2018學數(shù)學二輪復習練酷專題課時跟蹤檢測（二十）坐標系與參數(shù)方程文

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精8-學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE課時跟蹤檢測(二十）坐標系與參數(shù)方程1．(2017·寶雞模擬）在平面直角坐標系xOy中,以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ＝2（cosθ＋sinθ)．（1）求C的直角坐標方程；（2)直線l：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f(1,2)t，,y＝1＋\f(\r（3)，2)t))（t為參數(shù)）與曲線C交于A，B兩點,與y軸交于點E，求｜EA|＋|EB｜.解：（1)由ρ＝2(cosθ＋sinθ）得ρ2＝2ρ（cosθ＋sinθ），所以曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＝2x＋2y,即（x－1）2＋(y－1)2＝2.(2)將l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程，化簡得t2－t－1＝0,點E對應的參數(shù)t＝0,設點A，B對應的參數(shù)分別為t1,t2，則t1＋t2＝1，t1t2＝－1，所以｜EA｜＋|EB｜＝|t1|＋|t2|＝｜t1－t2｜＝eq\r（t1＋t22－4t1t2)＝eq\r（5）.2．(2017·張掖模擬)在直角坐標系xOy中，已知曲線C1：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝cosα，,y＝sin2α）)(α為參數(shù)），在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρcoseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4）））＝－eq\f（\r（2),2)，曲線C3:ρ＝2sinθ。（1）求曲線C1與C2的交點M的直角坐標；（2)設點A，B分別為曲線C2，C3上的動點，求|AB|的最小值．解：（1）曲線C1：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝cosα，，y＝sin2α））消去參數(shù)α,得y＋x2＝1，x∈[－1，1]．①曲線C2:ρcoseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f（π,4）)）＝－eq\f（\r（2）,2）?x＋y＋1＝0，②聯(lián)立①②，消去y可得x2－x－2＝0?x＝－1或x＝2(舍去），所以M(－1,0)．（2）曲線C3：ρ＝2sinθ的直角坐標方程為x2＋（y－1)2＝1，是以(0，1）為圓心，半徑r＝1的圓．設圓心為C，則點C到直線x＋y＋1＝0的距離d＝eq\f(|0＋1＋1｜，\r（2)）＝eq\r（2)，所以｜AB|的最小值為eq\r（2)－1。3．（2018屆高三·昆明一中調研)在平面直角坐標系xOy中,以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知點P的極坐標為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2\r（3），\f(π,6))），曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，，y＝－\r（3）＋2sinα))（α為參數(shù))．(1）寫出點P的直角坐標及曲線C的直角坐標方程；(2）若Q為曲線C上的動點，求PQ中點M到直線l：ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0距離的最小值．解：(1)由x＝ρcosθ,y＝ρsinθ可得點P的直角坐標為(3，eq\r（3)),由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，，y＝－\r（3）＋2sinα)）（α為參數(shù))得x2＋（y＋eq\r(3))2＝4，∴曲線C的直角坐標方程為x2＋(y＋eq\r（3)）2＝4。（2)直線l的普通方程為x＋2y＋1＝0，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2cosα，,y＝－\r（3)＋2sinα))（α為參數(shù)）,設Q(2cosα，－eq\r（3）＋2sinα），則Meq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3,2)＋cosα，sinα))，故點M到直線l的距離d＝eq\f（\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f（3，2）＋cosα＋2sinα＋1)）），\r（12＋22)）＝eq\f(\a\vs4\al（\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（\r(5）sinα＋φ＋\f(5,2)))）,\r(5））≥eq\f（－\r（5)＋\f（5，2），\r（5）)＝eq\f（\r(5),2）－1eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(tanφ＝\f（1,2)))，∴點M到直線l的距離的最小值為eq\f(\r（5）,2）－1.4．（2017·全國卷Ⅱ）在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcosθ＝4.（1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足｜OM｜·｜OP｜＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；(2)設點A的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3）））,點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．解：（1）設P的極坐標為(ρ，θ）(ρ＞0）,M的極坐標為(ρ1，θ）(ρ1＞0）．由題設知｜OP｜＝ρ，｜OM｜＝ρ1＝eq\f(4，cosθ)。由｜OM｜·|OP|＝16，得C2的極坐標方程ρ＝4cosθ（ρ＞0）．因此C2的直角坐標方程為（x－2）2＋y2＝4(x≠0)．（2）設點B的極坐標為（ρB，α）(ρB＞0）,由題設知|OA|＝2，ρB＝4cosα,于是△OAB的面積S＝eq\f(1，2)｜OA｜·ρB·sin∠AOB＝4cosα·eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（sin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(α－\f（π,3)）））)＝2eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（sin\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2α－\f（π，3）)）－\f(\r（3),2））)≤2＋eq\r(3）.當α＝－eq\f(π，12)時，S取得最大值2＋eq\r(3）.所以△OAB面積的最大值為2＋eq\r(3)。5．（2017·成都模擬）在平面直角坐標系xOy中,傾斜角為αeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(α≠\f（π,2）））的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，，y＝tsinα)）（t為參數(shù))．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是ρcos2θ－4sinθ＝0.(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；(2)已知點P（1，0）．若點M的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(π,2)))，直線l經(jīng)過點M且與曲線C相交于A,B兩點，設線段AB的中點為Q，求｜PQ|的值．解：（1)∵直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1＋tcosα，，y＝tsinα))(t為參數(shù)）,∴直線l的普通方程為y＝tanα·（x－1)．由ρcos2θ－4sinθ＝0得ρ2cos2θ－4ρsinθ＝0,即x2－4y＝0?！嗲€C的直角坐標方程為x2＝4y.（2）∵點M的極坐標為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1,\f(π,2）))，∴點M的直角坐標為(0，1）．∴tanα＝－1，直線l的傾斜角α＝eq\f(3π，4）?！嘀本€l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(\r（2)，2)t，，y＝\f(\r（2）,2)t）)(t為參數(shù)）．代入x2＝4y，得t2－6eq\r（2）t＋2＝0.設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2?！逹為線段AB的中點，∴點Q對應的參數(shù)值為eq\f(t1＋t2,2）＝eq\f(6\r（2），2)＝3eq\r(2）。又點P(1,0）,則|PQ|＝eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(t1＋t2,2)))＝3eq\r(2)。6．(2017·石家莊模擬）在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝a＋acosβ,,y＝asinβ))（a＞0，β為參數(shù)）．以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ－\f(π,3））)＝eq\f(3，2）。（1）若曲線C與l只有一個公共點，求a的值;（2）A，B為曲線C上的兩點，且∠AOB＝eq\f(π,3），求△OAB面積的最大值．解：(1）由題意知，曲線C是以（a,0）為圓心，以a為半徑的圓,直線l的直角坐標方程為x＋eq\r(3）y－3＝0。由直線l與圓C只有一個公共點,可得eq\f（|a－3｜,2)＝a，解得a＝1或a＝－3(舍去）,所以a＝1.(2）曲線C是以（a,0）為圓心，以a為半徑的圓，且∠AOB＝eq\f（π,3）,由正弦定理得eq\f（|AB|,sin\f（π，3)）＝2a，所以|AB|＝eq\r(3）a.又｜AB｜2＝3a2＝|OA|2＋｜OB｜2－2|OA｜·｜OB|·coseq\f（π，3)≥|OA|·|OB|，當且僅當|OA|＝｜OB|時取等