2017年高中數(shù)學第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.4生活中的優(yōu)化問題舉例同步練習湘教版1-1

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE8學必求其心得，業(yè)必貴于專精3。4生活中的優(yōu)化問題舉例1．甲工廠八年來某產(chǎn)品年產(chǎn)量與時間(單位：年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，現(xiàn)有四種說法:①前三年該產(chǎn)品產(chǎn)量的增長速度越來越快；②前三年該產(chǎn)品產(chǎn)量的增長速度越來越慢；③第三年后該產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④第三年后該產(chǎn)品的產(chǎn)量保持不變．其中說法正確的有()．A．①④B．②④C．①③D．②③2．要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大,則其高為()．A．eq\f（20\r(3)，3）cmB．100cmC．20cmD．eq\f(20，3）cm3．設(shè)底為等邊三角形的直棱柱的體積為V,那么其表面積最小時，底面邊長為（）．A．eq\r（3，V)B．eq\r（3，2V)C．eq\r（3,4V）D．2eq\r(3,V）4．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,固定成本為20000元,每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總收益R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f（1,2)x2,0≤x≤400，，80000,x〉400，)）則總利潤最大時,每年生產(chǎn)的產(chǎn)量是（）．A．100B．150C．200D．3005．用總長14。8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面一邊比另一邊長0.5m，那么高為多少時容器的容積最大？此時的高和它的最大容積分別是（）．A．1。2m,1.8m3B．1.1m,1.8m3C．1。8m，1.2m6．某廠生產(chǎn)某種商品x單位的利潤是L(x）＝500＋x－0.001x2，生產(chǎn)__________單位這種商品時利潤最大,最大利潤是__________．7．做一個無蓋的圓柱形水桶，若要求體積是27π,且用料最省，則圓柱的底面半徑為__________．8．一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比．已知速度為每小時10海里時，燃料費是每小時6元，而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元，問：輪船的速度是多少時，航行1海里所需的費用總和最??？此時的速度為__________,般行1海里所需的費用總和為__________．

參考答案1．B2．A如圖,設(shè)底面半徑為r，高為h，則有eq\f（r，20）＝sinθ，eq\f(h,20）＝cosθ，∴V(θ)＝πr2·h＝8000πsin2θcosθ.∴V′(θ）＝16000πsinθcos2θ－8000πsin3θ.令V′（θ)＝0，解得tanθ＝eq\r（2)，得唯一極值點．∴cosθ＝eq\f（\r（3),3)?！鄅＝eq\f(20\r(3）,3)。3．C設(shè)底面邊長為x,則表面積S＝eq\f（\r（3）,2）x2＋eq\f（4\r（3)V，x）(x＞0)，所以S′＝eq\f(\r（3)，x2)（x3－4V）．令S′＝0，得唯一極值點x＝eq\r(3,4V).4．D設(shè)總利潤為y,則y＝f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f(1,2）x2＋300x－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x〉400。)）當x∈（400,＋∞）時,f′(x）＝－100≠0，此時y無最值．當x∈[0,400]時,f′（x)＝－x＋300.令f′（x）＝0，得x＝300。由f′(x)在x＝300處由正變負，故y在x＝300處有唯一極值點．又f(0）＜0,f（400)＜0,∴f（300)為最大值．5．A設(shè)容器底面短邊長為xm,則另一邊長為（x＋0。5)m，高為eq\f（14。8－4x－4(x＋0.5）,4）＝3.2－2x。由3。2－2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6.設(shè)容器的容積為ym3,則有y＝f（x)＝x（0.5＋x）·(3.2－2x）＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)．∴f′(x)＝－6x2＋4。4x＋1.6.令f′（x）＝0,有－6x2＋4。4x＋1.6＝0，解得x1＝1,x2＝－eq\f(4,15）（不合題意，舍去)．當x＝1時，y取最大值，y最大＝－2＋2.2＋1.6＝1。8（m3），這時高為3.2－2×1＝1。2(m)．∴當高為1.2m時容器的容積最大為1.8m36．500750L′(x)＝1－0。002x。令L′（x)＝0，得x＝500，此時L（500)＝750。由已知,L（x）在其定義域［0,＋∞)上只有一個極值點,所以生產(chǎn)500單位這種商品時利潤最大,最大利潤為750。7．3設(shè)底面半徑為R，母線長為l，則V＝πR2l∴l(xiāng)＝eq\f(27，R2）。要使用料最省，只需使圓柱的表面積最?。郤表＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·eq\f（27,R)，∴由S表′＝2πR－eq\f（54π,R2）＝0，得R＝3。因為S表有唯一極值點，故當R＝3時，S表最?。?．20海里/小時4。92元設(shè)速度為每小時v海里時燃料費是每小時p元，那么由題設(shè)的比例關(guān)系,得p＝k·v3，其中k為比例常數(shù)，它可以由v＝10，p＝6求得,即k＝eq\f（6，103）＝0。006.于是有p＝0.006v3。又設(shè)當船的速度為每小時v海里時,航行1海里所需的總費用為q元，那么因每小時所需的總費用是0.006v3＋96（元),而航行1海里所需時間為eq\f（1,v)小時，所以航行1海里的總費用q＝eq\f（1,v)（0.006v3＋96）＝0。006v2＋eq\f(96，v)。所以q′＝0.012v－eq\f（96，v2)＝eq\f（0.012,v2)(v3－8000）．令q′＝0，解得v＝20。又當v＜20時，q′＜0；當v＞20時,q′＞0，所以當v＝20時q取得最小值，即當速度為20海里/小時時，航行1