模糊邏輯與模糊推理

模糊邏輯與模糊推理智能信息處理研究所Motivation一提到數(shù)學(xué)，人們自然會想到它是精確的(set)。然而精確數(shù)學(xué)卻不能有效描述現(xiàn)實(shí)世界里普遍存在的模糊想象，如“好與壞”，“長與短”、“一大堆”，“一小撮”，“太冷”，“太熱”，“物美價廉”，這些“量”在人們的頭腦都有一個人們普遍接受的標(biāo)準(zhǔn)，利用這些模糊量非但沒有影響人們的信息交流，反倒能便于理解與記憶。模糊邏輯是一種精確解決不精確、不完全信息的方法。模糊邏輯可以比較自然地處理人的概念，它是一種通過模仿人的思維方式來表示和分析不確定、不精確信息的方法和工具.模糊邏輯，不同于經(jīng)典邏輯在真和假之間沒有精確的邊界，即從真到假之間的轉(zhuǎn)變是逐漸，這個過程通過隸屬度函數(shù)來描述。模糊并非來源于集合組成元素的隨機(jī)性，而是來源于抽象思維和概念的不確定性及不精確本質(zhì)。HistoryTheprecision

ofmathematics（精確數(shù)學(xué)）owesitssuccessinlargeparttotheeffortsofAristotle（亞里斯多德）。Theireffortsledtoaconcisetheoryoflogicandmathematics.The“LawoftheExcludedMiddle”（排除中間）statesthateverypropositionmusteitherbeTrueorFalse.Plato反對這種非此即彼的思維方法，他認(rèn)為在真與假之間應(yīng)該存在一種介于真與假之間的灰色地帶的第三區(qū)域。Therewerestrongandimmediateobjections（缺陷）.Forexample,Heraclitus（赫拉克利特）proposedthatthingscouldbesimultaneouslyTrueandnotTrue.History一百多年前，羅素曾經(jīng)指出過二元邏輯的局限性。Lukasiewicz(波蘭科學(xué)家，盧卡謝維奇)

對亞里斯多德的二值邏輯進(jìn)行改進(jìn)。提出了多值邏輯。Intheearly1900’s,Lukasiewiczdescribedathree-valuedlogic.Thethirdvaluecanbetranslatedastheterm“possible,”andheassigneditanumericvaluebetweenTrueandFalse.Later,heexploredfour-valuedlogics,five-valuedlogics,anddeclaredthatinprincipletherewasnothingtopreventthederivationofaninfinite-valuedlogic.HistoryKnuth(高德納)proposedathree-valuedlogicsimilartoLukasiewicz’s.（盧卡謝維奇）Hespeculated(推測)thatmathematicswouldbecomeevenmoreelegantthanintraditionalbi-valuedlogic.Hisinsightwastousetheintegralrange(區(qū)間)[-1,0+1]ratherthan[0,1,2].HistoryLotfiZadeh（扎德）,attheUniversityofCaliforniaatBerkeley,firstpresentedfuzzylogicinthemid-1960's.Zadehdevelopedfuzzylogicasawayofprocessingdata.Insteadofrequiringadataelementtobeeitheramemberornon-memberofaset,heintroducedtheideaofpartialsetmembership.(他首次提出fuzzylogical，引入部分屬于的思想)1965年發(fā)表關(guān)于模糊集合理論的論文。

1966年馬里諾斯（Marinos）發(fā)表關(guān)于模糊邏輯的研究報告。以后，扎德（L.A.Zadeh）又提出關(guān)于模糊語言變量的概念。

1974年扎德（L.A.Zadeh）進(jìn)行有關(guān)模糊邏輯推理的研究。扎德的重要貢獻(xiàn)在于將模糊和數(shù)學(xué)統(tǒng)一在一起History模糊理論起源于美國，但是它在美國卻因為傳統(tǒng)的習(xí)慣力量，發(fā)展并不順利，同樣在歐洲也受到一定程度的抵制。西方人喜歡在精確問題上鉆牛角尖，偏好亞里斯多德的二元邏輯系統(tǒng)。東方人擅長兼蓄思維，西方人嫻熟于分析推理，這種文化沉淀上的差異也可以從對模糊邏輯的接受程度上反映出來。模糊是相對于精確而言的。對于多因素的復(fù)雜狀況，模糊往往顯示出更大的精確。過份精確還可能導(dǎo)致過于克板、缺乏靈活性。如，我們到機(jī)場去接一位不認(rèn)識的朋友，需要知道的是對方的幾個主要特徵，而不需要對他的高低胖瘦精確到幾尺幾寸；有的人作演講，按提綱講要點(diǎn)，臨場發(fā)揮，就可以做到疏而不漏；水至清則無魚，人至察則無友！Application七十年代歐洲進(jìn)行模糊邏輯在工業(yè)方面的應(yīng)用研究：

實(shí)現(xiàn)了第一個試驗性的蒸汽機(jī)控制；熱交換器模糊邏輯控制試驗；轉(zhuǎn)爐煉鋼模糊邏輯控制試驗；溫度模糊邏輯控制；十字路口交通控制；污、廢水處理等。Application

八十年代日本情況：列車的運(yùn)行和停車模糊邏輯控制，節(jié)能11—14%；汽車速度模糊邏輯控制（加速平滑、上下坡穩(wěn)定）；港口集裝箱起重機(jī)的小車行走和卷揚(yáng)機(jī)的運(yùn)行控制；家電模糊邏輯控制（電飯煲、洗衣機(jī)、微波爐、空調(diào)、電冰箱等）。Application1987年,日本人研制成功新一代數(shù)字模糊微處理器;1990年,美國加利福尼亞的ＴｏｇａｉＩｎｆｒａｌｏｇｉｃ公司推出第二代數(shù)字模糊微處理器ＦＣ110;1992年,德國西門子公司宣布第三代數(shù)字模糊微處理器Fuzzy166研制成功,從而標(biāo)志著模糊控制理論、模糊控制系統(tǒng)應(yīng)用和計算機(jī)的結(jié)合已進(jìn)入成熟的實(shí)用階段.模糊邏輯的特點(diǎn)模糊邏輯是界于傳統(tǒng)人工智能的符號推理和傳統(tǒng)控制理論的數(shù)值計算之間的方法。它不依賴于模型，用語言來表示變量，用規(guī)則進(jìn)行模糊推理，處理事物。承認(rèn)真值(True)與假值(False)的中間過渡性，認(rèn)為事物在形態(tài)和類屬方面亦此亦彼，模棱兩可，相鄰中介之間是相互交叉和滲透的。模糊集定義經(jīng)典集合模糊集合定義：設(shè)在論域U上給定一個映射

CA:U－>{0,1}則：集合CA={u|CA(u)=1,uU}集合A的特征函數(shù)為：定義：設(shè)在論域U上給定一個映射

A:U－>[0,1]u|－>A(u)則:A稱作論域U上的模糊集，A(u)稱為A的隸屬函數(shù)。隸屬函數(shù)為0或1的特例BivalenceandFuzzCrispsetvs.FuzzysetAtraditionalcrispsetAfuzzysetCrispsetvs.Fuzzyset模糊集概念－舉例經(jīng)典集合模糊集合(1)U為離散的(1)U為離散的

876543214cmCA＝{長度大于4cm的線段}則：CA={8,7,6,5}即：A＝{長線段}則：A=?根據(jù)線段越短屬于長線段的隸屬度遞減可以設(shè)：

876543214cm

123456781

123456781模糊與概率Fuzzysystemsandprobabilityoperateoverthesamenumericrange.[0，1.0].bothdescribeuncertaintyTheprobabilisticapproachyields(描述)thenatural-languagestatement,“Thereisan80%chancethatJohnisbalding.”Thefuzzyterminology(術(shù)語)correspondsto“John'sdegreeofmembershipwithinthesetofbaldingpeopleis0.80.”

模糊和概率是否不確定性就是隨機(jī)性？概率的概念是否包含了所有的不確定性的概念？

Bayesiancamp：概率是一種主觀的先驗知識，不是一種頻率和客觀測量值(賭博為例，賭徒總認(rèn)為他所認(rèn)為事件概率大)

Lindley：概率是對不確定性唯一有效并充分的描述，所有其他方法都是不充分的(直接指向模糊理論)

隨機(jī)和模糊在概念和理論上都是有區(qū)別的相似：通過單位間隔[0,1]間的數(shù)來表述不確定性，都兼有集合和命題的結(jié)合律、交換律、分配律區(qū)別：對待。經(jīng)典集合論，代表概率上不可能的事件。而模糊建立在Randomnessvs.FuzzinessExample1:Thereisa20%chancetorain.(probability&objectiveness，客觀)It’salightrain.(fuzziness&subjectiveness，主觀)Example2:Nextfigurewillbeanellipseoracircle,a50%chanceforeveryoccasion.(probability&objectiveness)Nextfigurewillbeaninexactellipse.(fuzziness&subjectiveness)orAninexactellipseSetsandFuzzySetsClassicalsetsarealsocalledcrisp(sets)(易碎集和).(列舉)Lists:A={apples,oranges,cherries,mangoes}A={a1,a2,a3}A={2,4,6,8,…}(定義)

Formulas:A={x|xisanevennaturalnumber}A={x|x=2n,nisanaturalnumber}(特征函數(shù))MembershiporcharacteristicfunctionClassicalsets用特征函數(shù)可以表示一個集合。例如，一個學(xué)習(xí)小組共6人{(lán)A(女),B(男),C(男),D(女),E(男),F(男)},則男生和女生的集合可以分別表示為。男生=0/x1+1/x2+1/x3+0/x4+1/x5+1/x6女生=1/x1+0/x2+0/x3+1/x4+0/x5+0/x6經(jīng)典集合的運(yùn)算(并、交、補(bǔ)、差)經(jīng)典集合的運(yùn)算例S={a,b,c,d},A={a,b,c},B={b,c,d}使用隸屬度，A,B兩個集合可表示為：A=1/a+1/b+1/c+0/dB=0/a+1/b+1/c+1/dAUB=max(1,0)/a+max(1,1)/b+max(1,1)/c+max(0,1)/dAC=(1-1)/a+(1-1)/b+(1-1)/c+(1-0)/dBC=(1-0)/a+(1-1)/b+(1-1)/c+(1-1)/d=1/a+0/b+0/c+0/dA-B=min(1,1)/a+min(1,0)/b+min(1,0)/c+min(0,0)/d1/a+0/b+0/c+0/d隸屬度函數(shù)給定論域U上的一個模糊集合F用一個在閉區(qū)間[0，1]上取值的隸屬度函數(shù)表示，即u隸屬集合F的程度，即：常見隸屬度函數(shù)定義為：AfuzzysetAinXisexpressedasasetoforderedpairs:UniverseoruniverseofdiscourseFuzzysetMembershipfunction(MF)Afuzzysetistotallycharacterizedbyamembershipfunction(MF).模糊集合表示對于離散論域。模糊集合的表示方法和經(jīng)典集合表示方法的相同：可用特征函數(shù)法（序偶法）、扎德表示法、、向量法表示。假設(shè)論域X={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},設(shè)A表示一個接近于0的模糊集合，各元素的隸屬度函數(shù)依次為={1.0,0.9,0.8,0.7,0.6,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1},則A可表示為

序偶法

{(0，1.0),(1，0.9),(2,0.8),(3,0.7),(4,0.6),(5,0.5),(6,0.4),(7,0.3),(8,0.2),(9,0.1)}

扎德表示法：

向量表示法

:{1,0.9,0.8,0.7,0.6,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1}注：用扎德方法表示時，隸屬度函數(shù)等于0的項可以省略。用向量表示時，隸屬度函數(shù)等于0的項不可以省略。

模糊集合表示如果論域U是實(shí)數(shù)域，即U，論域中有無窮多個連續(xù)的點(diǎn)，該論域稱為連續(xù)論域,連續(xù)論域上的模糊集合可表示為:這里的積分號也不是通常的含義，該式只是表示對論域中每個元素都定義了相應(yīng)的隸屬函數(shù).若以年齡作為論域,并設(shè)X=[0，200]。設(shè)O表示模糊集合“年老”，其隸屬度函數(shù)為：則年老集合可表示為：模糊集兩要素：論域、隸屬度函數(shù)0<x<50X>50X={0,1,2,3,4,5,6}為家庭可以擁有孩子的數(shù)目模糊集合A=“家庭擁有孩子最明智的個數(shù)”A={(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)}令X=R+表示人類可能年齡集合，模糊集合B=“50歲左右”可以表示為B={x,μ(x)}其中μ(x)=1/(1+((x-50)/10)4)冪集、全集、空集論域U中模糊子集的全體，稱為U中的模糊冪集，記作F(U)，即：對于任一，若，則稱A為空集，若，則稱A=U為全集。幾個定義支集(>0){x|μA(x)>0}核(=1){x|μA(x)=1}正態(tài)性(=1，存在),{x|μA(x)=1}非空交叉點(diǎn)(=0.5)，{x|μA(x)=0.5}（強(qiáng)）截集，Aα={x|μA(x)>α}凸性模糊數(shù)：實(shí)軸，滿足正態(tài)和凸對稱左開，右開，閉模糊集合A是左開的，如果和模糊集合A是右開的，如果和閉，和對于一個正態(tài)的模糊集合和凸的模糊集合，帶寬或?qū)挾榷x為Width(A)=|x1-x2|其中x1和x2的隸屬度為0.5例模糊集合的基本運(yùn)算模糊集合的基本運(yùn)算模糊集合的基本運(yùn)算模糊集合的基本運(yùn)算模糊集合的基本運(yùn)算定理

模糊集運(yùn)算的基本定律：設(shè)U為論域，A、B、C為U中的任意模糊子集，則下列等式成立：（1）、冪等律（2）、結(jié)合律（3）、交換律（4）、分配律（5）、同一律（6）、零一律（7）、吸收律（8）、德.摩根律（9）、雙重否認(rèn)律模糊集合的幾何圖示：將論域X的所有模糊子集的集合——模糊冪集合看成一個超立方體，將一個模糊集合看成是立方體內(nèi)的一個點(diǎn)。非模糊集對應(yīng)立方體的頂點(diǎn)。中點(diǎn)離各頂點(diǎn)等距，最大模糊。模糊集合A是單位“二維立方體”中的一個點(diǎn)，其坐標(biāo)(匹配值)是（1/3，3/4）。表明第一個元素x1屬于A的程度是1/3，第二個元素x2的程度是3/4。立方體包含了兩個元素{x1，x2}所有可能的模糊子集。四個頂點(diǎn)代表{x1，x2}的冪集2X。對角線連接了非模糊集合的補(bǔ)集。越靠近模糊立方體的中點(diǎn)，A就越模糊。當(dāng)A到達(dá)中點(diǎn)時，所有四個點(diǎn)匯聚到中點(diǎn)處(模糊黑洞)。越靠近最近的頂點(diǎn)，A就越確定。當(dāng)A到達(dá)頂點(diǎn)時，全部四個點(diǎn)發(fā)散到四個頂點(diǎn)，得到二值冪集合2X。模糊立方體將Aristotelian集合“流放”到頂點(diǎn)處。Proposition:Aisproperlyfuzzyiffiff模糊集合的大小——基數(shù)A=(1/3,3/4)的基數(shù)等于M(A)=1/3+3/4=13/12。（X,In,M）定義了模糊理論的基本測量空間。M(A)等于從原點(diǎn)到A的矢量的模糊漢明范數(shù)(l1范數(shù))。模糊集合之間的距離兩個模糊集合A和B的距離：距離就是歐幾里德距離。最簡單的距離就是模糊漢明距離，它是坐標(biāo)差值的絕對值之和。利用模糊漢明距離，基數(shù)M可以重寫成距離的形式：模糊集合的模糊程度——模糊熵A的模糊熵E(A)，在單位超立方體In中從0到1，其中頂點(diǎn)的熵為0，表明不模糊，中點(diǎn)的熵為1，是最大熵。從頂點(diǎn)到中點(diǎn)，熵逐漸增大。從幾何圖形上來考慮可以得到熵的比例形式：常

見

一

維

隸

屬

度

函

數(shù)鐘型隸屬度函數(shù)改變c和a可改變隸屬度函數(shù)的中心和寬度，通過b來控制交叉點(diǎn)處的斜度。Sigmoid隸屬度函數(shù)此類函數(shù)常用于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。參數(shù)a定義左開和右開。適合用來描述“非常大”或“非常負(fù)”。(b)和(d)的作用在于構(gòu)造閉且非對稱的隸屬度函數(shù)。二維隸屬度函數(shù)二維隸屬度函數(shù)一維擴(kuò)展(CylindricalExtension)BasesetACylindricalExt.ofA2DMFProjection(二維投影)Two-dimensionalMFProjectionontoXProjectionontoYproject.m通過極小極大運(yùn)算產(chǎn)生二維隸屬度函數(shù)Trap(x)=trapezoid(x;-6,-2,2,6)Trap(y)=trapezoid(y;-6,-2,2,6)Bell(x)=bell(x;4,3,0);bell(y)=bell(y;4,3,0)隸屬度函數(shù)實(shí)質(zhì)上反映的是事物的漸變性遵守的基本原則：1、表示隸屬度函數(shù)的模糊集合必須是凸模糊集合；例如“速度適中”的隸屬度函數(shù)—在一定范圍內(nèi)或者一定條件下，模糊概念的隸屬度具有一定的穩(wěn)定性—從最大的隸屬度函點(diǎn)出發(fā)向兩邊延伸時，其隸屬度函數(shù)的值必須是單調(diào)遞減的，而不許有波浪性—總之，隸屬度函數(shù)呈單峰饅頭形(凸模糊集合，一般用三角形和梯形作為隸屬度函數(shù)曲線)凸模糊集合非凸模糊集合2、變量所取隸屬度函數(shù)通常是對稱和平衡的模糊變量的標(biāo)稱值選擇一般取3—9個為宜，通常取奇數(shù)（平衡）——在“零”、“適中”或者“合適”集合的兩邊語言值通常取對稱（如速度適中，一邊取“速度高”，一般另一邊取“速度低”，滿足對稱）。3、隸屬度函數(shù)要符合人們的語義順序，避免不恰當(dāng)?shù)闹丿B在相同的論域上使用的具有語義順序關(guān)系的若干標(biāo)稱的模糊集合，應(yīng)該合理的排列。下面的排列是錯誤的。適中高很高032速度交叉越界的隸屬度函數(shù)示意圖4、論域中的每個點(diǎn)應(yīng)該至少屬于一個隸屬度函數(shù)的區(qū)域，同時它一般應(yīng)該屬于至多不超過兩個隸屬度函數(shù)的區(qū)域。5、對于同一輸入，沒有兩個隸屬度函數(shù)會同時有最大隸屬度。(最大代表集合的最明顯特征）6、對兩個隸屬度函數(shù)重疊時，重疊部分對于兩個隸屬度函數(shù)的最大隸屬度不應(yīng)該有交叉。重疊指數(shù)重疊指數(shù)是衡量隸屬度函數(shù)與模糊控制器性能關(guān)系的一個重要指標(biāo)?！丿B率和重疊魯棒性重疊范圍附近隸屬函數(shù)范圍l一般取0.2——0.6一般取0.3——0.7隸屬度函數(shù)是模糊控制的應(yīng)用基礎(chǔ)如何確定隸屬函數(shù)?初步確定隸屬函數(shù)自學(xué)習(xí)修改和完善隸屬函數(shù)的選擇方法模糊統(tǒng)計法例證法專家經(jīng)驗法二元對比排序法(1)模糊統(tǒng)計法模糊統(tǒng)計法的基本思想是對論域U上的一個確定元素v是否屬于論域上的一個可變的清晰集的判斷。模糊集——如：年輕人清晰集——“17—30歲的人“、25—35歲的人”，對于同一個模糊集可以有不同的清晰集。模糊統(tǒng)計法計算步驟：N越大，隸屬頻率就越穩(wěn)定，但是計算量比較大。（2）例證法例證法由已知的有限個隸屬函數(shù)的值，來估計論域U上的模糊子集A的隸屬函數(shù)。（3）專家經(jīng)驗法專家經(jīng)驗法是根據(jù)專家的實(shí)際經(jīng)驗給出模糊信息的處理算式或者相應(yīng)的權(quán)系數(shù)值隸屬函數(shù)的一種方法。（4）二元對比排序法二元對比排序法是通過多個事物之間兩兩對比來確定某種特征下的順序，由此來確定這些失去對該特征的隸屬函數(shù)的大體形狀。模糊控制中的隸屬函數(shù)圖形大概有以下三大類：1、左大右小的偏小型下降函數(shù)（Z函數(shù)）2、左小右大的偏大型上升函數(shù)（S函數(shù)）3、對稱型凸函數(shù)（II函數(shù)）x01.0u(x)x01.0u(x)x01.0u(x)x01.0u(x)x01.0u(x)x01.0u(x)圖Z函數(shù)圖S函數(shù)xx01.0u(x)x01.0u(x)x01.0u(x)x01.0u(x)01.0u(x)圖II函數(shù)模糊補(bǔ)、并、交模糊補(bǔ)算子是滿足以下公理條件的連續(xù)函數(shù)N:[0,1]->[0,1]，即N(0)=1,N(1)=0;N(a)>N(b)，如果a<b;Sugeno補(bǔ)

Yager補(bǔ)模糊交算子：T為T范式算子

Ns(a)=(1-a)/(1+sa)Nw(a)=(1-aw)1/wT范式算子(交)T范式算子是一個兩變量函數(shù)T(.,.)滿足：

T(0,0)=0;T(a,1)=T(1,a)=a;(與精確集合兼容)T(a,b)<T(c,d),如果a<c且b<d;(A或B中隸屬度的減小不會導(dǎo)致A交B的隸屬度增大)T(a,b)=T(b,a);(與次序無關(guān)）T(a,T(b,c))=T(T(a,b),C)(任意次序，結(jié)合率);常見T范式極小Tmin(a,b)=min(a,b)代數(shù)積Tap(a,b)=ab有界積Tbp(a,b)=max(0,a+b-1)強(qiáng)積Tdp(a,b)=a,ifb=1;b,ifa=1;else0;

Tmin>=Tap=>Tbp=>Tdp(當(dāng)a和b中有一個為1,0時相等）T范式算子(交)a=trapezeoid(x;3,8,12,17)b=trapezeoid(x;3,8,12,17)T協(xié)范式模糊并算子通常由函數(shù)S：[0，1]*[0,1]--[0,1]來表示，記為：S范式算子是一個兩變量函數(shù)T(.,.)滿足：

S(1,1)=1;S(a,0)=S(0,a)=a;S(a,b)<S(c,d),如果a<c且b<d;S(a,b)=S(b,a);S(a,S(b,c))=S(S(a,b),c);常見S范式極大Tmax(a,b)=max(a,b),代數(shù)和Tap(a,b)=

a+b-ab有界積Tbp(a,b)=

min(1,a+b)強(qiáng)積Tap(a,b)=

T(a,b)=a,ifb=0;b,ifa=0;else1;Tmax=<Tap=<Tbp=<Tdp(當(dāng)a和b中有一個為0,1時相等）T協(xié)范式ExtensionPrinciple(擴(kuò)展原理)擴(kuò)展原理為精確域上的數(shù)字表達(dá)式擴(kuò)展到模糊域提供一個通道。Givenaformulaf(x)andafuzzysetAdefinedby,howdowecomputethemembershipfunctionoff(A)?Howthisisdoneiswhatiscalledtheextensionprinciple(ofprofessorZadeh).Whattheextensionprinciplesaysisthatf(A)=f(A()).Theformaldefinitionis:[f(A)](y)=supx|y=f(x){}例A=0.1/-2+0.4/-1+0.8/0+0.9/1+0.3/2;F(x)=x*x-3;B=0.1/1+0.4/-2+0.8/-3+0.9/-2+0.3/1;B=0.8/3+max(0.4,0.9)/-2+max(0.1,0.3)/1擴(kuò)展原理假設(shè)函數(shù)f是從笛卡爾積空間X1*X2…..Xn到一維空間Y的映射，并且A1,…,An分別是x1*x2…..xn的n個模糊集合，則擴(kuò)展原理表明由映射f導(dǎo)出模糊集合B的隸屬度函數(shù)為：

擴(kuò)展原理F(x)=(x-1)*(x-1)-1x>0;xx<0-1關(guān)系描寫事物之間聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型之一就是關(guān)系。如：例如x對y有余弦關(guān)系（y=cosx）；

a對b有大小次序關(guān)系（a>b）。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，關(guān)系常用集合來表現(xiàn)。在集合A與集合B中各取出一元素排列成序?qū)Γɑ蚍Q序偶），所有這樣的序?qū)?gòu)成的集合叫做A和B的直積集，記為：A×B＝{（a，b）|a∈A，b∈B}。序?qū)?a，b)是和順序有關(guān)的，即（a，b）≠（b，a），所以A×B≠B×A注意：關(guān)系是有向的模糊關(guān)系模糊關(guān)系是普通關(guān)系的推廣，普通關(guān)系只能描述元素間關(guān)系的有無，而模糊關(guān)系則描述元素之間關(guān)系的多少。在醫(yī)學(xué)上常用公式：體重B（公斤）=身高A（厘米）-100來表示標(biāo)準(zhǔn)體重，這就給出了身高A與體重B的普通關(guān)系，若A={140，150，160，170，180}B={40，50，60，70，80}身高與體重的普通關(guān)系如下表所示：但人胖瘦不同，對于非標(biāo)準(zhǔn)的情況，身高與體重的關(guān)系應(yīng)該以接近標(biāo)準(zhǔn)的程度來描述，這就導(dǎo)致產(chǎn)生如下表所示的模糊關(guān)系。顯然，它能更深刻、更完整地給出身高與體重的對應(yīng)關(guān)系模糊關(guān)系例二元模糊關(guān)系是X*Y上的模糊集合，將X*Y上的每個元素映射為0到1之間的隸屬度。定義設(shè)X和Y是兩個論域，則關(guān)系

R={((x,y),(x,y))}常見的二元關(guān)系x接近于y；（x,y是數(shù)字）

x取決于y；（x,y是事件）

x和y看上去很相似（x,y是人或物體)如x是大的，則y是小的(x是觀察到的數(shù)，Y為采取的行動推理）模糊關(guān)系：U、V是論域，則稱集合U×V＝{(u,v)|uU,vV}為笛 卡兒積，以U×V為域，設(shè)RF(U×V)，它的隸屬函數(shù)：就確定了從U到V的模糊關(guān)系記做：注意：關(guān)系是有向的當(dāng)U和V是有限的時候，可以用行表示U，列表示V則域U×V上的關(guān)系R可以表示為：1000.9100.90.80.5＝R張三李四王二麻張三李四王二麻模糊矩陣：設(shè)矩陣R=(rij)m×nrij[0,1]則稱R為模糊矩陣 特別當(dāng)rij{0,1}則稱R為布爾矩陣。例X=Y=R+，且R=“y遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于x”，R的隸屬度函數(shù)主觀定義為：如果x={3，4，5}，Y={3，4，5，6，7}則關(guān)系矩陣：

xy例如：當(dāng)U=V={張三、李四、王二麻}，則：U×V＝{(張三,張三),(張三,李四),(張三,王二麻),(李四,李四),(李四,張三),(李四,王二麻), (王二麻,王二麻),(王二麻,張三),(王二麻,李四)}

模糊關(guān)系R=(1,0,0,1,0.9,0,0.5,0.9,0.8)，表示三者之間的信任關(guān)系。張三王二麻李四

100010.50.90.90.81相等2包含3并4交5余R1:X與Y具有血緣關(guān)系；R2：X與Y具有兄弟關(guān)系，R3：X與Y同是某人的兒子模糊關(guān)系復(fù)合運(yùn)算在日常生活中，兩個單純關(guān)系的組合，可以構(gòu)一種新的合成關(guān)系。例如，有u,v,w三個人，若u是v的妹妹，而v又是w的丈夫，則與就是一種新的關(guān)系，即姑嫂關(guān)系。用關(guān)系式表示的話,可寫作姑嫂=兄妹*夫妻,其中是*合成運(yùn)算符。扎德所提出極大-極小復(fù)合模糊關(guān)系復(fù)合運(yùn)算極大-乘積復(fù)合例：R1=“x與y相關(guān)”R2=“y與z相關(guān)”X={1，2，3}，Y={y1,y2,y3,y4},Z={a,b}R1=R2=R3（2，a）=R1。R2（2，a）=極大-極小max(min(0.4,0.9),……min(0.9,0.7))R3（2，a）=R1。R2（2，a）=極大-乘積Max(0.4*0.9,………,0.9*0.7)X=2Z=a123y1y2y3y4ab0.40.20.80.90.90.20.50.7假設(shè)有兩個模糊關(guān)系的合成如下：則模糊關(guān)系P與模糊關(guān)系Q的合成為：

語言變量采用近似的方式采用模糊集合而不精確數(shù)字來表示和概括信息。（如年紀(jì)，身高，紅色）語言變量語言變量?？捎靡粋€有五個元素的集合(x,T(x),X,G,M)來表征，其中x是語言變量名；T(x)為語言變量x的語言值或語言術(shù)語集合；X為語言變量x的論域；G為產(chǎn)生T(x)中術(shù)語的句法規(guī)則，用于產(chǎn)生語言變量值的；M是賦予每個語言值A(chǔ)以含義M(A)的語法規(guī)則，即隸屬度函數(shù)。T(年紀(jì)）={年輕，不年輕，不很年輕,…,

中年，不是中年,…,

年老，非常年老,…,

不年輕也不老,….}語言變量T（年紀(jì)）中的每一個術(shù)語可表征為論域X=[0，100]上的模糊集合，通常我們用“年紀(jì)是青的”來表示給語言變量“年紀(jì)”賦以語言值“年輕“。相反，當(dāng)將年紀(jì)作為一個數(shù)值變量，使用表達(dá)式”年紀(jì)=20”來賦予數(shù)值變量“年紀(jì)”以數(shù)值20。語言變量句法規(guī)則：通過否定詞（不）或程度詞（非常、或多或少）來修飾幾個基本術(shù)語（年輕，年老，中年）來產(chǎn)生句法規(guī)則。壓縮與擴(kuò)張算子K>1,壓縮（很）；k<1,擴(kuò)張，有點(diǎn)為復(fù)合語言術(shù)語建立隸屬度函數(shù)或多或少有些年老（年老）0.5不年輕也不年老(-年輕)交(-年老)年輕但不是太年輕(年輕)交(-年輕)2特別年老年輕8對比增強(qiáng)算子作用隸屬度大于0.5，增大它；小于0.5，減少它我們定義A

為

x

值接近0的模糊集合一個語言運(yùn)算子的例子。

正交性論域X上的語言變量x的一個術(shù)語集合T=t1,…,tn是正交，如果滿足下列性質(zhì)如T1=A，T2=Ac正交性（例）傳統(tǒng)命題邏輯的推理傳統(tǒng)的命題邏輯中，命題的“真”和“假”必須具有意義。邏輯推理就是給定一個命題，組合成另一個命題的過程。組合的基本操作：1）合取Conjunction,,“交”條件2）析取Disjunction,“并”3）隱含Implication,“ifthen”逆操作Inversion5)等效關(guān)系Equivalence，“p即q”。傳統(tǒng)命題邏輯的推理模糊命題模糊命題：具有模糊性的陳述句。用大寫字母表示;模糊命題變量：一個模糊命題可以看作是在[0,1]取值的變量,稱之為模糊命題變量，簡稱模糊變量，常以小寫字母x,y,z表示。命題的運(yùn)算命題的運(yùn)算（命題聯(lián)結(jié)詞）：合取、析取、取否、 蘊(yùn)涵、等價 。一般前 三項為最大、最小和補(bǔ)運(yùn)算，也可以為*和*。模糊if-then規(guī)則模糊規(guī)則是對自然或人工語言中的單詞和句子定量建模的有效工具。通過將模糊規(guī)則理解為恰當(dāng)?shù)哪：P(guān)系，可以研究不同的方案。模糊if-then規(guī)則模糊規(guī)則也稱模糊隱含，模糊條件句，一般如：

ifx是A，theny是B。其中A和B分別是論域X和Y上的模糊集合定義的語言值。如：如果壓力高，則容量?。蝗绻坊?，則駕車危險；西紅柿是紅的，則它熟啦；如果速度快，則略為剎車；在使用模糊規(guī)則對系統(tǒng)進(jìn)行分析和建模之前，必須將“ifx是A，theny是B”的意義形式化?；旧希@個規(guī)則描述的是兩個變量x，y之間的關(guān)系；即模糊規(guī)則可以定義為乘積空間X*Y上的二元模糊關(guān)系R，一般來講有兩種理解方法.模糊if-then規(guī)則的理解方法即，則可寫出四種不同格式(T范式,交)：ABABTTTTTTFFFFFTTTTFFTTT蘊(yùn)含AB與或是等效的(！AUB)我們可以將模糊規(guī)則視為模糊蘊(yùn)含，將明確運(yùn)算子“”、“”、以及“ˉ”分別用模糊并集、模糊交集、以及模糊補(bǔ)集取代即可。至于如何看待這種模糊蘊(yùn)涵或模糊關(guān)系，則有各種不同的作法，以下是一些常用的型式：

Dienes-RescherImplication:LukasieweiczImplication:ZadelImplication:GodelImplication:在各類T范式和T協(xié)范式算子基礎(chǔ)上，可以得到若干計算模糊關(guān)系R=AB的方法，可以看出R可以看作具有二維MF函數(shù)的模糊集合：

模糊推理模糊推理也稱近似推理，是從模糊規(guī)則if-then規(guī)則和已知事實(shí)中得出結(jié)論的推理過程，如

如果西紅柿是紅的，則它熟啦.如果西紅柿有點(diǎn)紅？西紅柿有點(diǎn)熟。x為A’(前提1)y為B’(結(jié)論)準(zhǔn)則p1準(zhǔn)則p2準(zhǔn)則p3準(zhǔn)則p4x為Ax為非常Ax為差不多Ax為非Ay為By為非常By為差不多By為未知1）一維模糊集合的圓柱擴(kuò)展2）模糊集合的投影推理規(guī)則復(fù)合模糊集合A

的柱狀擴(kuò)充C(A)的隸屬函數(shù)是模糊集合C(A)R

的隸屬函數(shù)是將C(A)R投影至Y

上，可得此式就是所謂的推理的合成規(guī)則

RABC(A)YX推理復(fù)合規(guī)則傳統(tǒng)的推理傳統(tǒng)的推理屬于假言推理，即可以從A的真實(shí)性和隱含關(guān)系A(chǔ)-〉B推得命題B的真實(shí)性。然而，人類推理的大多情況是近似的方式應(yīng)用假言推理，即假定有相同的隱含規(guī)則“如果西紅柿是紅的，則它是熟的”，而且已知“西紅柿或多或少有些紅”，則可推的“西紅柿或多或少有點(diǎn)熟“。則可寫作為：其中A/接近于A，B/接近于B。當(dāng)A，B，A/都是適當(dāng)論域的模糊集合時，前面的推理過程稱為近似推理或模糊推理。也稱廣義假言推理。模糊推理設(shè)A，A/和B分別是X，X和Y上的模糊集合，模糊隱含A--->B表示X*Y上的模糊關(guān)系R，則由“x是A/”和模糊規(guī)則“如果X是A，則Y是B”導(dǎo)出的模糊集合B/定義為：

對于單一前件的單一規(guī)則模糊推理對于多個前件的單一規(guī)則具有兩個前件的模糊if-then規(guī)則通常寫為“如果x是A，y是B，則z是C”，GMP（廣義假言推理）相應(yīng)的問題為：前提1（事實(shí)）x是A/，y是B/

前提2（規(guī)則）如果x是A，y是B，則z是C后件（結(jié)論）z是C/。2.多前提單規(guī)則上式的前半部分稱為激勵程度或滿足度，表示前件部分被滿足的程度。3)多前提多規(guī)則隸屬函數(shù)的計算：模糊推理前兩部分稱為激勵強(qiáng)度和飽和度，表示規(guī)則前件部分被滿足的程度。模糊推理過程可分為四步

1.計算匹配度2.計算激勵度（某個規(guī)則激勵程度）3.對規(guī)則的后件作用激勵強(qiáng)度，生成有效的后件的MF表示在一個模糊隱含句中4.綜合所有的有效后件，求得總輸出MF模糊推理系統(tǒng)模糊推理系統(tǒng)是建立在模糊集合理論，模糊if-then規(guī)則和模糊推理等概念基礎(chǔ)之上的先進(jìn)的計算框架。模糊推理系統(tǒng)包括三部分：規(guī)則庫；數(shù)據(jù)庫，所有隸屬度函數(shù)；推理機(jī)制。模糊推理系統(tǒng)★單點(diǎn)模糊化★非單點(diǎn)模糊化去模糊化通過模糊推理得到的結(jié)果是一個模糊集合或者隸屬函數(shù)，但在實(shí)際應(yīng)用中，特別是在模糊邏輯控制中，必須要用一確定的值才能去控制實(shí)際的系統(tǒng)。在推理得到的模糊集合中取一個相對最能代表這個模糊集合的單值的過程就稱作解模糊判決，也稱清晰化計算。解模糊判決通常有下述幾種方法，不同的方法所得到的結(jié)果也是不同的。理論上用重心法比較合理，但是計算比較復(fù)雜，故在實(shí)時性要求高的系統(tǒng)不采用這種方法。最簡單的方法是最大隸屬度方法，這種方法取所有模糊集合或者隸屬函數(shù)中隸屬度最大的那個值作為輸出，但是這種方法未顧及其它隸屬度較小的那些值的影響，代表性不好，所以它經(jīng)常用于簡單的系統(tǒng)。介于這兩者之間的還有各種平均法：如加權(quán)平均法、隸屬度限幅元素平均法等。重心法所謂重心法(centerofgrevity,簡稱COG)就是取模糊隸屬度函數(shù)曲線與橫坐標(biāo)軸圍成面積的重心作為代表點(diǎn)。理論上說，我們應(yīng)該計算輸出范圍內(nèi)一系列連續(xù)點(diǎn)的重心，即：

面積等分法面積等分法滿足：

其中極大平均法極大平均法ZMOM：ZMOM使MF達(dá)到極大值的z的平均值：其中極大最小法與極大最大法極大最小法ZSOM：ZSOM使得隸屬度函數(shù)極大化的最小的z。極大最大法ZLOM：ZLOM使得隸屬度函數(shù)極大化的最大的z。去模糊化圖示例1一個具有三條規(guī)則的單輸入，如果x小則y?。蝗绻鹸中則y中；如果x大則y大。使用極大極小復(fù)合和中心去模糊化例1例2兩輸入規(guī)則：如果X小y小則Z負(fù)大。如果X小y大則Z負(fù)小。如果X大y小則Z正小。如果X大y大則Z正大。例2使用極大極小復(fù)合和中心去模糊化例2FuzzyLogicSystemThesubway(地鐵)inSendai(仙臺),JapanusesafuzzylogiccontrolsystemdevelopedbySerjiYasunobuofHitachi(日立).Ittook8yearstocompleteandwasfinallyputintousein1987.ControlSystemBasedonrulesoflogicobtainedfromtraindriverssoastomodelrealhumandecisionsascloselyaspossible(通過向火車司機(jī)學(xué)習(xí)，來獲得和人類決策盡可能相同的決策規(guī)則)Task:Controlsthespeedatwhichthetraintakescurvesaswellastheaccelerationandbrakingsystemsofthetrain(控制火車在轉(zhuǎn)彎時的速度,以及加速和停車時的速度).模糊控制過程要實(shí)現(xiàn)語言控制的模糊邏輯控制器，就必須解決三個基本問題:

第一:先通過傳感器把要監(jiān)測的物理量變成電量，再通過模數(shù)轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換成模糊集合的隸屬函數(shù)，這一步就稱為精確量的模糊化或者模糊量化，其目的是把傳感器的輸入轉(zhuǎn)換成知識庫可以理解和操作的變量格式。

第二:根據(jù)有經(jīng)驗的操作者或者專家的經(jīng)驗定出模糊控制規(guī)則，并進(jìn)行模糊邏輯推理，以得到一個模糊輸出集合即一個新的模糊隸屬函數(shù)，這一步稱為模糊控制規(guī)則形成和推理，其目的是用模糊輸入值去適配控制規(guī)則，為每一個控制規(guī)則確定其適配的程度，并且通過加權(quán)計算合并那些規(guī)則的輸出。

第三:根據(jù)模糊邏輯推理得到的輸出模糊隸屬函數(shù)，用不同的方法找一個具有代表性的精確值作為控制量，這一步稱為模糊輸出量的解模糊判決；其目的是把分布范圍概括合并成單點(diǎn)的輸出值，加到執(zhí)行器上實(shí)現(xiàn)控制。模糊控制器基本結(jié)構(gòu)ut是被控對象的輸入，yt是被控對象的輸出，st是參考輸入，et=st-yt是誤差。它根據(jù)誤差信號et產(chǎn)生合適的控制作用ut，輸出給被控對象。模糊化接口一.模糊化接口（Fuzzification）這部分的作用是將輸入的精確量轉(zhuǎn)化成模糊化量。其中輸入量包括外界的參考輸入，系統(tǒng)的輸出或狀態(tài)等。模糊化的具體過程如下：（1）首先對這些輸入量進(jìn)行處理以變成模糊控制器要求的輸入量。（2）將上述已經(jīng)處理過的輸入量進(jìn)行尺度變換，使其變換到各自的的論域范圍。（3）將已經(jīng)變換到論域范圍的輸入量進(jìn)行模糊處理，使原先精確的輸入量變成模糊量，并用相應(yīng)的模糊集合來表示知識庫知識庫中包含了具體應(yīng)用領(lǐng)域中的知識和要求的控制目標(biāo)。它通常由數(shù)據(jù)庫和模糊控制規(guī)則庫兩部分組成。（1）數(shù)據(jù)庫主要包括各語言變量的隸屬度函數(shù)，尺度變換因子以及模糊空間的分級數(shù)等。（2）規(guī)則庫包括了用模糊語言變量表示的一系列控制規(guī)則。他們反映了控制專家的經(jīng)驗和知識。模糊推理模糊推理是模糊控制器的核心，它具有模擬人的基于模糊概念的推理能力。該推理過程是基于模糊邏輯中的蘊(yùn)含關(guān)系及推理規(guī)則來進(jìn)行的解模糊接口清晰化（解模糊接口）清晰化的作用是將模糊推理得到的控制量（模糊量）變換為實(shí)際用于控制的清晰量。它包含以下兩部分內(nèi)容：（1）將模糊的控制量經(jīng)清晰化變換變成表示在論域范圍的清晰量。（2）將表示在論域范圍的清晰量經(jīng)尺度變換變成實(shí)際的控制量。裝卸站臺舉例：貨車倒車

S3

S2

S3

S3

S3

B1

S1

S2

S3

S2

B2

B2

CE

S2

S2

B2

B3

B2

B1

S1

B3

B3

B3

B2

B3

B2S2S3S2S3CEB1B2B3S2S1CEB1B2規(guī)則：x=6x=14數(shù)！必須規(guī)定它們的隸屬函和對于輸入xjx=6x=14推理舉例:max-min乘積總的輸出模糊集合Clustering(聚類）REMARKS:(1)Thedataset,inthecaseofstudentswouldincludesuchthingsasage,school,incomeofparents,numberofyearsasstudent,maritalstatus數(shù)據(jù)集

(2)Classicalclusteranalysiswouldpartitionthesetofstudent(withrespecttotheircharacteristics;thatis,theitemsinthedataset)intodisjointsetsPisothatwewouldhave:Whatdoes“similar”mean?LeastsquareddifferenceMaximumpair-wisedistanceHowmanyclasses“should”therebe?Sometimestheproblemwilldictate;e.g.,classifyinglettersor