2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 等比數(shù)列（精講）（解析版）

6.2等比數(shù)列（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見(jiàn)考法常見(jiàn)考法考點(diǎn)一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算【例1】（1）（2021·安徽合肥市）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A． B．2 C． D．4（2）（2020·全國(guó)高考真題（文））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1【答案】（1）A（2）B【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為且由，所以又，則所以即，所以故選：A（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得：，所以，因此.故選：B.【一隅三反】1．（2021·全國(guó)）設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知3S3=a4﹣3，3S2=a3﹣3，則公比q=（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列{an}中，有3S3=a4﹣3，3S2=a3﹣3，則有3S3﹣3S2=(a4﹣3)﹣(a3﹣3)，即3a3=(a4﹣a3)，所以a4=4a3，即q=4；故選：B.2（2021·廣東）已知等比數(shù)列為，則該數(shù)列的第二十項(xiàng)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由等比數(shù)列的前四項(xiàng)分別為，知該數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則通項(xiàng)，得.故選：B.3．（2021·臨川一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校）已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則數(shù)列的公比是（）A．8 B．4 C．3 D．2【答案】D【解析】由，所以，.故選：D.4．（2021·陜西西安市）等比數(shù)列中，，．設(shè)為的前項(xiàng)和，若，則的值為（）．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】設(shè)公比為，因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，故選:B.考點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)【例2】（1）（2021·山西）若三個(gè)數(shù)1，2，m成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)（）A．8 B．4 C．3 D．2（2）（2021·珠海市第二中學(xué)高三其他模擬）若1，，，，4成等比數(shù)列，則（）A．16 B．8 C． D．（3）（2021·四川雅安市）若是等比數(shù)列，且前項(xiàng)和為，則=（）A． B． C．-1 D．1（4）（2021·正陽(yáng)縣高級(jí)中學(xué)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．66 B．65 C．64 D．63【答案】（1）B（2）B（3）B（4）B【解析】（1）因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，故即，故選：B.（2）因?yàn)?，，，，4成等比數(shù)列，，，(負(fù)不合題意，奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同)，則，故選：B.（3）由，得，，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，即，得.故選：B（4）由題知：，，，所以，，成等比數(shù)列，即5，15，成等比數(shù)列，所以，解得.故選：B.【一隅三反】1．（2021·全國(guó)高考真題（文））記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】∵為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，∴，，成等比數(shù)列∴，∴，∴.故選：A.2．（2021·西藏拉薩市）等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，又，，，故選：A.3．（2021·陜西渭南市）在等比數(shù)列中，是方程的根，則的值為（）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，是方程的根，所以，所以，由等比數(shù)列的性質(zhì)得，所以，所以，故選：B4．（2021·吉林吉林市·高三三模）已知是和的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率為（）A． B．或2 C． D．或【答案】B【解析】由是和的等比中項(xiàng)，可得，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，該曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，離心率，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，該曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，離心率，故選：B.5．（2020·全國(guó)高考真題（理））數(shù)列中，，，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得.故選：C.6．（2021·遼寧沈陽(yáng)市·高三一模）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則______．【答案】10【解析】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，所以，故答案為：.考點(diǎn)三等比數(shù)列的證明或判斷【例3】（1）（2021·全國(guó)高三其他模擬）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）（2021·四川成都市）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足：，，.若，求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；【答案】證明見(jiàn)解析；【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，.（2）且，，，即，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，；，，…，，各式相加可得：，，；【一隅三反】1.（2021·全國(guó)課時(shí)練習(xí)）以下條件中，能判定數(shù)列是等比數(shù)列的有（）①數(shù)列1，2，6，18，…；②數(shù)列中，已知，；③常數(shù)列，，…，，…；④數(shù)列中，，其中.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解析】①中，數(shù)列不符合等比數(shù)列的定義，故不是等比數(shù)列；②中，前3項(xiàng)是等比數(shù)列，多于3項(xiàng)時(shí)，無(wú)法判定，故不能判定是等比數(shù)列；③中，當(dāng)時(shí)，不是等比數(shù)列；④中，數(shù)列符合等比數(shù)列的定義，是等比數(shù)列.故選：A.2．（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且滿(mǎn)足an＝(3an－1－bn－1)，bn＝－(an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2.求證：數(shù)列{an－bn}為等比數(shù)列；【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：an－bn＝(3an－1－bn－1)－(an－1－3bn－1)＝2(an－1－bn－1)，即，又a1－b1＝3－(－1)＝4，所以{an－bn}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列；3．（2021·陜西）已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2，an+1=4an-3n+1，(n∈N*)”.（1）證明：數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列；（2）求出{an}的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）證明：由an+1=4an-3n+1得an+1-(n+1)=4(an-n)，n∈N*.因?yàn)閍1-1=1≠0，所以an-n≠0，所以，所以數(shù)列{an-n}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.4．（2021·浙江金華市·高三三模）已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足，，，成等差數(shù)列，證明:數(shù)列是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；【答案】證明見(jiàn)解析，；【解析】由已知得4an+1=3an+anan+1,∵a1≠0，∴由遞推關(guān)系可得an≠0恒成立，∴,∴，即,又∵,∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，,；考點(diǎn)四實(shí)際生活中的等比數(shù)列【例4】（2021·河南新鄉(xiāng)市·高三三模（文））《九章算術(shù)》卷第三中有個(gè)關(guān)于織布的問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問(wèn)日織幾何？”，意思為“今有一女子善于織布，每天所織布是前一天的兩倍，她五天織布五尺，試問(wèn)她每天各織布多少”，則該女子第三天織布___________尺.【答案】【解析】依題意可知該女子前5天所織布的尺數(shù)依次成公比為2的等比數(shù)列，設(shè)她第一天織布尺，則，解得，∴她第三天織布尺數(shù)為.故答案為：.【一隅三反】1．（2021·山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)高三月考）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“二百五十四里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，七朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：有一個(gè)人走254里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了7天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第四天走了（）A．64里 B．32里 C．16里 D．8里【答案】C【解析】由題意知：此人每天所走里程成等比數(shù)列.且.解得：,所以.故選：C.2．（2021·山西高三其他模擬（理））明代數(shù)學(xué)家程大位編著的《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一座豐碑．其中有一段著述“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一．”注：“倍加增”意為“從塔頂?shù)剿祝啾扔谏弦粚?，每一層燈的盞數(shù)成倍增加”，則該塔從塔底數(shù)第二層燈的盞數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，可知從塔頂?shù)剿?，每層的燈盞數(shù)構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，設(shè)塔頂燈盞數(shù)為，則有，解得，從塔底數(shù)第二層燈的盞數(shù)為，故選：C.3．（2021·廣東中山市）音樂(lè)與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我國(guó)春秋時(shí)期有個(gè)著名的“三分損益法”：以“宮”為基本音，“宮”經(jīng)過(guò)一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉?lái)的，得到“徵”；“徵”經(jīng)過(guò)一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉?lái)的，得到“商”；……．依次損益交替變化，獲得了“宮、徵、商、羽、角”五個(gè)音階．據(jù)此可推得（）A．“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列 B．“宮、徵、商”的頻率成等比數(shù)列C．“商、羽、角”的頻率成等比數(shù)列 D．“徵、商、羽”的頻率成等比數(shù)列【答案】A【解析】設(shè)“宮”的頻率為，由題意經(jīng)過(guò)一次“損”，可得“徵”的頻率是；“徵”經(jīng)過(guò)一次“益”，可得“商”的頻率是，“商”經(jīng)過(guò)一次“損”，可得“羽”的頻率是；最后“羽”經(jīng)過(guò)一次“益”，可得“角”的頻率是，由于成等比數(shù)列，所以“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列．故選：A．考點(diǎn)五等比數(shù)列的最值【例5】（1）（2021·全國(guó)高三）在等比數(shù)列中，，則的最大值是（）A． B． C． D．（2）（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選題）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，并滿(mǎn)足條件，，下列結(jié)論正確的是（）A．S2019<S2020 B．C．T2020是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無(wú)最大值【答案】（1）B（2）AB【解析】（1）由等比數(shù)列性質(zhì)知：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，，即的最大值為.故選：B.【解析】當(dāng)時(shí)，，不成立；當(dāng)時(shí)，，不成立；故，且，故，正確；，故正確；是數(shù)列中的最大值，錯(cuò)誤；故選：【一隅三反】1．（2021·北大附中深圳南山分校高三一模）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則“Sn+1>Sn”是“{an}單調(diào)遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】，例如，但是數(shù)列不單調(diào)遞增，故不充分；數(shù)列單調(diào)遞增，例如，但是，故不必要；故選：D2．（2021·山東菏澤市·高三一模）在等比數(shù)列中，若則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足題意;當(dāng)時(shí)，等式左邊，所以，等式右邊，不滿(mǎn)足題意，所以，，則中奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)．故選B.3．（2021·浙江）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是正項(xiàng)等比數(shù)列，若，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，，圖象中的孤立的點(diǎn)在一條直線上，而等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)形式，圖象中孤立的點(diǎn)在指數(shù)函數(shù)圖象上，如圖所示當(dāng)時(shí)，如下圖所示，當(dāng)公差時(shí)，如下圖所示，如圖可知當(dāng)時(shí)，，，，.故選：D4．（2021·陜西西安市·西安中學(xué)高三其他模擬（理））數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，則“”是“數(shù)列遞增”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由已知，解得或，，此時(shí)數(shù)列不一定是遞增數(shù)列；若數(shù)列為遞增數(shù)列，可得或，所以“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.5（2021·遼寧丹東市·高三月考）等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積，若，，，則