956年提出，1957年獲諾獎(jiǎng)1954年提出后，實(shí)現(xiàn)弱相互作用與電磁相互作用的統(tǒng)一CP對稱破缺1980年諾獎(jiǎng)Higgs,2013年諾獎(jiǎng)中微子，2015年諾獎(jiǎng)外爾費(fèi)米子，……Whereisyang，whereisbang光子：質(zhì)量0,電荷0，自旋１

電子：質(zhì)量e,電荷-1，自旋1/2，中微子：質(zhì)量很小,電荷0，自旋1/2

(2015諾獎(jiǎng)）外爾費(fèi)米子：質(zhì)量0,電荷0,

自旋1/2，ArthurB.Mcdonald加拿大TakaakiKajita日本…….中國科學(xué)院方忠美國普林斯頓大學(xué)扎伊德·哈桑2015-7-16《Science》TheStandardModelofelementaryparticle1.Gravity.2.Darkmatter

3.darkenergy.4.Neutrino

masses5.Weylfermion6.Matter–antimatterasymmetry.量子體系的守恒量并不一定取確定值；(2)量子體系的各守恒量一般不能同時(shí)有確定值.五、關(guān)于量子體系的守恒量的幾點(diǎn)說明（附）若初始時(shí)刻體系處于守恒量F的本征態(tài),則體系保持在該本征態(tài)，有確定值;反之,若初始時(shí)刻體系并不處于守恒量F的本征態(tài),則以后的狀態(tài)一般不是F的本征態(tài),因此沒有確定值。但無論是不是本征態(tài)，F(xiàn)的平均值和測量值概率分布都是確定的，不隨時(shí)間變的.各量都是守恒量，只能說明它們都與哈密頓量對易，但并不能說明它們之間也對易。即算對易，體系并不一定處于它們共同的本征態(tài)。因此一般不能同時(shí)有確定值定理

體系有兩不對易的守恒量F和G，（即有[F,H]=0,[G,H]=0,但[F,G]≠0）,則能級一般簡并證明：[F,H]=0,則F,H有共同的本征函數(shù)Ψ

又因?yàn)閇G,H]=0,則即GΨ也是H的本征函數(shù)，對應(yīng)的本征值也是E。

因?yàn)镕和G并不對易，它們有不同的本征函數(shù)系，因此，本征能量為E的兩個(gè)函數(shù)Ψ和GΨ一般不會(huì)相同，即能級一般是簡并的。(3)守恒量與能級簡并.推論：

非簡并能級E對應(yīng)的態(tài)ΨE必是守恒量F的本征態(tài)

證明：設(shè)ΨE是能量為E的一個(gè)本征態(tài)。因F是守恒量，則[F,H]=0即：FΨE也是能量為E的一個(gè)本征態(tài)。即ΨE也是F的本征態(tài)，對應(yīng)的本征值是F’，證畢！重要：體系的守恒量總是與體系的對稱性相聯(lián)系，而能級簡并也往往也與體系的對稱性相關(guān)。

根據(jù)能級簡并，可找出體系的守恒量；根據(jù)能級不簡并，又可找到守恒量的相應(yīng)本征態(tài)。

由于能級E不簡并，

FΨE與ΨE兩態(tài)之間差一個(gè)常數(shù)，設(shè)為F’作業(yè)1:試述定態(tài)與守恒量的區(qū)別在非定態(tài)下,力學(xué)量的平均值隨時(shí)間變化嗎？當(dāng)體系處于定態(tài),不含時(shí)力學(xué)量測量值的概率分布隨時(shí)間變化嗎？設(shè)Hamilton量為守恒量,則體系一定處于定態(tài)嗎？試述守恒量與能級簡并的關(guān)系(1)定態(tài)是體系的一種特殊的狀態(tài),即能量的本征態(tài),在定態(tài)下,一切不顯含時(shí)間t的力學(xué)量的平均值和測量值概率分布

都不隨時(shí)間變化;守恒量與定態(tài)的區(qū)別(2)守恒量則是體系的一種特殊的力學(xué)量,它與體系的Hamilton量對易,它在任意狀態(tài)下(不管是否定態(tài))的平均值和測量值概率分布都不隨時(shí)間變化.只有當(dāng)：一個(gè)體系不處于定態(tài),同時(shí)所討論的力學(xué)量又不是守恒量時(shí),才需要研究該力學(xué)量的平均值和測量值概率分布隨時(shí)間的變化問題.§4.4守恒量與對稱性的關(guān)系1.經(jīng)典力學(xué)的守恒量與對稱性的關(guān)系機(jī)械能對空間平移不變性（空間均勻性）→動(dòng)量守恒機(jī)械能對空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性（空間各向同性）→角動(dòng)量守恒機(jī)械能對時(shí)間平移不變性（時(shí)間均勻性）→能量守恒1918年德國數(shù)學(xué)家A.E.Noether:從自然界的每一對稱性可得到一守恒律；反之，每一守恒律均揭示蘊(yùn)含其中的一種對稱性。2.量子力學(xué)中的對稱性(1)對稱變換與對稱性群體系的狀態(tài)滿足薛定諤方程若存在變換Q,在此變換下有體系對變換不變性的要求即用Q-1運(yùn)算得與方程(1)比較得或?qū)懗蛇@就是體系（Hamilton）在變換Q下的不變性的數(shù)學(xué)表述。凡滿足式(4)的變換稱為體系的對稱變換。物理學(xué)中的體系的對稱變換總構(gòu)成一個(gè)群，稱為體系的對稱性群。(2)對稱性變換與守恒量在對稱變換下考慮概率守恒有則Q應(yīng)該是幺正算符，即對于連續(xù)變換，可考慮無窮小變換ε→0+，令(3)空間平移不變性與動(dòng)量守恒設(shè)體系沿x軸方向作一無窮小平移即F是厄米算符，稱為變換Q的無窮小算符?？啥x與Q變換相聯(lián)系的可觀測量，體系在Q變換下的不變性導(dǎo)致即F是一守恒量。對稱變換→守恒量描述體系狀態(tài)波函數(shù)的變化為顯然即作變換則上式可化為則平移δx的算符可表示為Note:是與平移變換相應(yīng)的無窮小算符。推廣：對于三維空間中的無窮小平移則其中設(shè)體系具有平移不變性，即[D,H]=0對于無窮小平移則可推出動(dòng)量守恒是與三維平移變換對應(yīng)的無窮小算符。(4)空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動(dòng)量守恒設(shè)體系繞z軸旋轉(zhuǎn)一無窮小角度δφ，波函數(shù)的變化是對標(biāo)量波函數(shù)有即作變換則則繞z軸旋轉(zhuǎn)δφ的算符是注：On現(xiàn)考慮三維空間中繞某方向n的無窮小旋轉(zhuǎn)在上述變換下標(biāo)量函數(shù)的變化是即作變換則對于無窮小旋轉(zhuǎn)則其中如果體系具有空間旋轉(zhuǎn)不變性，[R,H]=0,注：三個(gè)矢量的混合積對于無窮小旋轉(zhuǎn)則有即角動(dòng)量守恒(5)時(shí)間均勻性與能量守恒(6)空間反射對稱性與宇稱守恒本章小結(jié)1.算符的定義：算符、線性算符、厄米算符的定義

3.算符運(yùn)算法則：算符的和、算符的乘積,...4.對易子運(yùn)算法則，常用對易關(guān)系5.厄米算符本征值與本征函數(shù)的相關(guān)定理6.常用算符本征值問題7.不確定性原理8.共同本征函數(shù)問題9.運(yùn)動(dòng)守恒量2.算符與力學(xué)量的關(guān)系：測量問題、平均值的計(jì)算

附錄1：用到的部分積分公式總結(jié)：5、掌握動(dòng)量算符及其本征函數(shù)、本征值。

1、掌握算符基本假定的表述；物理上可觀測量應(yīng)該對應(yīng)什么樣的算符及原因。9、掌握坐標(biāo)、動(dòng)量及角動(dòng)量算符的對易關(guān)系式。6、掌握球坐標(biāo)下角動(dòng)量z分量算符的表達(dá)式，并能解其本征值方程。7、掌握角動(dòng)量平方算符的本征值、本征函數(shù)。

8、掌握氫原子在波函數(shù)所描述的狀態(tài)下的能級、角動(dòng)量平方、角動(dòng)量z分量的值、能級簡并度以及宇稱的特點(diǎn)。10