服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃(運(yùn)籌學(xué))

第九章

服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃第11章排隊(duì)論29.1

基本概念

一。現(xiàn)實(shí)生活中的排隊(duì)現(xiàn)象

排隊(duì)、顧客、服務(wù)臺(tái)

服務(wù)系統(tǒng)、排隊(duì)系統(tǒng)

到達(dá)時(shí)刻、

等待時(shí)間、排隊(duì)系統(tǒng)顧客源等待隊(duì)列(輸入)服務(wù)臺(tái)(輸出)離去到達(dá)到達(dá)開始服務(wù)離去離去時(shí)刻等待時(shí)間服務(wù)時(shí)間逗留時(shí)間t服務(wù)時(shí)間、逗留時(shí)間表9-1現(xiàn)實(shí)中的各種服務(wù)系統(tǒng)顧客服務(wù)內(nèi)容服務(wù)臺(tái)考生報(bào)名登記招考登記員病人診斷病情醫(yī)生電話呼叫通話交換臺(tái)駛?cè)敫劭诘呢洿b（卸）貨裝（卸）貨碼頭（泊位）文件稿打字打字員提貨單提取存貨倉(cāng)庫(kù)管理員不能運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)器修理修理技工上游河水進(jìn)入水庫(kù)放水，調(diào)整水位水閘管理員進(jìn)入我方陣地的敵機(jī)我方高射炮進(jìn)行射擊我方高射炮第11章排隊(duì)論49.1

基本概念二、

排隊(duì)系統(tǒng)的三個(gè)基本特征

(1)

輸入過(guò)程：指顧客按怎樣的規(guī)律到達(dá)，顧客源情況如何；

(2)

排隊(duì)規(guī)則：指顧客在排隊(duì)系統(tǒng)中按怎樣的規(guī)則與次序接受服務(wù)；

(3)

服務(wù)機(jī)構(gòu)：指同一時(shí)刻服務(wù)臺(tái)能容納多少顧客以及為任一顧客服務(wù)的時(shí)間服從什么規(guī)律。1.輸入過(guò)程

⑴顧客的總體（顧客源）的組成可能是有限的，也可能是無(wú)限的。

⑵顧客到來(lái)的方式可能是一個(gè)一個(gè)的，也可能是成批的。⑶顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間可以是確定型的，也可以是隨機(jī)型的。

⑷顧客的到達(dá)可以是相互獨(dú)立的,否則就是有關(guān)聯(lián)的

⑸輸入過(guò)程可以是平穩(wěn)的，或稱對(duì)時(shí)間是齊次的，是指描述相繼到達(dá)的間隔時(shí)間分布和所含參數(shù)（如期望值、方差等）都是與時(shí)間無(wú)關(guān)的，否則稱為非平穩(wěn)的。第11章排隊(duì)論69.1

基本概念

(1)定長(zhǎng)輸入：顧客嚴(yán)格按照固定的間隔時(shí)間相繼到達(dá)。(2)泊松輸入：顧客到達(dá)過(guò)程為泊松流。(3)愛爾朗輸入：相繼到達(dá)間隔時(shí)間相互獨(dú)立且具有相同參數(shù)的愛爾朗分布。(4)一般獨(dú)立輸入：相繼到達(dá)間隔時(shí)間相互

獨(dú)立且同分布。幾種常見的輸入過(guò)程第11章排隊(duì)論79.1

基本概念

先到先服務(wù)：

后到先服務(wù)：

隨機(jī)服務(wù)：

有優(yōu)先權(quán)服務(wù)：二、排隊(duì)規(guī)則(1)

即時(shí)制(損失制)

(2)

等待制

系統(tǒng)容量有限：

等待時(shí)間有限：

逗留時(shí)間有限：(3)

混合制最普通手槍射擊車船卸貨停車場(chǎng)電話呼叫生產(chǎn)線上產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)加急電報(bào)特診患者某些診室每天掛號(hào)有限商店食品藥房藥品出爐鐵水來(lái)犯敵機(jī)第11章排隊(duì)論89.1

基本概念

121s?

(a)單隊(duì)—單臺(tái)系統(tǒng)(b)單隊(duì)—多臺(tái)（并聯(lián)）系統(tǒng)(c)單隊(duì)—多臺(tái)（串聯(lián)）系統(tǒng)3.服務(wù)機(jī)構(gòu)常見的幾種排隊(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示1s…第11章排隊(duì)論99.1

基本概念

12s(d)多隊(duì)—多臺(tái)（并聯(lián)）系統(tǒng)(e)多隊(duì)—多臺(tái)（混聯(lián)、網(wǎng)絡(luò)）系統(tǒng)第11章排隊(duì)論109.1

基本概念

幾種常見的隨機(jī)服務(wù)過(guò)程(1)

定長(zhǎng)服務(wù)：為各顧客服務(wù)的時(shí)間是相同常數(shù)(2)

指數(shù)服務(wù)：為各顧客服務(wù)的時(shí)間相互獨(dú)立且具有相同參數(shù)的指數(shù)分布。(3)

愛爾朗服務(wù)：各顧客服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立且具有相同參數(shù)的愛爾朗分布。(4)

一般獨(dú)立服務(wù)：各顧客服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立且同分布。第11章排隊(duì)論119.1

基本概念三、

排隊(duì)論的問(wèn)題及分類1、排隊(duì)論的問(wèn)題

(1)

性態(tài)問(wèn)題：

(2)

統(tǒng)計(jì)問(wèn)題：

(3)

優(yōu)化問(wèn)題：2、排隊(duì)系統(tǒng)的分類將Kendall符號(hào)擴(kuò)充為以下標(biāo)準(zhǔn)形式：X/Y/Z/A/B/C或者[X/Y/Z]:[A/B/C]例如：M/M/s/r/∞M/Ek/1/∞穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)分析優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化運(yùn)營(yíng)第11章排隊(duì)論1211.1

基本概念

L——平均隊(duì)長(zhǎng)

任意時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)顧客數(shù)的期望值

Lq——平均等待隊(duì)長(zhǎng)任意時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)等待服務(wù)的顧客數(shù)的期望值

W——平均逗留時(shí)間任一顧客逗留時(shí)間的期望值

Wq——平均等待時(shí)間任一顧客等待時(shí)間的期望值(1)

四項(xiàng)主要性能指標(biāo)四、排隊(duì)問(wèn)題的求解第11章排隊(duì)論1311.1

基本概念(2)

其他常用數(shù)量指標(biāo)

s

——

系統(tǒng)中并聯(lián)服務(wù)臺(tái)的數(shù)目

λ——平均到達(dá)率單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)系統(tǒng)的顧客平均數(shù)

——平均到達(dá)間隔

μ——平均服務(wù)率單位時(shí)間內(nèi)服務(wù)完畢的顧客平均數(shù)

——平均服務(wù)時(shí)間

ρ

——服務(wù)強(qiáng)度每個(gè)服務(wù)臺(tái)單位時(shí)間內(nèi)的平均服務(wù)時(shí)間1μ1λ第11章排隊(duì)論14

N——穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任意時(shí)刻的狀態(tài)(顧客總數(shù))

U——任意顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的逗留時(shí)間

Q——任意顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的等待時(shí)間

Pn=P{N=n}:

穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任意時(shí)刻狀態(tài)為n的概率；特別當(dāng)n=0時(shí)，即為P0，而P0即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)所有服務(wù)臺(tái)全部空閑的概率。

λe——

有效平均到達(dá)率單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)并且進(jìn)入系統(tǒng)的顧客平均數(shù)；

對(duì)于等待制的排隊(duì)系統(tǒng)，有λe

=λ。

第11章排隊(duì)論15穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)：假定λ為常數(shù)，則有李特爾公式：假定μ為常數(shù)，則有(11-1a)(11-1b)(11-1c)(11-1d)(11-2)(11-3)L=

WλeLq=

Wqλe1μW=Wq+L=Lq+λeμ還有L=nPnn=0

∞Lq=(n-s)Pn=nPs+mn=s∞n=0∞第11章排隊(duì)論169.2

排隊(duì)系統(tǒng)的常用分布

一、泊松過(guò)程

設(shè)以X(t)表示在[0,t]時(shí)段內(nèi)到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的顧客數(shù),則對(duì)于每個(gè)給定的時(shí)刻t,X(t)都是一個(gè)隨機(jī)變量,而{X(t)|t∈[0,∞)}就是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。

(1)

無(wú)后效性

對(duì)任意時(shí)刻∈(0,∞)，在時(shí)段[,

+t]內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)，與時(shí)刻以前到達(dá)的顧客數(shù)無(wú)關(guān)，即時(shí)刻以前到達(dá)的顧客數(shù)不影響其后到達(dá)的顧客數(shù)。這意味著：在不相交的各時(shí)段內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)相互獨(dú)立。

第11章排隊(duì)論17(2)平穩(wěn)性

在長(zhǎng)度為t的時(shí)段內(nèi)恰好到達(dá)k個(gè)顧客的概率，僅跟長(zhǎng)度t有關(guān)，而跟這段的起始時(shí)刻無(wú)關(guān)。即對(duì)任意時(shí)刻∈(0,∞)

，在(,

+t]或(0,t]內(nèi)恰好到達(dá)k個(gè)顧客的概率相等：

P{X(

+t)-X(t)=k}=

P{X(

t)-X(0)=k}=P{X(

t)=k}Δ=gk(t)(3)普通性：在充分小的時(shí)段內(nèi)最多到達(dá)一個(gè)顧客。第11章排隊(duì)論18

泊松過(guò)程具有無(wú)后效性，因而是一種特殊的馬爾科夫過(guò)程。泊松過(guò)程又稱泊松流，在排隊(duì)論中常稱為最簡(jiǎn)單流。

性質(zhì)1

設(shè){X(t)|t∈[0，∞)}為泊松過(guò)程，λ>0為平均到達(dá)率，則X(t)服從參數(shù)為λ的泊松分布，即有E[X(t)]

=

tλ=

E[X(t)]/tλ按概率論，有則有(t)kn!Pn(t)=

e-λt

k=0,1,2,…λ(11-4)第11章排隊(duì)論19

性質(zhì)2

顧客到達(dá)過(guò)程{X(t)}是一個(gè)具有參數(shù)λ的泊松流的充要條件是：相繼到達(dá)間隔{Tk}是一族相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且每個(gè)隨機(jī)變量Tk都具有下述指數(shù)分布函數(shù)：FTk(t)=1-e-λt,t≥00

,t<0E(Tk)=1λ按概率論，有(11-5)(11-6)k=1,2,…隨機(jī)變量T的概率密度為數(shù)學(xué)期望

方差

標(biāo)準(zhǔn)差

第11章排隊(duì)論21

二、指數(shù)服務(wù)分布

設(shè)以隨機(jī)變量Vi表示為第i個(gè)顧客服務(wù)的時(shí)間，則{Vi}也是一組隨機(jī)變量。若各Vi相互獨(dú)立且具有相同參數(shù)μ>0的密度函數(shù)：

則稱Vi服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布,有

FVi

(t)

=1-e-μt

，t≥0

0，

t<0E(Vi)=1μD(Vi)=1μ2fVi

(t)

=μe-μt

，t≥00，

t<0i=1,2,…(11-7)(11-8)(11-9)第11章排隊(duì)論22

性質(zhì)1

設(shè)任一顧客的服務(wù)時(shí)間V服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，則對(duì)任意s>0與t≥0都有

P{T

≥s+t|T≥s}=

P{T≥t}

性質(zhì)2

密度函數(shù)fT(t)對(duì)時(shí)間t嚴(yán)格遞減

第11章排隊(duì)論23三、愛爾朗分布若隨機(jī)變量V具有下述密度函數(shù):fk(t)=(kμ)ktk-1(k-1)!e-kμt0t≥0t<0

則稱V服從參數(shù)為μ的k階愛爾朗分布,有E(V)=1μD(V)=1μ2k(11-11)k=1,2,…k=1,2,…

(11-12)第11章排隊(duì)論24

性質(zhì)1

(1)

當(dāng)k=1時(shí)，愛爾朗分布就成為指數(shù)分布；

(2)

當(dāng)k變大時(shí)，方差D(V)=1/kμ2變小，V的取值密集于均值1/μ附近，愛爾朗分布就近似于正態(tài)分布；

性質(zhì)2

設(shè)隨機(jī)變量V1,V2,…,Vk相互獨(dú)立且服從具有相同參數(shù)kμ的指數(shù)分布。設(shè)愛爾朗分布就轉(zhuǎn)化為定長(zhǎng)分布。(3)當(dāng)k→∞時(shí)，D(V)

→

0,V趨近于常數(shù)1/μ,則V?Ek(μ)。

i=1kV=V1+V2+…+Vk=∑Vi25例.到達(dá)只有一臺(tái)加油設(shè)備的加油站的汽車為泊松流，平均到達(dá)率為60臺(tái)/小時(shí)，由于加油站面積小比較擁擠，到達(dá)的汽車中平均每4臺(tái)中有1臺(tái)不進(jìn)入站內(nèi)而離去。這種情況下排隊(duì)等待加油的汽車的隊(duì)列（不計(jì)正在加油的）為3.5臺(tái)，求進(jìn)入該加油站汽車等待加油的平均時(shí)間。Lq=

Wqλe根據(jù)，可得3.5/45=0.077h=4.62min26練習(xí):一個(gè)有兩名服務(wù)員的排隊(duì)系統(tǒng)，該系統(tǒng)最多容納4名顧客。當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)中恰好有n名顧客的概率為，p0=1/16,p1=4/16,p2=6/16,p3=4/16,p4=1/16。試求（1）系統(tǒng)中的顧客平均數(shù)Ls(2)系統(tǒng)中平均排隊(duì)的顧客數(shù)Lq（3）某一時(shí)刻正在被服務(wù)的顧客的平均數(shù)（4）若顧客的平均到達(dá)率為2人/h，求顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間Ws（5）若兩名服務(wù)員具有相同的服務(wù)效率，利用（4）的結(jié)果求服務(wù)員服務(wù)一名顧客的平均時(shí)間。27練習(xí):顧客按泊松流到達(dá)某餐廳,平均每小時(shí)20人,該餐廳每天11點(diǎn)開始營(yíng)業(yè),試求(1)上午11:07餐廳內(nèi)有18人,到11:12餐廳內(nèi)有20名顧客的概率.假設(shè)就餐的顧客尚未就餐完畢離去。(2)若前一名顧客于上午11:25到達(dá),則下一名于上午11:28至11:30之間到達(dá)的概率.28練習(xí):一個(gè)有兩名服務(wù)員的排隊(duì)系統(tǒng)，各自獨(dú)立為顧客服務(wù)，服務(wù)時(shí)間均為平均值為5分鐘的指數(shù)分布。設(shè)顧客甲到達(dá)時(shí)兩名服務(wù)員均空閑，5分鐘后顧客乙到達(dá)，這時(shí)甲未服務(wù)完，再過(guò)10分鐘后第三名顧客丙到達(dá)，這時(shí)甲與乙都未服務(wù)完畢。試回答下列情況的概率。（1）甲在乙之前結(jié)束服務(wù)（2）丙在甲之前結(jié)束服務(wù)（3）丙在乙之前結(jié)束服務(wù)29練習(xí):一個(gè)顧客來(lái)到有2名并聯(lián)服務(wù)員的排隊(duì)系統(tǒng)，服務(wù)員的服務(wù)時(shí)間均為平均值為10分鐘指數(shù)分布，分別求下列情況的概率。（1）到達(dá)時(shí)兩名服務(wù)員均忙碌，則該顧客需要等待時(shí)間t1的概率分布f(t1)（2)若該顧客已經(jīng)等了5分鐘，則需等待時(shí)間為t2的期望值。（3）若該顧客到達(dá)時(shí)前面已經(jīng)有2人在等待，則輪到他被服務(wù)時(shí)所需時(shí)間t3的期望值及標(biāo)準(zhǔn)差。生滅過(guò)程

生：一個(gè)新顧客的到達(dá)滅：一個(gè)服務(wù)完畢顧客的離去假定：顧客到達(dá)是泊松流，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布。圓圈中的數(shù)字表示系統(tǒng)的狀態(tài)（顧客數(shù)），箭頭表示從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，對(duì)于每個(gè)狀態(tài)來(lái)說(shuō)，轉(zhuǎn)入率應(yīng)該等于轉(zhuǎn)出率。07/12--31--狀態(tài)轉(zhuǎn)入率等于轉(zhuǎn)出率012.N-1Nu1p1=λ0p0λ0p0+u2p2=(λ1+u1)p1λ1p1+u3p3=(λ2+u2)p2λn-2pn-2+unpn=(λn-1+un-1)pn-1λn-1pn-1+un+1pn+1=(λn+un)pn

令(n=1,2…..)(n=1,2…..)例:一個(gè)具有4個(gè)狀態(tài)的生滅過(guò)程的有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示,求處于穩(wěn)態(tài)時(shí)各狀態(tài)的概率.n01234λn23210un0341234練習(xí):汽車按泊松分布到達(dá)只有一套加油設(shè)備的加油站，平均15輛/小時(shí)，當(dāng)加油站已有n臺(tái)汽車在加油或者等待加油時(shí)，新到達(dá)汽車將按n/3的概率離去，又每輛車加油時(shí)間為平均4分鐘的負(fù)指數(shù)分布，試（1）畫出上述排隊(duì)系統(tǒng)的生滅過(guò)程發(fā)生率圖（2）求處于穩(wěn)態(tài)時(shí)系統(tǒng)處于各狀態(tài)的概率。練:某小型超市有一個(gè)收款臺(tái).交款顧客按每小時(shí)30人的泊松流到達(dá).當(dāng)收款臺(tái)前只有一名顧客時(shí),由一名收款員單獨(dú)服務(wù).收款時(shí)間服從平均為15分鐘的負(fù)指數(shù)分布.當(dāng)有兩名或以上顧客時(shí),將增加一名助手用于共同為顧客服務(wù).收款時(shí)間縮至平均為1分鐘的負(fù)指數(shù)分布.要求:(1)畫出上述排隊(duì)系統(tǒng)的生滅過(guò)程發(fā)生率圖(2)求收款臺(tái)前有n名顧客的概率.第三節(jié)單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型一、標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型

設(shè)平均到達(dá)率為λ，平均服務(wù)率為u。并設(shè)λ＜u（否則隊(duì)列將排至無(wú)限遠(yuǎn)而使系統(tǒng)不能達(dá)到穩(wěn)態(tài)）。

設(shè)(否則隊(duì)列將排至無(wú)限長(zhǎng))，由概率的性質(zhì)可知,將Pn的關(guān)系代入，得因此，系統(tǒng)狀態(tài)為n的概率：由（9-20）式，

=1-P0，它描述了服務(wù)機(jī)構(gòu)的繁忙程度；所以又稱服務(wù)機(jī)構(gòu)的利用率。第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃以（9-20）式為基礎(chǔ)，可以算出系統(tǒng)的各個(gè)運(yùn)行指標(biāo)。⑴在系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)（隊(duì)長(zhǎng)期望值）(2)在隊(duì)列中等待的平均顧客數(shù)（隊(duì)列長(zhǎng)期望值）第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃或者關(guān)于顧客在系統(tǒng)中逗留的時(shí)間W(隨機(jī)變量)，在M/M/1情形下，它服從參數(shù)為-

的負(fù)指數(shù)分布，即分布函數(shù)

概率密度⑶在系統(tǒng)中顧客逗留的時(shí)間的期望值⑷在隊(duì)列中顧客等待時(shí)間的期望值第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃以上公式總結(jié)：第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃它們之間的關(guān)系如下：稱為L(zhǎng)ittle(李特爾)公式例9-1在集裝箱堆場(chǎng)中的作業(yè)集裝箱泊位遵從先到先服務(wù)，車輛經(jīng)過(guò)作業(yè)泊位服從負(fù)指數(shù)分布，每輛車平均需要15分。車輛進(jìn)入車道服從泊松分布，平均每小時(shí)3輛。解：對(duì)此隊(duì)列分析如下：模型為M/M/1//.(1)先確定參數(shù)值：由題意知，這是單服務(wù)臺(tái)模型系統(tǒng)，有=3(輛/小時(shí))=60/15=4(輛/小時(shí))

故服務(wù)強(qiáng)度為=/=3/4=0.75(2)

計(jì)算穩(wěn)態(tài)概率

p0=1-=1-0.75=0.25;pn=np0其中，p0是車道空閑的概率，也是車輛不必等待立即就能進(jìn)入車道的概率。而車輛需要等待的概率，也是車道繁忙的概率為p(n>0)=1-p0==1-0.25=0.75第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃⑶計(jì)算系統(tǒng)的主要工作指標(biāo)：此模型的平均有效到達(dá)率，即是到達(dá)率第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃⑷為使車輛平均逗留時(shí)間不超過(guò)半小時(shí)，車輛經(jīng)過(guò)車道的平均時(shí)間應(yīng)減少到多少？由于將=3代入上式解得：≥5車輛經(jīng)過(guò)車道的平均時(shí)間為即車輛經(jīng)過(guò)車道的平均時(shí)間至少應(yīng)減少3分。第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃練：汽車按泊松流到達(dá)某高速公路收費(fèi)口，平均每小時(shí)90輛。每輛車通過(guò)收費(fèi)口的時(shí)間服從均值35秒的負(fù)指數(shù)分布。

（1）在收費(fèi)口有多于2輛車排隊(duì)等待的概率是多少？

（2）因司機(jī)們抱怨等待時(shí)間太長(zhǎng)，管理部門擬采用自動(dòng)收款裝置使平均收費(fèi)時(shí)間縮短到30秒，但條件是原收費(fèi)口平均等待車輛超過(guò)6輛，且新裝置的利用率不低于75％時(shí)才采用，問(wèn)新裝置能否被采用？

解：這是M/M/1排隊(duì)模型。

（1）λ=90（輛/小時(shí)），原收費(fèi)口平均服務(wù)u=3600/35（輛/小時(shí)），ρ=λ/u=0.875<1。

在原收費(fèi)口有多于2輛車排隊(duì)等待的概率就是系統(tǒng)中有多于3輛車的概率，即等于

1-P0-P1-P2-P3=ρ4=（0.875）4=0.5862

（2）原收費(fèi)口平均等待車輛數(shù)為

Lq=ρ2/（1-ρ）=（0.875）2/（1-0.875）=6.125

采用新裝置后的平均服務(wù)u'=3600/30=120（輛/小時(shí)），相應(yīng)的利用率ρ'=λ/u'=90/120=0.75.因此新裝置能被采用。

練：某場(chǎng)籃球比賽前來(lái)到體育館某售票口買票的觀眾按泊松分布到達(dá)，平均60人/h，設(shè)該售票口售票速度服從指數(shù)分布，平均售一張票時(shí)間為20秒，試回答：（1）如有一個(gè)球迷于比賽前2分鐘到達(dá)，并設(shè)買到票后需要1.5min后才能找到座位坐下，求該球迷在比賽開始前找到座位坐下的概率。（2）如該球迷希望99%的把握在比賽開始前找到座位坐下，則他至少應(yīng)提前多少分鐘到達(dá)售票口。

二、系統(tǒng)的容量有限的情況（M/M/1/N/）若系統(tǒng)的最大容量為N，對(duì)于單服務(wù)臺(tái)的情形，排隊(duì)等待的顧客最多為N-1，在某時(shí)刻一顧客到達(dá)時(shí)，如果系統(tǒng)中已有N個(gè)顧客，那么這個(gè)顧客就被拒絕進(jìn)入系統(tǒng)（如圖9-4）。第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃圖9-4有容量限制的情形當(dāng)N=1時(shí)，為即時(shí)制的情形；當(dāng)N→

，為容量無(wú)限制的情形。若只考慮穩(wěn)態(tài)的情形，各狀態(tài)間概率強(qiáng)度的轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖9-5。第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃圖9-5狀態(tài)間概率強(qiáng)度的轉(zhuǎn)換關(guān)系根據(jù)圖9-5列出狀態(tài)概率的穩(wěn)態(tài)方程：解此方程與解（9-18）與（9-19）是相似的，不同的是令，得第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃對(duì)于的取值略去=1

情形的討論。當(dāng)容量沒(méi)有限制時(shí)，設(shè)

<1，這既是實(shí)際問(wèn)題的需要，也是無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂所必需的。當(dāng)系統(tǒng)容量為有限數(shù)N時(shí)，此條件就是多余的。第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃關(guān)于有效到達(dá)率e當(dāng)研究顧客在系統(tǒng)平均逗留時(shí)間Ws和隊(duì)列中平均等待時(shí)間Wq時(shí)，盡管（9-22）式仍可利用，但要注意平均到達(dá)率是在系統(tǒng)中有空時(shí)的平均到達(dá)率，當(dāng)系統(tǒng)已滿(n=N)時(shí)，則到達(dá)率為0，因此需要求出有效到達(dá)率e=

(1-PN)可驗(yàn)證：,即λe=μ(1-P0)第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃根據(jù)（9-25）可以得出以下指標(biāo)：(1)隊(duì)長(zhǎng)（期望值）(2)隊(duì)列長(zhǎng)（期望值）(3)顧客逗留時(shí)間（期望值）

(4)顧客等待時(shí)間（期望值）第三節(jié)：?jiǎn)畏?wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃此模型系統(tǒng)的性能指標(biāo)（當(dāng)1

時(shí)）第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃例9-2集裝箱堆場(chǎng)的某作業(yè)集裝箱泊位共7個(gè)。當(dāng)7個(gè)處理臺(tái)都滿時(shí)，后來(lái)到的集裝箱不進(jìn)入該作業(yè)線。集裝箱的平均到達(dá)率為3個(gè)/分鐘，處理一個(gè)集裝箱平均需要15分。解：則N=7為系統(tǒng)中最大的顧客數(shù)，=3個(gè)/小時(shí)，=4個(gè)/小時(shí)。(1)由題意知，模型為（M/M/1/N/）先確定參數(shù)：由題意知，服務(wù)強(qiáng)度=/=3/4=0.75(2)求某集裝箱一到達(dá)就能進(jìn)行作業(yè)的概率。這種情形相當(dāng)于作業(yè)線內(nèi)沒(méi)有集裝箱，所求概率第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃(3)求作業(yè)線上集裝箱的期望值；需要等待的集裝箱的期望值(4)求有效到達(dá)率λe

λe=μ(1-P0)=4*(1-0.2778)=2.89(個(gè)?小時(shí))(5)求一集裝箱在作業(yè)線內(nèi)逗留的期望時(shí)間；等待時(shí)間(6)在可能到來(lái)的集裝箱進(jìn)入其它作業(yè)線的概率(Pn≥7)。這就是求作業(yè)線內(nèi)有7個(gè)集裝箱的概率第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃練：一個(gè)有一套洗車設(shè)備的洗車店，要求洗車的車輛平均每4分鐘到達(dá)一輛，洗每輛車平均需要3分鐘，以上均服從指數(shù)分布。該店現(xiàn)有兩個(gè)車位，當(dāng)?shù)陜?nèi)無(wú)車時(shí)，到達(dá)車輛全部進(jìn)入，當(dāng)有一輛車時(shí)，只有80%進(jìn)入，當(dāng)有兩輛車時(shí)，新到達(dá)車輛因無(wú)空位而全部離去。試問(wèn)：

（1）對(duì)此排隊(duì)系統(tǒng)畫出生滅過(guò)程發(fā)生率圖。

（2）求洗車設(shè)備平均利用率，及一輛進(jìn)入該店的車輛在店內(nèi)的平均逗留時(shí)間。

（3）為減少顧客流失，店里擬擴(kuò)大租用第3個(gè)車位，這樣當(dāng)?shù)陜?nèi)已有2輛車時(shí)，到達(dá)車輛有60%進(jìn)入，有3輛車時(shí)，新到達(dá)車輛仍全部離去。經(jīng)計(jì)算當(dāng)租用第3車位時(shí)，該洗車店內(nèi)有n輛車的概率如下P0=0.416,P1=0.312,P2=0.187,P3=0.085如果該車店每天營(yíng)業(yè)12小時(shí)，新車位租金每天100元，洗一輛車的凈利潤(rùn)5元，問(wèn)第3個(gè)車位是否值得租用。

三、顧客源有限的情形(M/M/1//m)該模型中，設(shè)顧客總數(shù)為m，當(dāng)顧客需要服務(wù)時(shí)，就進(jìn)入隊(duì)列等待；服務(wù)完畢后，重新回到顧客源。如此循環(huán)往復(fù)。模型符號(hào)的第4項(xiàng)為，表示系統(tǒng)的容量沒(méi)有限制，但實(shí)際上它決不會(huì)超過(guò)m，所以跟寫成(M/M/1/m/m)的意義相同。典型的有限顧客源問(wèn)題是機(jī)器維修問(wèn)題。有m臺(tái)機(jī)器在運(yùn)轉(zhuǎn)，單位時(shí)間內(nèi)平均出現(xiàn)故障的機(jī)器數(shù)即為顧客平均到達(dá)率，修理工修理一臺(tái)設(shè)備的平均時(shí)間即為平均服務(wù)時(shí)間，已修復(fù)的機(jī)器仍可能再出現(xiàn)故障（如圖9-6）。第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃圖9-6有限顧客源問(wèn)題關(guān)于平均到達(dá)率在無(wú)限源的情形是按全體顧客來(lái)考慮的；在有限源的情形必須按每個(gè)顧客來(lái)考慮。為簡(jiǎn)單起見，設(shè)各個(gè)顧客的到達(dá)率都是相同的（的含義是每臺(tái)機(jī)器單位運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的概率或平均次數(shù)），這時(shí)在系統(tǒng)外的顧客平均數(shù)為m-Ls，對(duì)系統(tǒng)的有效到達(dá)率e應(yīng)為e=(m-Ls)第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃對(duì)于此模型的分析依然可以沿用前面的方法。在穩(wěn)態(tài)的情況下，考慮狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移率如圖9-7所示。第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃圖9-7狀態(tài)轉(zhuǎn)移根據(jù)圖9-7列出狀態(tài)概率的穩(wěn)態(tài)方程：解此差分方程，用遞推的方法第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃得系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo):第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃在機(jī)器故障問(wèn)題中Ls就是平均故障臺(tái)數(shù)，而(m-Ls)表示正常運(yùn)轉(zhuǎn)的平均臺(tái)數(shù)。第三節(jié)

單服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃第11章排隊(duì)論62

例5

一個(gè)工人負(fù)責(zé)照管6臺(tái)自動(dòng)機(jī)床，當(dāng)機(jī)床需要加料、發(fā)生故障或刀具磨損時(shí)就自動(dòng)停車，等待工人照管。設(shè)每臺(tái)機(jī)床平均每小時(shí)停車一次，每次需要工人照管的平均時(shí)間為0.1小時(shí)。試分析該系統(tǒng)運(yùn)行情況。

解

m=6λ=1(臺(tái)/小時(shí))μ=1/0.1=10(臺(tái)/小時(shí))λμ==0.1L=6-10(1-0.4845)=

0.845(臺(tái))工人空閑的概率：停車的機(jī)床(包括正在照管和等待照管)的平均數(shù)

∑P0=6!(0.1)k(6-k)!-1=

0.4845k=06第11章排隊(duì)論63

L=0.845-(1-0.4845)=

0.3295(臺(tái))W=

L/[μ(1-P0)]

=

0.845/[10(1-0.4845)]

=0.1639(小時(shí))=

9.83(分鐘)Wq=

W–

1/μ=

0.1639-0.1

=0.0639(小時(shí))=

3.83(分鐘)

ξ=Lm=0.8456=

14.1%η

=1

-ξ=100%-

14.1%

=

85.9%

等待照管的機(jī)床平均數(shù)：

平均停車時(shí)間：

平均等待時(shí)間:

生產(chǎn)損失率

機(jī)床利用率單隊(duì)、并列的多服務(wù)臺(tái)（服務(wù)臺(tái)數(shù)為c）的情形，討論以下三種情形：(1)標(biāo)準(zhǔn)的M/M/c模型(M/M/c//);(2)系統(tǒng)容量有限制(M/M/c/N/)；(3)有限顧客源(M/M/c//m)。第四節(jié)多服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃一、標(biāo)準(zhǔn)的M/M/c模型(M/M/c//)

標(biāo)準(zhǔn)M/M/c模型的各種特征與標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型的規(guī)定相同。另規(guī)定各服務(wù)臺(tái)工作是相互獨(dú)立的（非協(xié)作）且平均服務(wù)率相同1=1=…=c=。因此整個(gè)服務(wù)機(jī)構(gòu)的平均服務(wù)率c（當(dāng)n≥c時(shí)）；n（當(dāng)n<c時(shí)）。令

，僅當(dāng)

時(shí)才不會(huì)排成無(wú)限長(zhǎng)的隊(duì)列，

稱為此系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度（或服務(wù)機(jī)構(gòu)的平均利用率）（如圖9-8）。第四節(jié)多服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃這個(gè)系統(tǒng)的特點(diǎn)是，系統(tǒng)的服務(wù)速率與系統(tǒng)中的顧客數(shù)有關(guān)。當(dāng)1nc時(shí)，系統(tǒng)中的顧客全部在服務(wù)臺(tái)中，系統(tǒng)的服務(wù)率為n，狀態(tài)的轉(zhuǎn)移率nPn；當(dāng)n>c時(shí)，因?yàn)橹挥衏個(gè)服務(wù)臺(tái)，最多有c個(gè)顧客在被服務(wù)，n-c個(gè)顧客在等候，因此系統(tǒng)的服務(wù)率為c，狀態(tài)的轉(zhuǎn)移率應(yīng)為cPn。第四節(jié)多服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃圖9-8多服務(wù)臺(tái)服務(wù)系統(tǒng)第四節(jié)多服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃圖9-9多服務(wù)臺(tái)服務(wù)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移第四節(jié)多服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃由圖9-9可得：類似的有∑Pi=1，且ρ≤1用遞推解差分方程（9-29），求得狀態(tài)概率：系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)平均隊(duì)長(zhǎng)平均等待時(shí)間和逗留時(shí)間（由little公式求得）第四節(jié)多服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃第11章排隊(duì)論70例1

某醫(yī)院急診室同時(shí)只能診治一個(gè)病人，診治時(shí)間服從指數(shù)分布，

每個(gè)病人平均需要15分鐘。病人按泊松分布到達(dá)，平均每小時(shí)

到達(dá)3人。

(1)先確定參數(shù)值，

有s=1

=3(人/小時(shí))

=

60/15

=

4(人/小時(shí))

故服務(wù)強(qiáng)度為

=

/

=

3/4

=

0.75

(2)

計(jì)算穩(wěn)態(tài)概率：

P0=1-

=1-0.75=0.25

即急診室空閑的概率,也是病人不必等待立即就能就診的概率。

而

病人需要等待的概率則為P(Q>0)

=1-

P0=

=

0.75這也就是急診室繁忙的概率。

第11章排隊(duì)論71

急診室內(nèi)外的病人平均數(shù)：急診室外排隊(duì)等待的病人平均數(shù)：

Lq=L=3×0.75=2.25（人）病人在急診室外平均逗留時(shí)間：病人平均等候時(shí)間:Wq=W=1×0.75=0.75（小時(shí)）(3)

計(jì)算系統(tǒng)主要工作指標(biāo)λμ-λL=1μ-

λW=14-

3==1（小時(shí)）34

-3==3（人）第11章排隊(duì)論72

(4)

為使病人平均逗留時(shí)間不超過(guò)半小時(shí)，則平均服務(wù)時(shí)間應(yīng)減少多少？由于1μ-λW=12≤μ≥5則平均服務(wù)時(shí)間為15≤(小時(shí))=12(分鐘)1μ故1μ△≥15-12=3(分鐘)即平均服務(wù)時(shí)間至少應(yīng)減少3分鐘。代入λ=3，解得第11章排隊(duì)論73

(5)

若醫(yī)院希望候診的病人90%以上都能有座位，則候診室至少應(yīng)安置多少座位？

設(shè)應(yīng)安置

x

個(gè)座位；則加上服務(wù)臺(tái)共

x+1個(gè)，有

P(N≤

x+1)=

1

-

P(N>

x+1)≥0.9

P(N>

x+1)≤0.1

(x+1)+1

=

x+2

≤0.1兩邊取對(duì)數(shù)

(

x+

2)lg≤lg0.1因

<

1，故

x+

2

≥lg0.1

/lg=

-1/lg0.75

=

8

x≥

6即候診室至少應(yīng)安置

6

個(gè)座位。按(11-28)式有第11章排隊(duì)論74

例2

承例1，假設(shè)醫(yī)院增強(qiáng)急診室的服務(wù)能力，使其同時(shí)能診治兩個(gè)病人，且平均服務(wù)率相同。試分析該系統(tǒng)工作情況

,并與例1進(jìn)行比較。

解這相當(dāng)于增加了一個(gè)服務(wù)臺(tái)，故有s=2

=

3(人/小時(shí))

=

4(人/小時(shí))

δ=

/

=0.75

=

/s

=

3/(2×4)

=

0.375按

(11-14)式得P0

=[1+0.75

+]-1(0.75)22!(1-0.375)按

(11-16)式得Lq=(0.75)2×0.3752!(1-

0.375)2×115≈0.12(人)=115=0.45..第11章排隊(duì)論75故有L=

Lq+δ=

0.12

+

0.75=

0.87(人)Wq

=

Lq/λW

=

L

/λ=

0.87/3=

0.29(小時(shí))=

0.12/3=

0.04(小時(shí))=

17.4(分鐘)=

2.4(分鐘)

病人必須等待的概率即為系統(tǒng)狀態(tài)N

≥s(=

2)的概率，由(11-20)式得P(Q>0)

=

P(N

≥2)

=(0.75)22!(1-0.375)×115≈0.20另外還常采用顧客時(shí)間損失系數(shù)β=WqE(V)來(lái)評(píng)估服務(wù)質(zhì)量。第11章排隊(duì)論76指標(biāo)S=1

系統(tǒng)S=2

系統(tǒng)P00.250.45P(Q>0)0.750.20Lq

2.25人0.12人L3人0.87人W60分鐘

17.

4分鐘Wq45分鐘2.

4分鐘β

3倍

16%兩個(gè)系統(tǒng)的比較..二、系統(tǒng)容量有限的情形(M/M/c/N/)設(shè)系統(tǒng)的容量最大限制為N(N≥c)，當(dāng)系統(tǒng)中顧客數(shù)n已到達(dá)N（即隊(duì)列中顧客數(shù)已達(dá)(N-c)時(shí)），以后到達(dá)的顧客將被拒絕，其余條件與標(biāo)準(zhǔn)的M/M/c

模型相同。此時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)概率:其中

（不必對(duì)

加以限制）第四節(jié)多服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)：由于公式復(fù)雜，現(xiàn)有一些專門的圖表可供查閱。第四節(jié)多服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃當(dāng)N=c（即時(shí)制）的情形，典型的例子是街頭的停車場(chǎng)就不允許排隊(duì)等待空位。有：當(dāng)n=c時(shí)，即關(guān)于Pc的公式，被稱為愛爾朗呼喚損失公式，是A.K.Erlang早在1917年發(fā)現(xiàn)的，并廣泛應(yīng)用于電話系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中。此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)：第四節(jié)多服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃第11章排隊(duì)論80

例4

某街口汽車加油站可同時(shí)為兩輛汽車加油，同時(shí)還可容納三輛汽車等待，超過(guò)此限則不能等待而消失。汽車到達(dá)間隔與加油時(shí)間均為指數(shù)分布，平均每小時(shí)到達(dá)16輛，平均加油時(shí)間為每輛6分鐘。求每輛汽車的平均逗留時(shí)間。解

s=2r=2+3=5λ=16(輛/小時(shí))μ=60/6=10(輛/小時(shí))λμ

==1610=

1.6λsμρ==1.62=0.8第11章排隊(duì)論81

(1.6)22!22×0.8(0.82-0.85)2!(1-

0.8)P0=-11+1.6++≈0.1568Lq=0.8(1.6)2×0.15682!(1-

0.8)2{1-

(0.8)5-2[1

+(5-2)(1

-

0.8)]}=

0.7257(輛)P5=

(0.8)5×0.1568=

0.1028≈10%222!L=

0.7257+1.6

(1

-

0.1028

)=

2.1612(輛)W

=2.161216(1-0.1028)≈0.15(小時(shí))

=

9(分鐘)三、顧客源為有限的情形

(M/M/c//m)設(shè)顧客源為有限數(shù)m（m>c），與單服務(wù)臺(tái)情形類似，顧客的到達(dá)率λ是按單個(gè)顧客來(lái)考慮的，在機(jī)器管理問(wèn)題中，共有m臺(tái)機(jī)器，有c個(gè)修理工人，顧客到達(dá)就是機(jī)器出了故障，而每個(gè)顧客的到達(dá)率

是指每臺(tái)機(jī)器單位運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間出故障的期望次數(shù)。系統(tǒng)中顧客數(shù)n就是出故障臺(tái)數(shù)，當(dāng)n≤c時(shí)，所有的故障機(jī)器都在被修理，有(c-n)個(gè)修理工人在空閑；當(dāng)c<n≤m時(shí)，有(n-c)臺(tái)機(jī)器在停機(jī)等待修理，而修理工都在忙碌狀態(tài)。假定這c個(gè)工人修理技術(shù)相同，修理時(shí)間都服從參數(shù)為μ的負(fù)指數(shù)分布，并假定故障的修復(fù)時(shí)間和正在生產(chǎn)的機(jī)器是否發(fā)生故障是相互獨(dú)立的。第四節(jié)多服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃其中第四節(jié)多服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃由于P0,Pn計(jì)算公式過(guò)于復(fù)雜，有專門的表格可以供查閱。系統(tǒng)的性能指標(biāo)平均顧客數(shù)（即平均故障臺(tái)數(shù)）：有效的到達(dá)率λe為每個(gè)顧客的到達(dá)率λ乘以在系統(tǒng)外（正常運(yùn)轉(zhuǎn)）的機(jī)器的期望數(shù)：λe=λ(m-Ls)；在機(jī)器故障問(wèn)題中，即單位時(shí)間m臺(tái)機(jī)器平均出現(xiàn)故障的次數(shù)。第四節(jié)多服務(wù)臺(tái)模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃本節(jié)討論服務(wù)時(shí)間是任意分布的情形，當(dāng)然，對(duì)任何情形都有下面的關(guān)系：E[系統(tǒng)中顧客數(shù)]=E[隊(duì)列中顧客數(shù)]+E[服務(wù)機(jī)構(gòu)中顧客數(shù)]E[在系統(tǒng)中逗留時(shí)間]=E[排隊(duì)等待時(shí)間]+E[服務(wù)時(shí)間]其中，E[.]表示求期望值，用符號(hào)表示：Ls=Lq+LseWs=Wq+E[T]第五節(jié)其他服務(wù)時(shí)間分布模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃一、一般分布模型(M/G/1/∞/∞)該模型的基本條件：(1)

輸入過(guò)程——顧客源是無(wú)限的，到達(dá)過(guò)程服從參數(shù)為λ的泊松過(guò)程；(2)排隊(duì)規(guī)則——單隊(duì)，隊(duì)長(zhǎng)無(wú)限制，先到先服務(wù)；(3)服務(wù)機(jī)構(gòu)——單服務(wù)臺(tái)，G表示服務(wù)時(shí)間T的分布為任意的概率分布，但已知E(T)和方差Var(T)。此模型被稱為單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、任意服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型。第五節(jié)其他服務(wù)時(shí)間分布模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃在穩(wěn)態(tài)情況下，當(dāng)ρ=λE(T)<1時(shí)，可以證明:

此公式又稱P-K（Pollaczek-Khintchine）公式。只要知道λ、E(T)、Var(T)，無(wú)論服務(wù)時(shí)間T服從什么分布，均可用P-K公式求出平均隊(duì)長(zhǎng)Ls。其它的運(yùn)行指標(biāo)：第五節(jié)其他服務(wù)時(shí)間分布模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃第11章排隊(duì)論88

例7

某儲(chǔ)蓄所有一個(gè)服務(wù)窗口，顧客按泊松分布平均每小時(shí)到達(dá)10人。為任一顧客辦理存款、取款等業(yè)務(wù)的時(shí)間

V(小時(shí))～N(0.05,0.012).

試求該儲(chǔ)蓄所空閑的概率及其主要工作指標(biāo)。

解從而根據(jù)波拉切克——欣欽公式，可以導(dǎo)出：L

q=ρ+

σ

22(

1-ρ)λ22σ2=0.012(小時(shí)/人)2λ=

10

(人/小時(shí))1μ=0.05(小時(shí)/人)第11章排隊(duì)論8911.3

其他模型選介=0.26(人)該儲(chǔ)蓄所空閑的概率：

=

1-

0.5

=

0.5=

10(0.05)=

0.5ρ=λμP0

=1-ρL=Lq+ρL

q=0.52+102(0.01)22(1-0.5)W=L

λWq=Lq

λ則主要指標(biāo)=0.26+0.5=0.76(人)=0.7610=

0.076(小時(shí))≈5

(分鐘)=0.2610=

0.026(小時(shí))≈2

(分鐘)二、定長(zhǎng)分布模型(M/D/1/∞/∞)服務(wù)時(shí)間為確定的常數(shù)，如在一條裝配線上完成一件工作的時(shí)間一般都是常數(shù)。自動(dòng)汽車沖洗臺(tái)，沖洗一輛汽車的時(shí)間就是常數(shù)，可得：第五節(jié)其他服務(wù)時(shí)間分布模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃第11章排隊(duì)論91

二、M/D/1系統(tǒng)

該系統(tǒng)對(duì)各顧客服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立且為同一個(gè)常數(shù)，故有

E()==1μ

例8

某檢測(cè)站有一臺(tái)自動(dòng)檢測(cè)機(jī)器性能的儀器，檢測(cè)每臺(tái)機(jī)器都需6分鐘。送檢機(jī)器按泊松分布到達(dá)，平均每小時(shí)4臺(tái)。試求該系統(tǒng)的主要工作指標(biāo)。D()=0(=σ2)Lq=ρ2(1-ρ)2第11章排隊(duì)論9211.3

其他模型選介

λ=4臺(tái)/小時(shí)

μ=6分鐘/臺(tái)=0.1小時(shí)/臺(tái)

σ2=0，L=Lq+ρ=

2/15+0.4

=

8/15(臺(tái))

Wq=Lq/

=

2/4(15)=1/30(小時(shí))

=

2(分鐘)W=Wq+1/μ=

2+6

=

8(分鐘)0.422(1-0.4)Lq=

=

2/15(臺(tái))λμρ=

=

4(0.1)=

0.4解三、愛爾朗服務(wù)時(shí)間(M/Ek/1/∞/∞)此模型中每一個(gè)顧客必須一次經(jīng)過(guò)k個(gè)服務(wù)臺(tái)，接受k次服務(wù)后才構(gòu)成一個(gè)完整服務(wù)過(guò)程。在每個(gè)服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間Ti相互獨(dú)立，并服從相同的負(fù)指數(shù)分布（參數(shù)為kμ），那么服從k階愛爾朗分布。第五節(jié)其他服務(wù)時(shí)間分布模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃對(duì)于(M/Ek/1/∞/∞)模型（除服務(wù)時(shí)間外，其它條件與標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1/∞/∞型相同）第五節(jié)其他服務(wù)時(shí)間分布模型第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃第11章排隊(duì)論95

例9

一個(gè)質(zhì)量檢查員平均每小時(shí)收到兩件送來(lái)檢查的樣品，每件樣品要一次完成5項(xiàng)檢驗(yàn)才能判斷是否合格。據(jù)統(tǒng)計(jì)，每項(xiàng)檢驗(yàn)所需時(shí)間的期望值都是4分鐘，每項(xiàng)檢驗(yàn)的時(shí)間和送檢產(chǎn)品到到達(dá)間隔都為指數(shù)分布。問(wèn)一件樣品從送到至檢查完畢預(yù)期要多少時(shí)間？解

λ=

2

件/小時(shí)

k=5μ1/(5)=

4

(分鐘/件)μ

E(Vi)

=1/(k)，i=1，2，3，4，51/μ=20

(分鐘/件)=

1/3

(小時(shí)/件)由有則第11章排隊(duì)論96

ρ=

λ/μ=

2(1/3)=

2/3Lq

=Wq=Lq/λ=4/5/2

=

2/5

(小時(shí))W

=Wq+1/μ=

2/5

+

1/3

=

11/15(小時(shí))

=

44(分鐘)

(5+1

)(2/3)22×5(1-

2/3)=45(件)一、排隊(duì)系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)分析試圖完全消除排隊(duì)現(xiàn)象是不現(xiàn)實(shí)的，那樣顯然會(huì)造成服務(wù)人員和設(shè)施的嚴(yán)重浪費(fèi)。另一方面，如果設(shè)施不足或服務(wù)低水平，將導(dǎo)致過(guò)多的等待，因而產(chǎn)生生產(chǎn)和社會(huì)損失。從經(jīng)濟(jì)角度考慮，一般排隊(duì)系統(tǒng)的費(fèi)用應(yīng)該包含于以下兩個(gè)方面：⑴服務(wù)費(fèi)用。它隨著服務(wù)水平（反映在服務(wù)能力和服務(wù)臺(tái)數(shù)量方面）的提高而增加，是服務(wù)水平的遞增函數(shù)。⑵顧客等待的機(jī)會(huì)損失（費(fèi)用）。顧客由于等待，產(chǎn)生一系列的損失（時(shí)間上、心理上、社會(huì)上等）用經(jīng)濟(jì)費(fèi)用進(jìn)行的估算，稱為顧客等待的機(jī)會(huì)損失。它隨服務(wù)水平的提高而下降，是服務(wù)水平的遞減函數(shù)。

第六節(jié)服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃的應(yīng)用第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃這兩方面構(gòu)成的函數(shù)呈現(xiàn)為一條如圖所示的U型曲線。第六節(jié)服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃的應(yīng)用第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃圖9-10費(fèi)用與服務(wù)水平之間的關(guān)系F1、F2、Y分別是等待費(fèi)用函數(shù)、服務(wù)費(fèi)用函數(shù)、合成費(fèi)用函數(shù)。歸納起來(lái)，排隊(duì)系統(tǒng)常見的優(yōu)化問(wèn)題在于：①確定服務(wù)臺(tái)的最優(yōu)平均服務(wù)率μ*；②確定最佳服務(wù)臺(tái)數(shù)量s*；③選擇最為合適的服務(wù)規(guī)則；④確定上述幾個(gè)量得最優(yōu)組合。研究排隊(duì)系統(tǒng)的根本目的在于以最少的設(shè)備得到最大的效益，或者說(shuō)，在一定的服務(wù)質(zhì)量的指標(biāo)下要求機(jī)構(gòu)最為經(jīng)濟(jì)。第六節(jié)服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃的應(yīng)用第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃二、M/M/1系統(tǒng)的最優(yōu)平均服務(wù)率μ1．標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型設(shè)c1為當(dāng)μ=1時(shí)服務(wù)系統(tǒng)單位時(shí)間的平均費(fèi)用，并且這個(gè)平均費(fèi)用與平均服務(wù)率μ成正比例；cw為平均每個(gè)顧客在逗留單位時(shí)間的損失；Y為整個(gè)系統(tǒng)單位時(shí)間的平均總費(fèi)用。其中c1、cw均為已知（以下情形相同）。目標(biāo)函數(shù)：將M/M/1模型的平均隊(duì)長(zhǎng)公式L=λ/(μ-λ)代入(9-41)式，得：第六節(jié)服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃的應(yīng)用第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃顯然，Y是關(guān)于決策變量μ的一元非線性函數(shù)。由一階最優(yōu)性必要條件（駐點(diǎn)條件）解得駐點(diǎn)取算術(shù)平方根是為了保證ρ<1，即μ*>λ，這樣，系統(tǒng)才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)。又知二階充分條件成立：于是，式(9-43)給出的μ*為(λ,∞)上的全局唯一最小點(diǎn)。將μ*帶入(9-42)中，可得最小的總平均費(fèi)用第六節(jié)服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃的應(yīng)用第九章服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃若設(shè)cw為平均每個(gè)顧客在隊(duì)列中等待單位時(shí)間的損失，則需要M/M/1模型的平均隊(duì)列長(zhǎng)公式

代入式(9-41)中的L，類似可得一階最優(yōu)性必要條件：這是一個(gè)關(guān)于μ的4次方程，實(shí)際中一般采用數(shù)值法（如牛頓法）來(lái)確定其根（最優(yōu)服務(wù)率）μ*。第六節(jié)服務(wù)系統(tǒng)規(guī)劃的應(yīng)用第九章服務(wù)