2023年經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)期末復(fù)習(xí)

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)期末復(fù)習(xí)第１章函數(shù)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn):函數(shù)的概念、函數(shù)的奇偶性、復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)、基本初等函數(shù)和初等函數(shù)、經(jīng)濟(jì)分析中的幾個(gè)常見(jiàn)函數(shù)、建立函數(shù)關(guān)系式復(fù)習(xí)規(guī)定：(1)理解函數(shù)概念,掌握求函數(shù)定義域的方法,會(huì)求初等函數(shù)的定義域和函數(shù)值;（2)了解復(fù)合函數(shù)概念,會(huì)對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解;(３)了解分段函數(shù)概念，掌握求分段函數(shù)定義域和函數(shù)值的方法；(４)知道初等函數(shù)的概念，理解常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)(正弦、余弦、正切和余切）的解析表達(dá)式、定義域、重要性質(zhì)及圖形；(５)了解需求、供應(yīng)、成本、平均成本、收入和利潤(rùn)函數(shù)的概念;下面我們來(lái)看例題．例1設(shè)，則=(）．A．xＢ.x+１C．x+２D.x＋3解由于，得＝將代入，得=對(duì)的答案:D例2下列函數(shù)中，（)不是基本初等函數(shù)．A.B．Ｃ．D．解由于是由，復(fù)合組成的,所以它不是基本初等函數(shù).對(duì)的答案:B例3設(shè)函數(shù),則（ ?)．A.=Ｂ．C. D．＝解由于,故且,所以對(duì)的答案:C例4生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為１萬(wàn)元，每生產(chǎn)一個(gè)該產(chǎn)品所需費(fèi)用為20元,若該產(chǎn)品出售的單價(jià)為30元,試求:(１）生產(chǎn)件該種產(chǎn)品的總成本和平均成本；(２)售出件該種產(chǎn)品的總收入；(3)若生產(chǎn)的產(chǎn)品都可以售出，則生產(chǎn)件該種產(chǎn)品的利潤(rùn)是多少？解（1)生產(chǎn)件該種產(chǎn)品的總成本為；平均成本為：．(2)售出件該種產(chǎn)品的總收入為：．(3）生產(chǎn)件該種產(chǎn)品的利潤(rùn)為:==第2章一元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)：極限的概念、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量、極限的四則運(yùn)算法則、兩個(gè)重要極限、函數(shù)的連續(xù)性和間斷點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、高階導(dǎo)數(shù)、微分的概念及運(yùn)算法則復(fù)習(xí)規(guī)定：⑴了解極限概念，知道函數(shù)在某點(diǎn)極限存在的充足必要條件是該點(diǎn)左右極限都存在且相等；⑵了解無(wú)窮小量的概念，了解無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系，知道無(wú)窮小量的性質(zhì);⑶掌握極限的四則運(yùn)算法則,掌握兩個(gè)重要極限,掌握求簡(jiǎn)樸極限的常用方法;⑷了解函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的概念,知道左連續(xù)和右連續(xù)的概念,知道連續(xù)與極限；會(huì)判斷函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性；⑸理解導(dǎo)數(shù)定義，會(huì)求曲線的切線方程,知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；⑹純熟掌握導(dǎo)數(shù)基本公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,掌握求簡(jiǎn)樸的隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法;⑺知道微分的概念，會(huì)求函數(shù)的微分；⑻知道高階導(dǎo)數(shù)概念，會(huì)求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).下面我們舉一些例題復(fù)習(xí)本章的重點(diǎn)內(nèi)容．例5極限．解由于當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量,是有界變量．故當(dāng)時(shí),仍然是無(wú)窮小量．所以0．對(duì)的答案：0例6若，則在點(diǎn)處(） A.有定義B．沒(méi)有定義?C．極限存在Ｄ.有定義，且極限存在解函數(shù)在一點(diǎn)處有極限與函數(shù)在該點(diǎn)處有無(wú)定義無(wú)關(guān).對(duì)的答案：C例7當(dāng)ｋ時(shí),在處僅僅是左連續(xù).解由于函數(shù)是左連續(xù)的，即若即當(dāng)1時(shí)，在不僅是左連續(xù)，并且是連續(xù)的.所以,只有當(dāng)時(shí),在僅僅是左連續(xù)的．對(duì)的答案:例8若，則（ )．Ａ.0B．Ｃ．?Ｄ．解由于是常數(shù)函數(shù),常數(shù)函數(shù)是可導(dǎo)的,并且它的導(dǎo)數(shù)是0．所以由導(dǎo)數(shù)定義可得=0對(duì)的答案:A注意：這里的不是余弦函數(shù)．例9曲線在點(diǎn)(1,０）處的切線是(）.A．???Ｂ.C. D.解由導(dǎo)數(shù)的定義和它的幾何意義可知,是曲線在點(diǎn)(1，0）處的切線斜率，故切線方程是 ，即對(duì)的答案:Ａ例１０已知,則＝(）．A.Ｂ.C.D．６解直接運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的公式計(jì)算:,對(duì)的答案：B例11計(jì)算下列極限(1)(2)（3)(1）解對(duì)分子進(jìn)行有理化,即分子、分母同乘,然后運(yùn)用第一重要極限和四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．即===（２)解將分子、分母中的二次多項(xiàng)式分解因式，然后消去零因子，再用四則運(yùn)算法則和連續(xù)函數(shù)定義進(jìn)行計(jì)算.即（３)解先通分,然后消去零因子，再四則運(yùn)算法則和連續(xù)函數(shù)定義進(jìn)行計(jì)算.即=例12求下列導(dǎo)數(shù)或微分：(1）設(shè)，求．（2）設(shè)，求.(3）設(shè)，求．(1)解由于且注意：求導(dǎo)數(shù)時(shí)，要先觀測(cè)函數(shù),看看能否將函數(shù)化簡(jiǎn),若能,應(yīng)將函數(shù)化簡(jiǎn)后再求導(dǎo)數(shù)，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程．導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的重點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù),難點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)和隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)．（2)解由于=所以(３）解 ? 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)要注意下面兩步:=１\*GＢ3①分清函數(shù)的復(fù)合環(huán)節(jié)，明確所有的中間變量;=2\*ＧB3②依照法則依次對(duì)中間變量直至自變量求導(dǎo)，再把相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)乘起來(lái).第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值和最大（小)值、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用復(fù)習(xí)規(guī)定:⑴掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑵了解函數(shù)極值的概念，知道函數(shù)極值存在的必要條件，掌握極值點(diǎn)的判別方法,知道函數(shù)的極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系，會(huì)求函數(shù)的極值;⑶了解邊際概念和需求彈性概念，掌握求邊際函數(shù)的方法;⑷純熟掌握求經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用問(wèn)題(如平均成本最低、收入最大和利潤(rùn)最大等）.下面通過(guò)例題復(fù)習(xí)本章重點(diǎn)內(nèi)容例13函數(shù)的單調(diào)增長(zhǎng)區(qū)間是.解由于令，得故函數(shù)的單調(diào)增長(zhǎng)區(qū)間是．對(duì)的答案:例14滿足方程的點(diǎn)是函數(shù)的（)．A．極大值點(diǎn)B.極小值點(diǎn)C.駐點(diǎn)Ｄ．間斷點(diǎn)解由駐點(diǎn)定義可知，對(duì)的答案：C例１5下列結(jié)論中()不對(duì)的．Ａ.在處連續(xù),則一定在處可微．B．在處不連續(xù)，則一定在處不可導(dǎo).C.可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上．D.若在［a，b］內(nèi)恒有,則在［a，ｂ]內(nèi)函數(shù)是單調(diào)下降的.解由于函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)并不能保證在該點(diǎn)處可導(dǎo)，所以，對(duì)的答案:A求經(jīng)濟(jì)分析中的最值問(wèn)題是本課程的重點(diǎn)之一，要掌握運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的平均成本最低、總收入最大、總利潤(rùn)最大等問(wèn)題的方法.下面舉一個(gè)求獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量的應(yīng)用問(wèn)題，而其它兩種類(lèi)型的應(yīng)用問(wèn)題請(qǐng)大家自己練習(xí). 例1６生產(chǎn)某種產(chǎn)品臺(tái)時(shí)的邊際成本（元／臺(tái)）,固定成本5０0元，若已知邊際收入為試求（1）獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量；(2)從最大利潤(rùn)的產(chǎn)量的基礎(chǔ)再生產(chǎn)1０0臺(tái),利潤(rùn)有何變化？解(1）＝=令,求得唯一駐點(diǎn).由于駐點(diǎn)唯一，且利潤(rùn)存在著最大值，所以當(dāng)產(chǎn)量為2023時(shí)，可使利潤(rùn)達(dá)成最大．(2)在利潤(rùn)最大的基礎(chǔ)上再增長(zhǎng)１00臺(tái),利潤(rùn)的改變量為?即利潤(rùn)將減少2500元．第4章一元函數(shù)積分學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)：原函數(shù)、不定積分和定積分概念、積分的性質(zhì)、積分基本公式、第一換元積分法、分部積分法、無(wú)窮限積分復(fù)習(xí)規(guī)定:⑴理解原函數(shù)與不定積分概念，了解定積分概念,知道不定積分與導(dǎo)數(shù)（微分)之間的關(guān)系;⑵純熟掌握積分基本公式和直接積分法;⑶掌握第一換元積分法(湊微分法)、分部積分法；⑷知道無(wú)窮限積分的收斂概念，會(huì)求簡(jiǎn)樸的無(wú)窮限積分.下面通過(guò)例題復(fù)習(xí)本章重點(diǎn)內(nèi)容例17假如,則＝．解根據(jù)不定積分的性質(zhì)可知ｆ(x）=且=對(duì)的答案:例18設(shè)的一個(gè)原函數(shù)是,則(? ）.Ａ.??Ｂ. C. ??D．?解由于的一個(gè)原函數(shù)是，故（=所以對(duì)的答案：B例19廣義積分=．解由于=所以對(duì)的答案：例２0計(jì)算不定積分解用第一換元積分法求之.＝==例21計(jì)算定積分解用分部積分法求之．=＝=例22．計(jì)算定積分解由于,當(dāng)時(shí)，,即;當(dāng)時(shí),,即;===1+1＋1+１=4第5章積分應(yīng)用復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn):積分的幾何應(yīng)用、積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用、常微分方程復(fù)習(xí)規(guī)定:(1)純熟掌握用不定積分和定積分求總成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)或其增量的方法;(2)了解微分方程的幾個(gè)概念，掌握簡(jiǎn)樸的可分離變量的微分方程的解法,會(huì)求一階線性微分方程的解．用不定積分或定積分求總成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)或其增量，一般出現(xiàn)在應(yīng)用題中，并且經(jīng)常與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中求最值問(wèn)題相聯(lián)系，所以一定要綜合應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)求解應(yīng)用問(wèn)題．有關(guān)的例題，我們?cè)诘冢痴轮幸呀?jīng)講過(guò),這里就不在舉例了.微分方程中的基本概念是指微分方程、階、解(也就是通解、特解)，線性微分方程等，這些概念大家要比較清楚的．比如例23是階微分方程．解由于微分方程中所含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)是２次，所以它是2階微分方程．對(duì)的答案：2例24微分方程的通解是().A.Ｂ.C．Ｄ.解用可分離變量法很容易求解,因此，對(duì)的答案:B例25求微分方程滿足初始條件的特解．解將微分方程變量分離，得，等式兩邊積分得將初始條件代入，得.所以滿足初始條件的特解為：第6章數(shù)據(jù)解決考核知識(shí)點(diǎn)：總體與樣本、重要特性數(shù)復(fù)習(xí)規(guī)定：了解總體、樣本、均值、加權(quán)平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、眾數(shù)和中位數(shù)等概念,掌握它們的計(jì)算方法;例26設(shè)一組數(shù)據(jù)=0,=10,＝２0,其權(quán)數(shù)分別為,,,則這組數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)是(）．A.12B.10Ｃ.6D.4解由于加權(quán)平均數(shù)是=12所以,對(duì)的答案：A第七章隨機(jī)事件與概率復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn):隨機(jī)事件與概率、事件的關(guān)系與運(yùn)算、概率的加法公式與乘法公式、事件的獨(dú)立性復(fù)習(xí)規(guī)定：⑴知道隨機(jī)事件的概念，了解事件互不相容和對(duì)立事件等概念，;⑵了解概率的概念及性質(zhì)，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)樸古典概型問(wèn)題;⑶了解條件概率概念,掌握概率的加法公式和乘法公式;⑷理解事件獨(dú)立概念,掌握有關(guān)計(jì)算．下面舉幾個(gè)例題來(lái)說(shuō)明這一章的重點(diǎn).例2７．對(duì)任意二事件，等式(）成立.Ａ．B．Ｃ.D.解由概率乘法公式可知，對(duì)的答案:D例2８擲兩顆均勻的骰子,事件“點(diǎn)數(shù)之和為３”的概率是(）.A.B.Ｃ.D.解兩顆均勻的骰子的“點(diǎn)數(shù)之和”樣本總數(shù)有66=3６個(gè)，而“點(diǎn)數(shù)之和為3”的事件具有：1+2和2+1兩個(gè)樣本，因此，該事件的概率為.對(duì)的答案：Ｂ例2９．假設(shè)事件互相獨(dú)立，已知，求事件只有一個(gè)發(fā)生的概率．解只有一個(gè)發(fā)生的事件為:，且與是互斥事件,于是=＝=例3０．已知，，,求.解由于,且與是互斥事件，得所以， ?例３1有甲、乙兩批種子,發(fā)芽率分別是0.85和0.75，在這兩批種子中各隨機(jī)取一粒,求至少有一粒發(fā)芽的概率.解設(shè)A表達(dá)甲粒種子發(fā)芽,B表達(dá)乙粒種子發(fā)芽，則A,Ｂ獨(dú)立,且P()=0.15，P（）=0.25故至少有一粒發(fā)芽的概率為：P（A＋B)=１－P()＝1-P（)=1-P()P(）=1–0.１50.25=0．9625例32已知事件,,互相獨(dú)立,試證與互相獨(dú)立.證由于事件，,互相獨(dú)立,即，且＝==所以與互相獨(dú)立．第8章隨機(jī)變量與數(shù)字特性復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)：兩類(lèi)隨機(jī)變量、常見(jiàn)分布（二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、正態(tài)分布)、盼望與方差復(fù)習(xí)規(guī)定:⑴了解離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的定義及其概率分布的性質(zhì);⑵了解隨機(jī)變量盼望和方差的概念及性質(zhì)，掌握其計(jì)算方法;⑶了解二項(xiàng)分布,記住它的盼望與方差;⑷理解正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記住其盼望與方差．純熟掌握將正態(tài)分布化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的方法.純熟掌握正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題．將一般正態(tài)分布化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的公式：它們的概率計(jì)算公式:,下面舉幾個(gè)例子說(shuō)明本章的重點(diǎn)：例３３設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為--10120.10.2a0.4則a=.解根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概率分布的性質(zhì):對(duì)的答案:０.3例34設(shè)，且，,則ｎ=．解根據(jù)二項(xiàng)分布的盼望和方差的定義：得1－ｐ=0．6，ｐ=0.4，n＝１5對(duì)的答案：15例35設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求(1)常數(shù)a；(2)解(1)根據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì) ?1===1－（a-2）3得a=2所以(２)====例36某類(lèi)鋼絲的抗拉強(qiáng)度服從均值為1０0(kg/cm2),標(biāo)準(zhǔn)差為５(kｇ／cｍ2）的正態(tài)分布,求抗拉強(qiáng)度在90~１1０之間的概率．((1)=0.8４13，（2)＝0.９７72)解設(shè)鋼絲的抗拉強(qiáng)度為X,則X~N（10０，5２），且．Ｐ（90<X＜11０)==(2）-(－2)＝2(2)-1＝0.9544第9章矩陣復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn):矩陣概念與矩陣的運(yùn)算、特殊矩陣、矩陣的初等行變換與矩陣的秩、可逆矩陣與逆矩陣復(fù)習(xí)規(guī)定：⑴了解矩陣概念，理解矩陣可逆與逆矩陣概念,知道矩陣可逆的條件，了解矩陣秩的概念;⑵純熟掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法和轉(zhuǎn)置等運(yùn)算，掌握這幾種運(yùn)算的有關(guān)性質(zhì)；⑶了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角形矩陣和對(duì)稱矩陣的定義和性質(zhì).⑷理解矩陣初等行變換的概念，純熟掌握用矩陣的初等行變換將矩陣化為階梯形矩陣、行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，純熟掌握用矩陣的初等行變換求矩陣的秩、逆矩陣.矩陣乘法是本章的重點(diǎn)之一，在復(fù)習(xí)矩陣乘法時(shí)，要注意：矩陣乘法不滿足互換律,即一般不成立.矩陣乘法不滿足消去律，即由矩陣及矩陣，不能推出.但當(dāng)可逆時(shí)，.矩陣，也許有．下面舉例說(shuō)明本章的重點(diǎn):例3７設(shè)矩陣，I是單位矩陣,則＝__＿_(dá)__＿_(dá)＿.解由于＝，＝=所以=.對(duì)的答案：該例題說(shuō)明，可轉(zhuǎn)置矩陣不一定是方陣；假如矩陣運(yùn)算成立，也不一定是方陣．例38矩陣的秩是（)A.1Ｂ.2Ｃ．3D．4解化成階梯形矩陣后,有3個(gè)非0行，故該矩陣的秩為3.對(duì)的答案:C例39設(shè)矩陣A=，B＝，計(jì)算（BA)-1.解由于BA=＝（BAI)=所以(BA)-１=例40設(shè)矩陣,求矩陣解由于所以例41設(shè)A,B均為n階對(duì)稱矩陣，則AB＋BA也是對(duì)稱矩陣.證?由于A,B是對(duì)稱矩陣，即且 ?? 根據(jù)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)可知，ＡB＋ＢA是對(duì)稱矩陣.第10章線性方程組復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn):線性方程組、消元法、線性方程組有解鑒定定理、線性方程組解的表達(dá)復(fù)習(xí)規(guī)定：⑴了解線性方程組的有關(guān)概念,純熟掌握用消元法求線性方程組的一般解;⑵理解并純熟掌握線性方程組的有解鑒定定理.非齊次線性方程組ＡX＝b的解的情況歸納如下:ＡX＝b有唯一解的充足必要條件是秩（）=秩(Ａ)=n