乘法公式-完全平方公式【知識素養(yǎng)提升+備課精講精研】 七年級數(shù)學(xué)下冊 教學(xué)課件（浙教版）

全平方公式授

課

人

：完01.了解并掌握完全平方公式.02.會推導(dǎo)完全平方公式，知道推導(dǎo)完全平方公式的理論依據(jù).03.應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行計算.目標(biāo)復(fù)習(xí)回顧任取兩個多項式相乘能列出哪些算式？x+yx-y2x+yx-yx+y其它算式用什么方法計算？你能最快算出哪個算式？以上算式具有什么樣的特征？(x+y)(x-y)=x2-y2平方差公式多項式的乘法法則(x+y)(x+y)(x-y)(x-y)

猜想：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.探究新知(1)用多項式乘法證明：(a-b)2=(a-b)(a-b)(a+b)2=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2將(ɑ-b)2看成[ɑ+(-b)]2=ɑ2+2ɑ(-b)+(-b)2

[ɑ+(-b)]2轉(zhuǎn)化思想(2)借助幾何圖形證明：如圖，邊長為(a+b)的正方形的面積是(a+b)2

.它的面積還可以視為兩個小正方形和兩個小長方形面積的和，所以(a+b)2=a2+2ab+b2baaba2ababb2即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

.它的面積還可以視為大正方形的面積減去兩個小長方形面積的差，如圖，邊長為(a-b)的正方形的面積是(a-b)2

.所以(a-b)2=a2-2ab+b2.(a-b)2(a-b2)a-bbba-bababb2=a2-ab-ab+b2

=a2-2ab+b2即總結(jié)歸納兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加(或減)它們的積的2倍。

(ɑ+b)2=ɑ2+2ɑb+b2

(ɑ-b)2=ɑ2

-2ɑb+b2公式結(jié)構(gòu)特征：

記憶口訣：“首平方，尾平方，積的2倍放中央，符號看前方”1.左邊是二項式的平方，右邊是二次三項式；3.公式中的字母ɑ，b可以表示單項式，多項式.2.右邊是兩項的平方和與這兩項積的2倍；強(qiáng)化練習(xí)兩數(shù)和（或差）的平方與公式中a對應(yīng)的項與公式中b對應(yīng)的項寫成a2±2ab+b2的形式計算結(jié)果2xmab3c例1

運(yùn)用完全平方公式計算：（1）=(4m)2+2?(4m)?n+n2(a+b)2=a2+2ab+b2典例精講(1)(ɑ+b)2與(-ɑ-b)2相等嗎?(2)(ɑ-b)2與(b-ɑ)2相等嗎?==想一想(ɑ+b)2=(-ɑ-b)2(ɑ-b)2=(b-ɑ)2總結(jié)簡化運(yùn)算例2

運(yùn)用完全平方公式計算：解：512=(50+1)2=2500+100+1=2601=502+2×50×1+12

（1）

（2）

512982解：982=9604=(100–2)2=1002-2×100×2+22=10000-400+4例3

妙用完全平方公式解決問題：

已知

x+y=5，xy＝－6，求:(1)x2＋y2的值;(2)(x-y)2的值．【規(guī)范解答】依題意得：(1)∵x+y=5，xy＝－6.∴(x+y)2＝25.∴(x+y)2＝x2+2xy+y2＝x2+y2－12＝25∴x2＋y2=37.(2)解：由（1）知

x2＋y2=37，∴(x-y)2=x2-2xy+y2=37-2×(-6)=49

總結(jié)歸納(2x+5y-3)(2x-5y+3)(a+b

-c)2解:(1)(2x+5y-3)(2x-5y+3)=[2x+(5y–3)][2x-(5y-3)]=4x2-(5y-3)2=4x2-(25y2-30y+9)=4x2-25y2+30y-9.(a+b-c)2=[(a+b)-c]2=(a+b)2-2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2=a2+b2+c2+2ab-2bc-2ac.例4

運(yùn)用完全平方公式計算：遇“加”不變，遇“減”都變例5

若式子x2+(m+7)x+25是完全平方式，則m的值是______．解：∵式子x2+(m+7)x+25是完全平方式，∴x2+(m+7)x+25=x2±10x+25=（x±5)2,∴m+7=±10，解得m=3或m=-17,3或-17隨堂演練1.計算：已知邊長分別為a、b的長方形的周長為10，面積4，則ab2+a2b的值為（）

A．10

B．20

C．40

D．80B解：由邊長分別為a、b的長方形的周長為10，面積4，則2（a+b）=10，ab=4，則a+b=5，故ab2+a2b=ab（b+a）=4×5=20.故選B.解：(1)

(2a+b)(2a-b)-(b-2a)2

=4a2-b2-(b2-4ab+4a2)=4a2-b2-

b2+4ab-4a2=4ab-2b2,∵a2+b2-4a-6b+13=0，∴(a2-4a+4)+(b2-6b+9)=0∴(a-2)2+(b-3)2=0∴a=2，b=32.已知

a,b滿足a2+b2-4a-6b+13=0,求(2a+b)(2a-b)-(b-2a)2的值.原式=4×2×3-2×32=24-18=63.為了運(yùn)用平方差公式計算(3x+2y-5)(3x-2y+5)，以下變形正確的是(）A.[3x-(2y+5)]2B.[3x+(2y-5)][3x-(2y-5)]C.[(3x-2y)+5][(3x-2y)-5]D.[3x+(2y-5)]2B4.圖1是一個長為2a，寬為2b(a＞b)的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖2那樣拼成一個正方形，則中間空余的部分的面積是()A.abB.(a+b)2C.(a-b)2D.a2-b2圖1圖2ab4ab(a+b)2C(a+b)2-4ab=a2+2ab+b2-4ab=(a-b)25.若(3x-a)2=9x2-bx+16，則a+b的值為（）

A.28B.-28C.24或-24D.28或-28D解：因為(3x-a)2=9x2-6ax+a2，所以9x2-6ax+a2=9x2-bx+16.則a2=16，6a=b,解得a=±4.當(dāng)a=4時，b=24；當(dāng)a=-4時，b=-24.所以a+b=28或-28.

47拓展提升

53．已知x滿足（x﹣2020）2+（2022﹣x）2＝10，則（x﹣2021）2的值是

．【詳解】解：∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝10∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，∴2（x﹣2021）2+2＝10，∴（x﹣2021）2＝4．4

【詳解】解：∵ax·ay=a5，(ay)x=a4，∴x+y=5，xy=4,∴x2+y2=(x+y)2-2xy=52-2×4=175417本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則，冪的乘方運(yùn)算法則，完全平方公式5．圖1是一個長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．(1)觀察圖2，請你寫出下列三個代數(shù)式(a+b)2，(a-b)2，ab

之間的等量關(guān)系為

．(2)運(yùn)用公式，計算：若m、n為實數(shù)，且mn=-3，m-n=4，試求(m+n)2的值．(3)如圖3，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB=8，兩正方形的面積和S1+S2=38，求圖中陰影部分面積．（1）利用等面積法，大正方形面積等于陰影小正方形面積加上四個長方形面積，得到關(guān)系式；由圖形面積得(a+b)2=(a-b)2+4ab，（2）由（1）題所得(a+b)2=(a-b)2+4ab，∴

(m+n)2=(m-n)2+4mn，∴當(dāng)mn=-3，m-n=4時，(m+n)2=42+4×(-3)=4，∴m+n=2或-2；（3）設(shè)AC=m，BC=n，則m+