2018屆九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第27章圖形的相似27.2相似三角形相似三角形的綜合同步測(cè)試（版）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE20學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精相似三角形的綜合課后作業(yè)1、如圖,Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．AC2=AD?ABB．CD2=CA?CBC．CD2=AD?DBD．BC2=BD?BA2、如圖,身高為1.5米的某學(xué)生想測(cè)量一棵大樹的高度,她沿著樹影BA由B向A走去,當(dāng)走到C點(diǎn)時(shí)，她的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測(cè)得BC=4米，CA=2米，則樹的高度為（)A．6米B．4。5米C．4米D．3米3、如圖所示,一張等腰三角形紙片，底邊長(zhǎng)18cm，底邊上的高長(zhǎng)18cm，現(xiàn)沿底邊依次向下往上裁剪寬度均為3cm的矩形紙條，已知剪得的紙條中有一張是正方形,則這張正方形紙條是(）A．第4張B．第5張C．第6張D．第7張4、如圖,小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板EFG測(cè)量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊EG保持水平，并且邊EF所在的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．已知紙板的兩條直角邊EF=60cm，F(xiàn)G=30cm，測(cè)得小剛與樹的水平距離BD=8m，邊EG離地面的高度DE=1.6m,則樹的高度AB等于()A．5mB．5。5mC．5。6mD．5.8m5、如圖所示，數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧型小橋在內(nèi)的路上，于是他們開展了測(cè)算小橋所在圓的半徑的活動(dòng)．小剛身高1。6米，測(cè)得其影長(zhǎng)為2.4米，同時(shí)測(cè)得EG的長(zhǎng)為3米,HF的長(zhǎng)為1米,測(cè)得小橋拱高（弧GH的中點(diǎn)到弦GH的距離,即MN的長(zhǎng)）為2米，則小橋所在圓的半徑為(）A．B．5C．3D．66、如圖，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，AD與FE、BE分別交于點(diǎn)G、H,∠CBE=∠BAD．有下列結(jié)論：①FD=FE；②AH=2CD；③BC?AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正確的有（）A．1個(gè)B．2

個(gè)C．3

個(gè)D．4個(gè)7、矩形ABCD中AE⊥BD于E，AB=4，∠BAE=30°，求△DEC的面積是8、《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．其中卷第九勾股,主要講述了以測(cè)量問(wèn)題為中心的直角三角形三邊互求的關(guān)系．其中記載：“今有邑，東西七里,南北九里，各中開門,出東門一十五里有木,問(wèn):出南門幾何步而見木？”譯文：“今有一座長(zhǎng)方形小城，東西向城墻長(zhǎng)7里，南北向城墻長(zhǎng)9里,各城墻正中均開一城門．走出東門15里處有棵大樹，問(wèn)走出南門多少步恰好能望見這棵樹?”（注：1里=300步）你的計(jì)算結(jié)果是:出南門步而見木．9、在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(-5，0),以O(shè)A為直徑在第二象限內(nèi)作半圓C，點(diǎn)B是該半圓周上一動(dòng)點(diǎn)，連接OB、AB，作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作x軸垂線,分別交直線OB、x軸于點(diǎn)E、F，點(diǎn)F為垂足，當(dāng)DF=4時(shí)，線段EF=．10、如圖,在△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC=6，BD=3．(1）求∠A的度數(shù)；（2)求BC的長(zhǎng)及△ABC的面積．11、如圖,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連接FB,FC．（1）求證：∠FBC=∠FCB;（2）已知FA?FD=12,若AB是△ABC外接圓的直徑,FA=2,求CD的長(zhǎng)．12、課本中有一道作業(yè)題:有一塊三角形余料ABC,它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上．（1）加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)是多少mm?（2)如果原題中要加工的零件是一個(gè)矩形，且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，如圖1,此時(shí)，這個(gè)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)又分別為多少？請(qǐng)你計(jì)算．(3)如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形，如圖2，這樣,此矩形零件的兩條邊長(zhǎng)就不能確定，但這個(gè)矩形面積有最大值，求達(dá)到這個(gè)最大值時(shí)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)．

參考答案1、解析:直接根據(jù)射影定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∴AC2=AD?AB，CD2=DA?DB,BC2=BD?BA．故選B2、解析：如圖，CE=1.5m,易證得△ACE∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，然后利用比例性質(zhì)求出BD即可．解：如圖，CE=1.5m，∵CE∥BD，∴△ACE∽△ABD，∴AC:AB=CE:BD，即2：(2+4）=1.5：BD,∴BD=4。5（m），即樹的高度為4。5m．故選B．3、解析：根據(jù)相似三角形的相似比求得頂點(diǎn)到這個(gè)正方形的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形的寬求得是第幾張．解:已知剪得的紙條中有一張是正方形，則正方形中平行于底邊的邊是3，所以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可設(shè)從頂點(diǎn)到這個(gè)正方形的線段為x，則3:18=x：18，解得x=3，所以另一段長(zhǎng)為18-3=15，因?yàn)?5÷3=5，所以是第5張．故選：B．4、解析:先求出EC=BD，再求出△EFG和△ECA相似，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解得到AC，再根據(jù)AB=AC+BC求解即可．解：∵小剛與樹的水平距離BD=8m，∴EC=BD=8m,∵∠E=∠E，∠EFG=∠ECA=90°，∴△EFG∽△ECA，∴EF:FG=EC：CA，即60:30=8:CA，解得AC=4，又∵DE=1。6m，∴BC=DE=1.6m，∴AB=AC+BC=4+1.6=5。6m．故選C5、解析：小橋所在圓的圓心為點(diǎn)O，連結(jié)OG，設(shè)⊙O的半徑為r米．先利用平行投影的性質(zhì)和相似的性質(zhì)得到DE：EF=1.6：2。4，于是可求出GH=8米，再根據(jù)垂徑定理得到點(diǎn)O在直線MN上，GM=HM=GH=4米，然后根據(jù)勾股定理得到r2=（r-2）2+16，再解方程即可．解：如圖,設(shè)小橋的圓心為O,連接OM、OG．設(shè)小橋所在圓的半徑為r米．∵DE:EF=1.6：2。4，∴8：EF=1。6:2。4解得EF=12,∴GH=12—3—1=8（米)．∵M(jìn)N為弧GH的中點(diǎn)到弦GH的距離，∴點(diǎn)O在直線MN上，GM=HM=GH=4米．在Rt△OGM中，由勾股定理得：OG2=OM2+GM2,即r2=（r—2）2+16,解得：r=5．答:小橋所在圓的半徑為5米．6、解析：由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出FD=AB,證明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，證出FE=AB，延長(zhǎng)FD=FE，①正確；證出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性質(zhì)得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA證明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正確；證明△ABD～△BCE，得出BC：AB=BE:AD，即BC?AD=AB?BE,再由等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形的面積得出BC?AD=AE2；③正確；由F是AB的中點(diǎn)，BD=CD，得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正確；即可得出結(jié)論．解:∵在△ABC中，AD和BE是高,∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴FD=AB，∵∠ABE=45°,∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=BE,∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴FE=AB,∴FD=FE，①正確；∵∠CBE=∠BAD,∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC,∵AD⊥BC，∴BC=2CD,∠BAD=∠CAD=∠CBE,在△AEH和△BEC中，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，∠EAH＝∠CBE,∴△AEH≌△BEC（ASA），∴AH=BC=2CD，②正確；∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，∴△ABD~△BCE，∴BC：AB=BE：AD，即BC?AD=AB?BE,∵AE2=AB?AE=AB?BE，BC?AD=AC?BE=AB?BE,∴BC?AD=AE2；③正確；∵F是AB的中點(diǎn)，BD=CD，∴S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正確；故選：D7、解析：根據(jù)已知條件,先求出線段AE,BE，DE的長(zhǎng)度,進(jìn)而求Rt△AED的面積,再證明△ECD的面積與它相等即可得出答案．解:如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD于F．∵矩形ABCD中，AB=4，AE⊥BD,∠BAE=30°,∴AB2=BE×BD,BE=2，AE=2,∴ED=BD-BE=6，∴∠ABE=∠CDF=60°，AB=CD=4，AEB=∠CFD=90°．∴△ABE≌△CDF．∴AE=CF．∴S△AED=ED?AE，S△ECD=ED?CF∴S△AED=S△CDE,∵AE=2，DE=6，∴△ECD的面積是6．故答案為:68、解析:根據(jù)題意寫出AB、AC、CD的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，計(jì)算即可．解:由題意得，AB=15里，AC=4。5里，CD=3。5里，△ACB∽△DEC，∴DE:AC=DC：AB，即DE：4。5=3.5：15,解得,DE=1。05里=315步，∴走出南門315步恰好能望見這棵樹,故答案為：315．9、解析:連接OD，則OD=OA=5，在直角三角形ODF中，可求出OF=3，故AF=2，在直角三角形ADF中由勾股定理求出AD，由相似三角形的判定定理找出△DBE∽△DFA,結(jié)合三角形相似的性質(zhì)找出DE：DA=DB:DF,在等腰三角形AOD中可得出AB=DB=AD，套用DE=DB×DA：DF得出DE值，再由EF=DF-DE得出結(jié)論．解:連接OD,如圖所示．∵點(diǎn)A、點(diǎn)D關(guān)于B點(diǎn)對(duì)稱，∴OD=OA=5．在Rt△ODF中，OD=5，DF=4，∠DFO=90°，∴OF==3,∴AF=OA—OF=2．∵AO為⊙C的直徑,∴∠ABO=90°，∴∠DBE=90°=∠DFA，又∵∠BDE=∠FDA，∴△BDE∽△FDA，∴DE：DA=DB:DF．在Rt△ADF中，AF=2，DF=4，∠AFD=90°，∴AD==2．∵OA=OD，且OB⊥AD，∴AB=DB=AD=,∴DE=DB×DA:DF=，∴EF=DF-DE=．故答案為：10、解析：（1）先利用射影定理得到AC2=AD?AB,即（6)2=AD?（AD+3),再解方程得到AD=9，然后根據(jù)正弦的定義求∠A；(2）先根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求BC,然后根據(jù)三角形面積公式求△ABC的面積．解：（1)∵∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D，∴AC2=AD?AB，即（6）2=AD?（AD+3），整理得AD2+3AD-108=0,解得AD=9或AD=-12（舍去），在Rt△ACD中,∵AD：AC=9：6=：2，∴∠A=30°；（2）∵AB=AD+BD=9+3=12，而∠A=30°,∴BC=AB=6,∴S△ABC=?AC?BC=?6?6=1811、解析:（1）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角關(guān)系證出∠FBC=∠CAD，再由角平分線和對(duì)頂角相等得出∠FAB=∠CAD，由圓周角定理得出∠FAB=∠FCB,即可得出結(jié)論；（2)由（1)得：∠FBC=∠FCB,由圓周角定理得出∠FAB=∠FBC，由公共角∠BFA=∠BFD，證出△AFB∽△BFD,得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出BF，得出FD、AD的長(zhǎng)，由圓周角定理得出∠BFA=∠BCA=90°,由三角函數(shù)求出∠FBA=30°，再由三角函數(shù)求出CD的長(zhǎng)即可．（1）證明：∵四邊形AFBC內(nèi)接于圓，∴∠FBC+∠FAC=180°,∵∠CAD+∠FAC=180°，∴∠FBC=∠CAD，∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分線,∴∠EAD=∠CAD，∵∠EAD=∠FAB,∴∠FAB=∠CAD，又∵∠FAB=∠FCB,∴∠FBC=∠FCB；（2)解：由(1）得:∠FBC=∠FCB，又∵∠FCB=∠FAB，∴∠FAB=∠FBC，∵∠BFA=∠BFD，∴△AFB∽△BFD，∴BF:FD=FA：BF，∴BF2=FA?FD=12，∴BF=2，∵FA=2，∴FD=6，AD=4，∵AB為圓的直徑，∴∠BFA=∠BCA=90°，∴AF：BF=2:2=:3，∴∠FBA=30°，又∵∠FDB=∠FBA=30°，∴CD==4×=212、解析：（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xmm,則PN=PQ=ED=x,AE=AD-ED=80-x，通過(guò)證明△APN∽△ABC,利用相似比可得到x：120=（80—x):80，然后根據(jù)比例性質(zhì)求出x即可；（2）由于矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，則可設(shè)PQ=x,則PN=2x，AE=80-x，然后與（1)的方法一樣求解；（3）設(shè)PN=x，用PQ表示出AE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN,然后根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答．解：（1)如圖1，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xmm，則PN=PQ=ED=x，∴AE=AD-ED=80—x，∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC，∴PN:BC=AE:AD，即x：120=(80—x）:80,解得x=48．∴加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)是48mm;(2）如圖2，設(shè)PQ=x，則PN=2x，AE=80-x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴PN：BC=AE：AD,即2x：120=（80-x）：80，解得：x=240