數(shù)值計算課件-第五章數(shù)值積分和微分1

第五章數(shù)值積分和數(shù)值微分——函數(shù)無解析表達(dá)式或表達(dá)式過于復(fù)雜時定積分問題的數(shù)值解法主要內(nèi)容導(dǎo)數(shù)或微分?jǐn)?shù)值計算華長生制作1傳統(tǒng)方法的困境數(shù)值積分的基本思想數(shù)值積分的一般形式代數(shù)精度問題求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分

是微積分學(xué)中的基本問題。

§5.1數(shù)值積分概述華長生制作2對于積分但是在工程技術(shù)和科學(xué)研究中,常會見到以下現(xiàn)象:傳統(tǒng)方法的困境華長生制作3以上這些現(xiàn)象,Newton-Leibniz很難發(fā)揮作用!只能建立積分的近似計算方法--------數(shù)值積分正是為解決這樣的困難而提出來的，不僅如此，數(shù)值積分也是微分方程數(shù)值解法的工具之一。華長生制作4數(shù)值積分的基本思想

數(shù)值積分----指計算定積分近似值的各種計算方法。常用一個簡單函數(shù)代替原來的復(fù)雜函數(shù)求積分。

從幾何上看，就是計算曲邊梯形面積的近似值。

最簡單的辦法，是用直線、拋物線等代替曲邊，使得面積容易計算。華長生制作5f(x)abf(a)f(x)abf(x)abf(b)f(a)(a+b)/2左矩公式中矩公式梯形公式用直線代替曲邊華長生制作6拋物線公式用拋物線代替曲邊又稱辛普森公式數(shù)值積分的一般形式

正是由于權(quán)系數(shù)的構(gòu)造方法不同，從而決定了數(shù)值積分的不同方法。

上述的近似求積公式都是取[a,b]上若干點處的高度通過加權(quán)后再進行求和得到積分的近似值，寫成一般形式：或?qū)憺椋浩渲校?/p>

----

稱為求積節(jié)點

Ak----稱為節(jié)點xk上的權(quán)系數(shù)。----是函數(shù)f(x)在節(jié)點xk上的函數(shù)值，

----稱為求積公式的截斷誤差或余項。華長生制作8利用插值多項式來構(gòu)造數(shù)值求積公式,具體步驟如下:不同的插值方法有不同的基函數(shù)插值型求積公式思路利用插值多項式則積分易算。以拉格朗日插值多項式為例華長生制作9Ak由決定，與無關(guān)。節(jié)點

f(x)稱為求積系數(shù)。定義其系數(shù)，為拉各朗日插值基函數(shù)

這種求積公式稱為插值型積分公式華長生制作10插值型的求積公式余項

為了保證數(shù)值求積公式的精度,我們自然希望求積公式能夠?qū)ΡM可能多的函數(shù)f(x)都準(zhǔn)確成立,這在數(shù)學(xué)上常用代數(shù)精度這一概念來說明。插值型的求積公式余項華長生制作11解：逐次檢查公式是否精確成立代入f(x)=1：=代入f(x)=x：=代入f(x)=x2：例：對于[a,b]上1次插值，有考察時其求積誤差。梯形公式因此梯形公式只對一次多項式精確成立。華長生制作12代數(shù)精度定義如果某個求積公式對于次數(shù)不超過m的一切多項式都準(zhǔn)確成立,而對某個m+1次多項式并不準(zhǔn)確成立，則稱該求積公式的代數(shù)精度為m。顯然，梯形公式與中矩形公式均具有一次代數(shù)精度。一般來說，代數(shù)精度越高，求積公式越精確。定理對于n+1節(jié)點的插值型求積公式至少具有n次代數(shù)精度。代數(shù)精度華長生制作13例試確定下面積分公式中的參數(shù)使其代數(shù)精確度盡量高.解:華長生制作14因此所以該積分公式具有3次代數(shù)精確度

華長生制作15§5.2

牛頓－柯特斯求積公式Newton-Cotes公式是指等距節(jié)點下使用Lagrange插值多項式建立的數(shù)值求積公式各節(jié)點為一、公式推導(dǎo)：，以此分點為節(jié)點,構(gòu)造出的插值型求積公式。

牛頓－柯特斯求積公式華長生制作16注意是等距節(jié)點華長生制作17所以Newton-Cotes公式為Cotes系數(shù)注：Cotes系數(shù)僅取決于n和k，可查表得到。與f(x)及區(qū)間[a,b]均無關(guān)。華長生制作18二、低階Newton-Cotes公式及其余項在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4時的公式是最常用也最重要三個公式,稱為低階公式(1).梯形公式及其余項Cotes系數(shù)為低階Newton-Cotes公式及其余項華長生制作19上式即為梯形求積公式,也稱兩點公式，記為梯形公式的余項為求積公式為華長生制作20廣義積分中值定理故華長生制作21(2).

辛卜生公式及其余項Cotes系數(shù)為求積公式為華長生制作22上式稱為辛卜生求積公式，也稱三點公式或拋物線公式記為Simpson公式的余項為華長生制作23(3).柯特斯公式上式特別稱為柯特斯求積公式，也稱五點公式柯特斯系數(shù)可由柯特斯系數(shù)表得到（P153）。由此可以得到任意階數(shù)的牛頓－柯特斯求積公式。但實際計算時一般不用高階的公式，因為高次插值有Runge現(xiàn)象。華長生制作24由此可自然會得出以下結(jié)論：梯形規(guī)則簡單，有1階代數(shù)精度；再增加一個節(jié)點，就是具有3階代數(shù)精度的辛卜生規(guī)則；三、牛頓－科特斯公式的代數(shù)精度牛頓－科特斯公式實際上是插值求積公式，因此n階牛頓－科特斯公式至少有n次代數(shù)精度。由于牛頓－科特斯公式是等距插值，因此，有定理：當(dāng)n為偶數(shù)時，牛頓－科特斯公式有n＋1次代數(shù)精度。華長生制作25四、復(fù)化求積法直接使用Newton-Cotes公式的余項將會較大。公式的舍入誤差又很難得到控制為了提高公式的精度,往往使用復(fù)化求積法。然后在每個小區(qū)間上使用低階Newton-Cotes公式最后將每個小區(qū)間上的積分的近似值相加復(fù)化求積法華長生制作26復(fù)化梯形公式：在每個上用梯形公式：=

Tn/*中值定理*/復(fù)合梯形公式華長生制作27復(fù)化Simpson公式：44444=

Sn復(fù)化Simpson公式華長生制作28求積公式的余項比較我們知道,兩個求積公式的余項分別為單純的求積公式復(fù)化求積公式的每個小區(qū)間復(fù)化求積公式精度提高。華長生制作29復(fù)化求積法通過將積分區(qū)間分成n等份，來減小截斷誤差，因此n越大積分精度越高。但n太大，運算量也增大，舍入誤差也增大；n太小，精度可能達(dá)不到。如何確定適當(dāng)?shù)?使得計算結(jié)果達(dá)到預(yù)選給定的精度要求呢？在實際計算中,常采用積分步長的自動選擇。具體地講,就是在求積過程中,將步長逐次折半,反復(fù)利用復(fù)合求積公式,直到相鄰兩次的計算結(jié)果之差的絕對值小于允許誤差為止。這實際上是一種事后估計誤差的方法——變步長求積算法?！?.3變步長求積和龍貝格算法問題§5.3變步長求積和龍貝格算法華長生制作305.3.1變步長梯形求積法

對于復(fù)合梯形公式，若將積分區(qū)間[a,b]n等分,積分近似值記為Tn,積分精確值記為I,則有:把每個子區(qū)間分半,也就是將積分區(qū)間[a,b]2n等分,則有則有當(dāng)在連續(xù),且函數(shù)值變化不大時,即有給定求積精度，如何取n?5.3.1變步長梯形求積法31可用來判斷迭代是否停止。變步長梯形法計算過程

⑴⑵32⑶可以看到,每次都是在前一次的基礎(chǔ)上將子區(qū)間再對分。原分點上的函數(shù)值不需要重復(fù)計算,只需計算新分點上的函數(shù)值即可,一般地計算公式為：33由上節(jié)變步長梯形公式得到的積分近似值的誤差大致是,因此人們期望,如果用這個誤差作為對

的一種補償,則得到的求積公式的代數(shù)精度會有所提高。（1）5.3.2

龍貝格公式龍貝格算法是在復(fù)化梯形公式誤差估計的基礎(chǔ)上，應(yīng)用線性外推的方法構(gòu)造出的加速算法。5.3.2龍貝格公式34通過直接驗證可知也就是說,用梯形公式二分前后的兩個積分值

與

按照公式(1)做線形組合,其結(jié)果正好是用拋物線公式得到的積分值

。(2)即35同理可知,用拋物線公式得到的積分近似值

的誤差大致是,因此對拋物線公式進行修正,得到(3)也就是說,用拋物線公式二分前后的積分值

與

按照公式(3)作線形組合,其結(jié)果正好是用柯特斯公式得到的積分值

。通過直接驗證可知(4)36同理可知，用柯特斯公式得到的積分近似值

的誤差大致是,因此,對柯特斯公式進行修改,得到求積公式(5)為此,構(gòu)造求積公式(6)稱(6)式為龍貝格(Romberg)公式。37龍貝格公式是一種計算積分的方法。在變步長的求積過程中,運用(2),(4),(6)式可以將精度低的梯形值逐步加工成精度較高的拋物線,柯特斯值與龍貝格值?？傊校篟omberg序列38計算f(a),f(b),算出

。

(2)把[a,b]2等分,計算,算出

與

。(3)把[a,b]4等分,計算

算出

與

。龍貝格求積的計算步驟如下：39(4)把[a,b]8等分,計算

算出

與

與

。(5)把[a,b]16等分,計算算出

與

與,繼續(xù)重復(fù)進行,直到

時停止計算,就是所求的積分值.(允許誤差)40Romberg算法：<?<?<?………………

T1=)0(0T

T8=)3(0TT4=)2(0T

T2=)1(0T

S1=)0(1T

R1=)0(3T

S2=)1(1T

C1=)0(2T

C2=)1(2T

S4=)2(1TRomberg算法41要求熟練掌握的內(nèi)容：能靈