2017-2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)備考黃金30題專題06大題易丟分（30題）文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE34學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精大題易丟分1。【題文】已知,且,設(shè)命題p：函數(shù)在上單調(diào)遞減；命題q：函數(shù)在上為增函數(shù),（1）若“p且q”為真，求實(shí)數(shù)c的取值范圍（2）若“p且q"為假,“p或q"為真，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．【答案】（1)；（2）試題解析：(1）∵函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減，∴0〈c<1，即p：0〈c〈1又∵f(x)＝x2－2cx＋1在上為增函數(shù)，∴c≤,即q：?！唷皃且q”為真時(shí)，（2）∵c>0且c≠1，∴p：c〉1,q:且c≠1.又∵“p或q”為真，“p且q”為假，∴p真q假或p假q真．當(dāng)p真,q假時(shí)，{c|0<c〈1｝∩{c|，且c≠1}＝｛c｜〈c<1｝．當(dāng)p假,q真時(shí),｛c|c>1}∩{c｜0〈c≤}＝?。綜上所述，實(shí)數(shù)c的取值范圍是{c｜<c<1}．2．【題文】已知集合是函數(shù)的定義域，集合是不等式（）的解集，：,：。(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍;（2）若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1）;(2）.【解析】試題分析:（1)分別求函數(shù)的定義域和不等式（a＞0）的解集化簡(jiǎn)集合A，由得到區(qū)間端點(diǎn)值之間的關(guān)系，解不等式組得到a的取值范圍；（2）求出?p對(duì)應(yīng)的x的取值范圍，由?p是q的充分不必要條件得到對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系，由區(qū)間端點(diǎn)值的關(guān)系列不等式組求解a的范圍．（2）易得：:或,∵是的充分不必要條件，∴是的真子集則，解得：∴的取值范圍為：點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)定義域的求法,考查了一元二次不等式的解法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是對(duì)區(qū)間端點(diǎn)值的比較，是中檔題．3．【題文】已知：命題：表示雙曲線，命題:函數(shù)在上單調(diào)遞增。（1)若命題為真命題，求實(shí)數(shù)取值范圍;(2）若命題和命題中有且只有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮?1)；（2)?！窘馕觥吭囶}分析：（1）由題意得到關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式：，求解不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2）由題意分類討論可得：若命題是真命題，命題是假命題,則；若命題是假命題，命題是真命題，則.則的取值范圍為.若命題是假命題，命題是真命題，則有解得。故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為。4．【題文】如圖,在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱底面，且側(cè)棱的長(zhǎng)是，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)。（Ⅰ)證明：平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積.【答案】（Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ)連結(jié),通過勾股定理計(jì)算可知，由三線合一得出平面;(Ⅱ）根據(jù)中位線定理計(jì)算得出是邊長(zhǎng)為的正三角形，以為棱錐的底面，則為棱錐的高,代入棱錐的體積公式計(jì)算。（Ⅱ）側(cè)棱底面,面由（Ⅱ)知:平面，是三棱錐到平面的距離分別是的中點(diǎn),，,四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，是的中點(diǎn)三角形是等邊三角形5．【題文】如圖所示，直三棱柱中,，，為棱的中點(diǎn).（Ⅰ）探究直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由;（Ⅱ）若，求三棱錐的體積.【答案】(Ⅰ）見解析(Ⅱ）.【解析】試題分析:（I）連接,設(shè)，則為的中點(diǎn)由三角形中位線定理可得四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得平面;（II）由點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，再利用“等積變換"可得，進(jìn)而可得三棱錐的體積。試題解析:（Ⅰ）連接,設(shè)，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?所以為的中點(diǎn).設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，則，且。由已知，且，則，且,所以四邊形為平行四邊形，所以，即.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?6．如圖，在三棱錐中，,底面，，且.（1）若為上一點(diǎn)，且，證明：平面平面。(2）若為棱上一點(diǎn)，且平面，求三棱錐的體積?！敬鸢浮?1）見解析；(2）【解析】試題分析:（1）由平面可得，又，，所以平面，根據(jù)面面垂直的判定定理得平面平面.（2）在中，由余弦定理得,根據(jù)勾股定理可得AB=3，BC=1，PB=2，由平面可得，從而得到，故BD=1.過作，交于，則為三棱錐的高，且由三棱錐的體積公式可得.（2）解:在中,由余弦定理得，∴,由條件得解得∵平面，平面，平面平面,∴,∴.過作，交于，則為三棱錐的高，則.∵,∴.即三棱錐的體積為.7．【題文】已知函數(shù)，求：（1）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程;(2)的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】（1);（2）【解析】試題分析：(1）求導(dǎo)得,故，又，根據(jù)點(diǎn)斜式方程可得切線方程；（2）令，解不等式可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。試題解析：（1）∵∴，∴，又，∴函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即。（2）由（1）得，令，解得或.∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為。點(diǎn)睛：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下條件：①函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值也就是切線的斜率．即已知切點(diǎn)坐標(biāo)可求切線斜率，已知斜率可求切點(diǎn)坐標(biāo)．②切點(diǎn)既在曲線上,又在切線上．切線有可能和曲線還有其它的公共點(diǎn)．(2）求曲線切線時(shí)，要分清在點(diǎn)P處的切線與過P點(diǎn)的切線的區(qū)別，前者只有一條，而后者包括了前者．8．【題文】若，，求：（1）的單調(diào)增區(qū)間；(2）在上的最小值和最大值.【答案】（1）;（2）【解析】試題分析：（1）求導(dǎo),令,即可得到的單調(diào)增區(qū)間；（2）令,求得(舍）或，比較，,的大小，即可得到在上的最小值和最大值。9．【題文】直線過點(diǎn)P且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在這樣的直線滿足下列條件：①△AOB的周長(zhǎng)為12；②△AOB的面積為6.若存在,求出方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】＋＝1.【解析】試題分析：設(shè)直線的方程,若滿足（1)可得,聯(lián)立可解，即可得方程;（2）若滿足,可得，同樣可得方程，它們公共的方程即為所求。試題解析：設(shè)直線方程為＋＝1(a>0，b>0)，若滿足條件（1),則a＋b＋＝12，①又∵直線過點(diǎn)P（，2），∵＋＝1.②由①②可得5a2－32a＋48＝0，解得,或。∴所求直線的方程為＋＝1或＋＝1，即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.若滿足條件（2)，則ab＝12，③由題意得,＋＝1，④由③④整理得a2－6a＋8＝0，解得，或.∴所求直線的方程為＋＝1或＋＝1,即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.綜上所述：存在同時(shí)滿足（1)（2)兩個(gè)條件的直線方程，為3x＋4y－12＝0.點(diǎn)睛：本題主要考查了直線的截距式方程的應(yīng)用，其中解答中涉及到直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積和三角形的周長(zhǎng)問題，以及方程組的求解等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用,解答中熟記直線的截距式方程和方程組的求解是解答的關(guān)鍵，試題比較基礎(chǔ),屬于基礎(chǔ)題。10．【題文】已知圓的圓心在直線上，且與另一條直線相切于點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）已知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）圓C的方程為（x﹣1）2+（y+2）2=2;(2)（x﹣3）2+（y﹣1)2=?！窘馕觥吭囶}分析：（1)由題意可知所求圓的圓心在經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直的直線上，又所求圓的圓心在直線上，解方程組求出圓心，求出半徑,即的長(zhǎng)，可得圓的方程；

（2)設(shè)，則有代入圓即可得到線段的中點(diǎn)的軌跡方程。試題解析：（1)設(shè)圓C的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，根據(jù)題意得：，解得：，則圓C的方程為（x﹣1）2+（y+2）2=;（2）設(shè)M（x，y)，B(x0，y0),則有代入圓C方程得:(2x﹣5)2+（2y﹣4）2=8，化簡(jiǎn)得(x﹣3）2+（y﹣1)2=11．【題文】已知與曲線相切的直線，與軸,軸交于兩點(diǎn),為原點(diǎn)，,,（)。（1）求證：:與相切的條件是：。（2）求線段中點(diǎn)的軌跡方程；（3）求三角形面積的最小值?！敬鸢浮浚?)見解析;（2）；（3)．試題解析：(1)圓的圓心為，半徑為1.可以看作是的內(nèi)切圓.內(nèi)切圓的半徑，即，即，．（2）線段AB中點(diǎn)為∴（）（3），，解得，，，最小面積．點(diǎn)睛：本題考查了軌跡方程，考查了直線和圓位置關(guān)系的判斷，點(diǎn)到直線的距離公式的用法,解題的關(guān)鍵是對(duì)等式進(jìn)行靈活變換，利用基本不等式求函數(shù)的最值.12．【題文】已知?jiǎng)訄A：與圓：交于、兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)平分圓的圓周．（1）求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程;（2)求圓半徑最小時(shí)的方程．【答案】（1)；（2）?！窘馕觥吭囶}分析：（1)由題意得圓心為弦的中點(diǎn),故，由此可得點(diǎn)M的軌跡方程；（2）由（1)知圓M的半徑為，故求出的值即可,由于，所以，從而，所以當(dāng)，時(shí)半徑最小，由此可得解。試題解析：圓方程即為，圓方程即為.（1）由題意得，圓心為弦的中點(diǎn)，在中，∵，∴（＊）故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為．13．【題文】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為。(1）若,求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),分別為線段的中點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.【答案】（1)；(2)?！窘馕觥浚?）由,右焦點(diǎn)為，求出,，可得，即可求出橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程,消去,得到關(guān)于的一元二次方程，設(shè)，可得根與系數(shù)的關(guān)系,根據(jù)題意得，易知，四邊形為平行四邊形，則，結(jié)合向量數(shù)量積公式及,即可求出的取值范圍.由題意得，∴。又∵，∴.∴橢圓的方程為.（2)由得。設(shè).所以，依題意，，易知，四邊形為平行四邊形，所以.∵,，∴.即,將其整理為?！摺?，。∴，即.點(diǎn)睛:在圓錐曲線中研究最值或范圍問題時(shí)，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍;②利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.14．【題文】已知橢圓（）的離心率為，且過點(diǎn)。（1）求橢圓的方程；（2）若直線()與橢圓交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，試探究是否為定值,若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由?！敬鸢浮?1)(2)為定值，該定值為0【解析】試題分析:（1）由橢圓的離心率公式，求得a2=4b2，將M代入橢圓方程，即可求得a和b的值,求得橢圓方程；(2）將直線l:代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式，即可取得k1+k2=0．試題解析：（1）依題意，解得，故橢圓的方程為;（2)，下面給出證明:設(shè),，將代入并整理得，，解得，且故，，則,分子=，故為定值，該定值為0.15．【題文】已知圓:過圓上任意一點(diǎn)向軸引垂線垂足為（點(diǎn)、可重合）,點(diǎn)為的中點(diǎn)。（1）求的軌跡方程；（2)若點(diǎn)的軌跡方程為曲線，不過原點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，滿足直線,，的斜率依次成等比數(shù)列，求面積的取值范圍?！敬鸢浮浚?）；（2)面積的取值范圍為。試題解析:(1）設(shè)，則,則有：，整理得：.（2）由題意可知,直線的斜率存在且不為，故可設(shè)直線的方程為（），，，由消去得則，且，.故因?yàn)橹本€，，的斜率依次成等比數(shù)列,即，又，所以，即。由于直線，的斜率存在，且，得且,設(shè)為到直線的距離，，則,所以面積的取值范圍為.點(diǎn)睛:在圓錐曲線中研究最值或范圍問題時(shí)，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍16．【題文】設(shè)點(diǎn),動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且和直線相切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線。(1）求曲線的方程;（2)設(shè)曲線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,過的直線交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn).若是的切線，求的最小值。【答案】（1）；(2）?！窘馕觥吭囶}分析：（1）根據(jù)拋物線的定義，求出拋物線的解析式即可；(2)求出直線的方程，求出的坐標(biāo),聯(lián)立方程組，求出的坐標(biāo)，求出直線的斜率，得到關(guān)于的不等式，求出的范圍即可．試題解析：(1)過點(diǎn)作直線垂直于直線于點(diǎn)，由題意得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、直線為準(zhǔn)線的拋物線。所以拋物線的方程為。（2）由題意知,過點(diǎn)的直線斜率存在且不為0,設(shè)其為.則，當(dāng)，則.聯(lián)立方程，整理得：。即：，解得或?！啵嘀本€斜率為.∴，聯(lián)立方程，整理得：，即：，，解得：，或?！唷?而拋物線在點(diǎn)處切線斜率：，是拋物線的切線，∴,整理得,∴,解得（舍去），或，∴。17．【題文】已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過三點(diǎn)。(1)求橢圓的方程；(2)在直線上任取一點(diǎn)，連接,分別與橢圓交于兩點(diǎn),判斷直線是否過定點(diǎn)?若是，求出該定點(diǎn)。若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）(2）直線,直線，聯(lián)立得，所以,故,代入得到，因此.同理。取，當(dāng)時(shí)，，，所以三點(diǎn)共線；當(dāng)時(shí),，三點(diǎn)共線；綜上，三點(diǎn)共線也就是過定點(diǎn).點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，如果已知?jiǎng)又本€過定點(diǎn)且與圓錐曲線有另一個(gè)交點(diǎn)，那么通過韋達(dá)定理可以求出另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)并用斜率表示它，從而考慮與該點(diǎn)相關(guān)的一些定點(diǎn)定值問題.另外,我們用先猜后證的策略考慮定點(diǎn)定值問題,因此這樣可以使得代數(shù)式變形化簡(jiǎn)的目標(biāo)更明確.18．【題文】已知橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)組成的四邊形為正方形,且橢圓過點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2)四邊形的頂點(diǎn)都在橢圓上，且對(duì)角線、過原點(diǎn)，若，求證：四邊形的面積為定值．【答案】(1）；（2）見解析.【解析】試題分析:（1）由題意,,又，解得即得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立得，寫出韋達(dá)定理,因?yàn)椋?，∴，，∴，解得則=，結(jié)合即得解。試題解析：(1)由題意，，又，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立得，，，，∵，∴,∴，，∴，∴，∴，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，則,∴，即四邊形的面積為定值．19．【題文】已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)。(1）若,求直線的方程；（2）記的斜率分別為,試問：的值是否隨直線位置的變化而變化？證明你的結(jié)論?！敬鸢浮?1）；（2）的值不隨直線的變化而變化，證明見解析?！窘馕觥吭囶}分析（1）設(shè)，代入拋物線的方程，利用弦長(zhǎng)公式，結(jié)合，即可求解的值，得出直線的方程；（2）利用斜率公式，結(jié)合韋達(dá)定理,由此可得到為定值。（2)∵，∴，∴