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昌平區(qū)2022~2023學(xué)年第一學(xué)期高三年級期末質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試卷2023.1本試卷共6頁,共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無效.考試結(jié)束后,將答題卡交回.第一部分(選擇題共40分)一?選擇題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.1.已知集合,則集合()A. B.C. D.2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標是,且滿足,則()A.1 B. C.2 D.3.下列函數(shù)中,是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)是減函數(shù)的是()A. B.C. D.4.若,,則一定有()A. B. C. D.5.已知二項式的展開式中的系數(shù)是10,則實數(shù)()A. B.1 C. D.26.若,則()A. B. C. D.7.在平面直角坐標系中,角與角均以為始邊,則“角與角的終邊關(guān)于軸對稱”是“”的()A充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.圖1:在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開圓柱形小木釘,小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃.將小球從頂端放入,小球下落的過程中,每次碰到小木釘后都等可能的向左或向右落下,最后落入底部的格子中.在圖2中,將小球放入容器中從頂部下落,則小球落入D區(qū)的路線數(shù)有()A.16 B.18 C.20 D.229.設(shè)拋物線的焦點為,準線為.斜率為的直線經(jīng)過焦點,交拋物線于點,交準線于點(在軸的兩側(cè)).若,則拋物線的方程為()A. B.C. D.10.已知向量滿足,則的最大值是()A. B.C. D.第二部分(非選擇題共110分)二?填空題共5小題,全科免費下載公眾號《高中僧課堂》每小題5分,共25分.11.已知數(shù)列中,,則數(shù)列的通項公式為__________.12.已知雙曲線的焦點為,點在雙曲線上,則該雙曲線的漸近線方程為__________;若,則__________.13.在中,,則__________,__________.14.若直線與圓有公共點,則的最小值為__________.15.已知正三棱錐的六條棱長均為是底面的中心,用一個平行于底面的平面截三棱錐,分別交于點(不與頂點,重合).給出下列四個結(jié)論:①三棱錐為正三棱錐;②三棱錐的高為;③三棱錐的體積既有最大值,又有最小值;④當(dāng)時,.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.三?解答題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù),再從條件①?條件②?條件③中選擇一個作為已知,(1)求解析式;(2)當(dāng)時,關(guān)于的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.條件①:函數(shù)的圖象經(jīng)過點;條件②:函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象平移得到;條件③:函數(shù)圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為.注:如果選擇條件①?條件②和條件③分別解答,按第一個解答計分.17.不粘鍋是家庭常用廚房用具,近期,某市消費者權(quán)益保護委員會從市場上購買了12款不粘鍋商品,并委托第三方檢測機構(gòu)進行檢測.本次選取了食物接觸材料安全項目中與消費者使用密切相關(guān)的6項性能項目進行比較試驗,性能檢測項目包含不粘性?耐磨性?耐堿性?手柄溫度?溫度均勻性和使用體驗等6個指標.其中消費者關(guān)注最多的兩個指標“不沾性?耐磨性”檢測結(jié)果的數(shù)據(jù)如下:檢測結(jié)果序號品牌名稱不粘性耐磨性1品牌1Ⅰ級Ⅰ級2品牌2Ⅱ級Ⅰ級3品牌3Ⅰ級Ⅰ級4品牌4Ⅱ級Ⅱ級5品牌5Ⅰ級Ⅰ級6品牌6Ⅱ級Ⅰ級7品牌7Ⅰ級Ⅰ級8品牌8Ⅰ級Ⅰ級9品牌9Ⅱ級Ⅱ級10品牌10Ⅱ級Ⅱ級11品牌11Ⅱ級Ⅱ級12品牌12Ⅱ級Ⅱ級(Ⅰ級代表性能優(yōu)秀,Ⅱ級代表性能較好)(1)從這12個品牌的樣本數(shù)據(jù)中隨機選取兩個品牌的數(shù)據(jù),求這兩個品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ級的概率;(2)從前六個品牌中隨機選取兩個品牌的數(shù)據(jù),設(shè)為性能都是Ⅰ級的品牌個數(shù),求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)從后六個品牌中隨機選取兩個品牌的數(shù)據(jù),設(shè)為性能都是Ⅰ級的品牌個數(shù),比較隨機變量和隨機變量的數(shù)學(xué)期望的大?。ńY(jié)論不要求證明).18.如圖,在多面體中,側(cè)面為矩形,平面,平面.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值;(3)求直線到平面的距離.19.已知橢圓過點,且離心率是.(1)求橢圓的方程和短軸長;(2)已知點,直線過點且與橢圓有兩個不同的交點,問:是否存在直線,使得是以點為頂點的等腰三角形,若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.20.已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;(3)當(dāng)時,證明:對任意的恒成立.21.已知數(shù)列滿足:,且.記集合.(1)若,寫出集合的所有元素;(2)若集合存在一個元素是3的倍數(shù),證明:的所有元素都是3的倍數(shù);(3)求集合的元素個數(shù)的最大值.昌平區(qū)2022~2023學(xué)年第一學(xué)期高三年級期末質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試卷2023.1本試卷共6頁,共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無效.考試結(jié)束后,將答題卡交回.第一部分(選擇題共40分)一?選擇題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.1.已知集合,則集合()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集的知識求得正確答案.【詳解】依題意.故選:C2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標是,且滿足,則()A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求得,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可得,由此求得答案.詳解】由得,又復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標是,即,故選:A3.下列函數(shù)中,是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)是減函數(shù)的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)反例或基本初等函數(shù)的性質(zhì)可得正確的選項.【詳解】對于A,設(shè),則,故在定義域內(nèi)不是減函數(shù),故A錯誤.對于B,設(shè),其定義域為且,故為奇函數(shù),而為上的增函數(shù),故為上的減函數(shù),故B正確.對于C,設(shè),因為,故在定義域內(nèi)不是減函數(shù),故C錯誤.對于D,的定義域為,故該函數(shù)不是奇函數(shù),故D錯誤.故選:B4.若,,則一定有()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用特例法,判斷選項即可.【詳解】解:不妨令,
則,∴A、B不正確;
,∴D不正確,C正確.故選:C.【點睛】本題考查不等式比較大小,特值法有效,是基礎(chǔ)題.5.已知二項式的展開式中的系數(shù)是10,則實數(shù)()A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】二項式的展開式為,令,解得,所以.故選:B6.若,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.【詳解】,所以,所以.故選:D7.在平面直角坐標系中,角與角均以為始邊,則“角與角的終邊關(guān)于軸對稱”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】判斷命題“角與角的終邊關(guān)于軸對稱”和“”之間的邏輯推理關(guān)系,可得答案.【詳解】由題意知,角與角的終邊關(guān)于軸對稱時,則,故,則,即;當(dāng)時,此時,角與角的終邊不關(guān)于軸對稱,即“”成立不能得出“角與角的終邊關(guān)于軸對稱”成立,故“角與角的終邊關(guān)于軸對稱”是“”的充分而不必要條件,故選:A8.圖1:在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘,小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?,前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入,小球下落的過程中,每次碰到小木釘后都等可能的向左或向右落下,最后落入底部的格子中.在圖2中,將小球放入容器中從頂部下落,則小球落入D區(qū)的路線數(shù)有()A.16 B.18 C.20 D.22【答案】C【解析】【分析】由上而下依次歸納小球到每一層相鄰兩球空隙處的線路數(shù)后可正確的選項.【詳解】第一層只有一個小球,其左右各有一個空隙,小球到這兩個空隙處的線路數(shù)均為1;第二層有兩個小球,共有三個空隙,小球到這三個空隙處的線路數(shù)從左到右依次為:1,2,1,第三層有三個小球,共有4個空隙,小球到這四個空隙處的線路數(shù)從左到右依次為:即為,第四層有四個小球,共有5個空隙,小球到這五個空隙處的線路數(shù)從左到右依次為:即為,第五層有五個小球,共有6個空隙,小球到這六個空隙處的線路數(shù)從左到右依次為:即為,第六層有六個小球,共有7個空隙,小球到這七個空隙處的線路數(shù)從左到右依次為:即為,故小球落入D區(qū)的路線數(shù)有20條.故選:C.9.設(shè)拋物線的焦點為,準線為.斜率為的直線經(jīng)過焦點,交拋物線于點,交準線于點(在軸的兩側(cè)).若,則拋物線的方程為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率以及求得,從而求得拋物線的方程.【詳解】直線的斜率為,傾斜角為,過作,垂足為,連接,由于,所以三角形是等邊三角形,所以,由于,所以,所以拋物線方程為.故選:B10.已知向量滿足,則的最大值是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】把平移到共起點以的起點為原點,所在的直線為軸,的方向為軸的正方向,求出的坐標,則根據(jù)得的終點得軌跡,根據(jù)的意義求解最大值.【詳解】把平移到共起點,以的起點為原點,所在的直線為軸,的方向為軸的正方向,見下圖,設(shè),則又則點的軌跡為以為直徑的圓,又因為所以故以為直徑的圓為,所以的最大值就是以為直徑的圓上的點到原點距離的最大值,所以最大值為故選:C第二部分(非選擇題共110分)二?填空題共5小題,全科免費下載公眾號《高中僧課堂》每小題5分,共25分.11.已知數(shù)列中,,則數(shù)列的通項公式為__________.【答案】【解析】【分析】判斷數(shù)列為等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可求得答案.【詳解】數(shù)列中,則,否則與矛盾,故,即數(shù)列為首項為2,公比為2的等比數(shù)列,所以,故答案為:12.已知雙曲線的焦點為,點在雙曲線上,則該雙曲線的漸近線方程為__________;若,則__________.【答案】①.②.【解析】【分析】求得,由此求得雙曲線的漸近線方程,根據(jù)雙曲線的定義求得【詳解】依題意,所以雙曲線的漸近線方程為,由于,所以在雙曲線的左支,所以.故答案為:;13.在中,,則__________,__________.【答案】①.②.##【解析】【分析】根據(jù)余弦定理可求,再根據(jù)余弦定理看可求.【詳解】由余弦定理可得,故,故(舍)或,故,而為三角形內(nèi)角,故.故答案為:,.14.若直線與圓有公共點,則的最小值為__________.【答案】5【解析】【分析】求出直線所過的定點,當(dāng)點在圓上或圓內(nèi)時,直線與圓總有公共點,列出不等式,即可求得答案.【詳解】由題意知,直線過定點,當(dāng)點在圓上或圓內(nèi)時,直線與圓總有公共點,即,即的最小值為5,故答案為:515.已知正三棱錐的六條棱長均為是底面的中心,用一個平行于底面的平面截三棱錐,分別交于點(不與頂點,重合).給出下列四個結(jié)論:①三棱錐為正三棱錐;②三棱錐的高為;③三棱錐的體積既有最大值,又有最小值;④當(dāng)時,.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.【答案】①②④【解析】【分析】建立正四面體模型,數(shù)形結(jié)合分析.【詳解】如圖所示∵用一個平行于底面的平面截三棱錐,且為正三棱錐,是底面的中心∴三棱錐為正三棱錐,故①正確;∵正三棱錐的六條棱長均為,是底面的中心,∴三棱錐的高為,的高為,且,,∴,故②正確,∵點不與頂點,重合,∴,設(shè)的高為,則,得,∴,,在上,上,所以在上遞增,上遞減,故在上有最大值,無最小值,故③錯誤;當(dāng)時,點分別為線段的三等分點,∴,且∴.故④正確;故答案為:①②④三?解答題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù),再從條件①?條件②?條件③中選擇一個作為已知,(1)求的解析式;(2)當(dāng)時,關(guān)于的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.條件①:函數(shù)的圖象經(jīng)過點;條件②:函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象平移得到;條件③:函數(shù)的圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為.注:如果選擇條件①?條件②和條件③分別解答,按第一個解答計分.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)化簡,若選①,將點代入求得,可得答案;選②,根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變化規(guī)律可得,可得答案;選②,由函數(shù)的最小正周期可確定,可得答案;(2)由確定,從而求得的范圍,根據(jù)不等式恒成立即可確定實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】;選①:函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則,所以,則,由,可得,則;選②:函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象平移得到,即的圖象可由函數(shù)的圖象平移得到,則,則.選③:函數(shù)的圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為,則函數(shù)的最小正周期為,故,故.【小問2詳解】當(dāng)時,,則,故,又當(dāng)時,關(guān)于的不等式恒成立,故,即實數(shù)的取值范圍為.17.不粘鍋是家庭常用的廚房用具,近期,某市消費者權(quán)益保護委員會從市場上購買了12款不粘鍋商品,并委托第三方檢測機構(gòu)進行檢測.本次選取了食物接觸材料安全項目中與消費者使用密切相關(guān)的6項性能項目進行比較試驗,性能檢測項目包含不粘性?耐磨性?耐堿性?手柄溫度?溫度均勻性和使用體驗等6個指標.其中消費者關(guān)注最多的兩個指標“不沾性?耐磨性”檢測結(jié)果的數(shù)據(jù)如下:檢測結(jié)果序號品牌名稱不粘性耐磨性1品牌1Ⅰ級Ⅰ級2品牌2Ⅱ級Ⅰ級3品牌3Ⅰ級Ⅰ級4品牌4Ⅱ級Ⅱ級5品牌5Ⅰ級Ⅰ級6品牌6Ⅱ級Ⅰ級7品牌7Ⅰ級Ⅰ級8品牌8Ⅰ級Ⅰ級9品牌9Ⅱ級Ⅱ級10品牌10Ⅱ級Ⅱ級11品牌11Ⅱ級Ⅱ級12品牌12Ⅱ級Ⅱ級(Ⅰ級代表性能優(yōu)秀,Ⅱ級代表性能較好)(1)從這12個品牌的樣本數(shù)據(jù)中隨機選取兩個品牌的數(shù)據(jù),求這兩個品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ級的概率;(2)從前六個品牌中隨機選取兩個品牌的數(shù)據(jù),設(shè)為性能都是Ⅰ級的品牌個數(shù),求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)從后六個品牌中隨機選取兩個品牌的數(shù)據(jù),設(shè)為性能都是Ⅰ級的品牌個數(shù),比較隨機變量和隨機變量的數(shù)學(xué)期望的大?。ńY(jié)論不要求證明).【答案】(1)(2)X012P(3)【解析】【分析】(1)直接計算事件發(fā)生概率;(2)可能取值為0,1,2,分別計算出概率,再列分布列,計算期望值;(3可能取值為0,1,2,分別計算出概率,計算期望值,再比較大小.【小問1詳解】“不粘性”性能都是Ⅰ級的品牌有5個,記事件A為兩個品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ級,則【小問2詳解】前六個品牌中性能都是Ⅰ級的品牌有3個,可能取值為0,1,2,;;;∴分布列為X012P【小問3詳解】后六個品牌性能都是Ⅰ級的品有2個,可能取值為0,1,2,;;;∴數(shù)學(xué)期望為18.如圖,在多面體中,側(cè)面為矩形,平面,平面.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值;(3)求直線到平面的距離.【答案】(1)證明見解析;(2);(3).【解析】【分析】(1)先證明平面,進而證明,從而根據(jù)線面平行的判定定理證明結(jié)論;(2)建立空間直角坐標系,求得相關(guān)點坐標和相關(guān)向量坐標,求出平面的法向量,根據(jù)空間向量的夾角公式即可求得直線與平面所成角的正弦值;(3)結(jié)合(2)的結(jié)果,利用空間距離的向量求法,先求點到平面的距離,即可求得直線到平面的距離.【小問1詳解】證明:由題意平面,平面,故平面平面,又側(cè)面為矩形,故,而平面平面平面,所以平面,又平面,所以,而平面,平面,故平面.【小問2詳解】因為平面,平面,故,而平面,故以A為坐標原點,分別以的方向為x軸,y軸,z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,因為,則,則設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則,設(shè)直線與平面所成角為,則.【小問3詳解】因為側(cè)面為矩形,所以,而平面,平面,故平面,則直線到平面的距離即為點到平面的距離,,平面的法向量為,故點到平面的距離為,即直線到平面的距離為.19.已知橢圓過點,且離心率是.(1)求橢圓的方程和短軸長;(2)已知點,直線過點且與橢圓有兩個不同的交點,問:是否存在直線,使得是以點為頂點的等腰三角形,若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.【答案】(1),.(2)存在,直線.【解析】【分析】(1)由題意橢圓過點可得,根據(jù)離心率求得c,繼而求得b,可得答案.(2)假設(shè)存在直線,使得是以點為頂點的等腰三角形,討論直線斜率是否存在的情況,存在時設(shè)出直線方程并聯(lián)立橢圓方程,可得根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè)的中點為點D,根據(jù)題意可得,化簡計算,求得k的值,進行判斷,可得結(jié)論.【小問1詳解】由題意知橢圓過點,且離心率是,則,且,故橢圓的方程為,短軸長為.【小問2詳解】假設(shè)存在直線,使得是以點為頂點的等腰三角形,由于直線過點,當(dāng)直線斜率不存在時,直線l為,此時為橢圓的短軸上的兩頂點,此時是以點為頂點的等腰三角形;當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線方程為,聯(lián)立,得,當(dāng)直線與橢圓C有兩個不同的交點時,該方程,整理得,設(shè),則,所以,設(shè)的中點為點D,則,即,則,當(dāng)時,斜率不存在,此時的斜率k為0,不滿足,故,由題意可知,即,解得或,由于,故或不適合題意,綜合以上,存在直線,使得是以點為頂點的等腰三角形.【點睛】關(guān)鍵點點睛:解決直線和橢圓的位置關(guān)系中是否存在的問題時,一般是先假設(shè)存在,然后設(shè)直線方程,聯(lián)立橢圓方程,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡求值,解答的關(guān)鍵點是要能根據(jù)題設(shè)即是以點為頂點的等腰三角形,設(shè)的中點為點D,得到,然后結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系化簡求值,即可解決問題.20.已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;(3)當(dāng)時,證明:對任意的恒成立.【答案】(1)(2)答案詳見解析(3)證明詳見解析【解析】【分析】(1)利用切點和斜率求得切線方程.(2)求得,對分類討論,由此來求得的單調(diào)區(qū)間.(3)結(jié)合(2)求得在區(qū)間上的最小值,由此證得結(jié)論成立.【小問1詳解】當(dāng)時,,,所以切線方程為.【小問2詳解】依題意,,,當(dāng)時,,解得,則在區(qū)間遞減;在區(qū)間遞增.當(dāng)時,解得或,當(dāng)時,在區(qū)間遞增;在區(qū)間遞
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