數值分析-第1章緒論修復的

二、誤差的概念1、絕對誤差與絕對誤差限例:若用以厘米為最小刻度的尺去量桌子的長，大約為1.45米，求1.45米的絕對誤差。1.45米的絕對誤差=？不知道！是近似值的絕對誤差,簡稱為誤差。

定義：設是準確值，為

的一個近似值，稱但實際問題往往可以估計出不超過某個正數，即則稱為絕對誤差限，有了絕對誤差限,就可以知道的范圍為即落在內。在應用上，常常采用下列寫法來刻劃的精度。2、相對誤差與相對誤差限定義：設是準確值，是近似值，是近似值的誤差，通常取為近似值的相對誤差，記作，稱一般情況下是不知道的，怎么辦？事實上，當較小時是的二次方項級,故可忽略不計.相應地，若正數滿足

則稱為的相對誤差限。3、有效數字定義：如果則說近似表示準確到小數后第位，并從這第位起直到最左邊的非零數字之間的一切數字都稱為有效數字，并把有效數字的位數稱為有效位數。如果一個近似數的所有數字均為有效數字，則稱之為有效數。由上述定義故若取作的近似值，就有五位有效數字。若取作的近似值，就有六位有效數字。取作的近似值，就有三位有效數字。注：若一近似數是由原真值經四舍五入得到，則必為有效數.定義:若近似值的誤差限是某一位的半個單位,也即，若有位有效數字。則稱其中，是1到9中的一個數字；是0到9中一個數字；為整數，且該位到的左邊第一位非零數字共有位,就說有位有效數字。由上述定義故的近似值分別有三位、五位和六位有效數字。4、相對誤差限與有效數字的關系Th1.1：

則

至少具有位有效數字。對于用式表示的近似數，若具有位有效數字，則其相對誤差限為反之，若的相對誤差限為Th1.2：

設反之,若的相對誤差的絕對值大于，其中為整數,為正整數,。有位有效數字。則至多若至多有位有效數字,即是有效數字,而不是有效數字,則的相對誤差的絕對值必大于;證明：不是有效數字

反之,若

則

不是有效數字，

即至多有位有效數字.

§4

數值運算的誤差估計一、四則運算的誤差估計兩個近似數與,其誤差限分別為及,它們進行加減乘除運算得到的誤差限分別為二、函數誤差估計當自變量有誤差時，計算函數值也會產生誤差，其誤差限可利用函數的Taylor展開式進行估計。

設是一元函數，的近似值為,以近似，其誤差限記作，可用Taylor展開

介于之間.取絕對值得假定與的比值不太大,,可忽略的高階項,于是可得計算函數的誤差限為

當為多元函數時計算,如果的近似值為,則的近似為于是函數值的誤差由Taylor展開,得：于是誤差限為而的相對誤差限為(1.3.1)(1.3.2)例:已測得某場地長的值為,寬的值為,已知,.試求面積的絕對誤差限與相對誤差限.解:因

其中由式(1.3.1)得而于是絕對誤差限為相對誤差限為§5

算法的數值穩(wěn)定性

數值計算在設計算法時首先關心的是由它產生的計算結果的穩(wěn)定性，而算法的穩(wěn)定性與舍入誤差是否增長密切相關。一個算法如果輸入數據有微小擾動（即誤差），而在計算過程中舍入誤差不增長，則稱此算法是數值穩(wěn)定的，否則稱其為數值不穩(wěn)定。

例：求定積分的值.解：直接積分可產生遞推公式若取初值可得遞推公式按公式就可以逐步算出注意此公式精確成立，且Whathappened?!不穩(wěn)定的算法！這就是誤差傳播所引起的危害!

NYBJ蝴蝶效應——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風和日麗的北京就刮起臺風來了？！這是一個病態(tài)問題由題設中的遞推公式（1）可看出，

的誤差擴大了5倍后傳給

，因而初值

的誤差對以后各步這就造成的計算結果嚴重失真。計算結果的影響，隨著

的增大愈來愈嚴重。要怎么做才能解決這個問題呢?可求得I90.017，按改寫后的公式可逐次求得不妨設I9I10，于是由將公式變?yōu)?/p>

I80.019I70.021 I60.024I80.028 I40.034I30.043 I20.058I10.088 I00.182穩(wěn)定的算法！

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性會是一個非常重要的話題。注：遞推公式(1)的舍入誤差以5的冪次增長進行傳播，因此是數值不穩(wěn)定的，而遞推公式(2)的舍入誤差在一定范圍內以0.2的冪次進行傳播，隨著n的增大，誤差逐步減少，因此該算法是數值穩(wěn)定的。

因此，可以看出數值不穩(wěn)定的算法是不能使用的，實際計算中對任何輸入數據都是數值穩(wěn)定的算法，稱為無條件穩(wěn)定。而對某些數據數值穩(wěn)定，對其它數據數值不穩(wěn)定的算法，稱為條件穩(wěn)定。1.要避免兩個相近的數相減在數值計算中，兩個相近的數作減法時有效數字會損失。例:

求的值。當x=1000，y的準確值為0.01580

§6數值計算中應該注意的一些原則類似地

(2)若將原式改寫為則y=0.01581(1)直接相減有3位有效數字！只有1位有效數字2.盡量避免絕對值太小的數作分母例：如分母變?yōu)?.0011，也即分母只有0.0001的變化時結果相差這么大!3.避免大數吃小數精確解為算法1：利用求根公式例：用單精度計算的根。在計算機內，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時，兩加數的指數先向大指數對齊，再將浮點部分相加。即1的指數部分須變?yōu)?010，則：1=0.1010，取單精度時就成為：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010算法2：先解出再利用注：求和時從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算1+2+3+…+40+1094.簡化計算步驟，避免誤差積累。一般來說，計算機處理下列運算的速度為例：多項式求值：給定的x求下列n次多項式的值。

解：1.用一般算法，即直接求和法；

2.逐項求和法；3.秦九韶方法(即Hornor算法）；先計算x2,x3,…,xn,再作線性組合，需做2n-1次乘法和n次加法。解法一：直接求和法解法二：逐項求和法按順序依次計算每一項的值再求和，需做n(n+1)/2次乘法和n次加法。解法三：秦九韶算法（即Horner算法）只需做n次乘法和n次加法。且可以遞推實現(xiàn)。計算機上使用的算法常采用遞推化的形式，遞推化的基本思想是把一個復雜的計算過程歸結為簡單過程的多次重復。這種重復在程序上表現(xiàn)為循環(huán)。遞推化的優(yōu)點是簡化結構和節(jié)省計算量。算法的遞推性例：用秦九韶方法求多項式p(x)在x=-2處的值解：

Ka5-KvK00