多普勒激光冷卻與光學(xué)蜜糖

理論題2多普勒激光冷卻與光學(xué)蜜糖本題的目的是要發(fā)展一個(gè)簡(jiǎn)單的理論來(lái)理解所謂的“激光冷卻”和“光學(xué)蜜糖”現(xiàn)象。這一現(xiàn)象是指一束中性原子，以堿金屬最為典型，被相向傳播的同頻率激光冷卻。1997年朱隸文、菲利普斯和庫(kù)恩－坦努吉就因此工作獲諾貝爾獎(jiǎng)。上圖展示了被捕捉在三個(gè)正交的相向傳播的激光束對(duì)交叉點(diǎn)的鈉原子（中心的亮點(diǎn)）。由于耗散性的光學(xué)力與在蜜糖中運(yùn)動(dòng)的物體所受的粘滯阻力類似，捕捉區(qū)域被稱為“光學(xué)蜜糖”。在本題中，你要分析一個(gè)光子入射到一個(gè)原子時(shí)的相互作用和一維的耗散機(jī)制。I．激光冷卻基礎(chǔ)考慮一個(gè)質(zhì)量為的原子以速度沿方向運(yùn)動(dòng)。為簡(jiǎn)單起見，我們考慮一維問(wèn)題，即我們將不考慮和方向（見圖1）。此原子有兩個(gè)內(nèi)部能級(jí)。低能級(jí)稱基態(tài)，能量取為零，高能級(jí)稱激發(fā)態(tài)，能量記為，這里。原子最初處于基態(tài)。在實(shí)驗(yàn)室參考系中頻率為的一束激光沿方向照到所討論的原子上。按量子力學(xué)的觀點(diǎn)，此激光由大量的能量為，動(dòng)量為的光子組成。原子可以吸收一個(gè)光子，隨后又自發(fā)地發(fā)射一個(gè)光子，發(fā)射的光子沿和方向的概率相等。因?yàn)樵拥倪\(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速，即，（是光速），再考慮到，即，原子的動(dòng)量遠(yuǎn)大于單個(gè)光子的動(dòng)量，你的結(jié)果只需保留到和的一次項(xiàng)。圖1一個(gè)質(zhì)量為，速度沿方向的原子與頻率為，動(dòng)量為的光子碰撞的示意圖。原子有兩個(gè)能量差為的內(nèi)部能級(jí)。假定激光的頻率被調(diào)到，在運(yùn)動(dòng)的原子看來(lái)，該頻率激光正好能與原子的兩個(gè)內(nèi)部能級(jí)間發(fā)生躍遷共振?；卮鹣铝袉?wèn)題：1.吸收1a寫出光子共振吸收的條件0.21b寫出吸收光子后實(shí)驗(yàn)室參考系中原子動(dòng)量的表達(dá)式。0.21c寫出吸收光子后實(shí)驗(yàn)室參考系中原子總能的表達(dá)式0.22.沿方向自發(fā)發(fā)射一個(gè)光子在某些時(shí)候，吸收上述光子后，原子會(huì)沿方向發(fā)射一個(gè)光子。2a寫出實(shí)驗(yàn)室參考系中看到的沿方向發(fā)射的光子的能量。0.22b寫出實(shí)驗(yàn)室參考系中看到的沿方向發(fā)射的光子的動(dòng)量。0.22c寫出沿方向發(fā)射一個(gè)光子后,實(shí)驗(yàn)室參考系中觀察到的原子動(dòng)量。0.22d寫出沿方向發(fā)射一個(gè)光子后,實(shí)驗(yàn)室參考系中觀察到的原子總能量。0.23.沿方向自發(fā)發(fā)射一個(gè)光子在某些時(shí)候，吸收上述光子后，原子會(huì)沿方向發(fā)射一個(gè)光子。3a寫出實(shí)驗(yàn)室參考系中看到的沿方向發(fā)射的光子的能量。0.23b寫出實(shí)驗(yàn)室參考系中看到的沿方向發(fā)射的光子的動(dòng)量。0.23c寫出沿方向發(fā)射一個(gè)光子后,實(shí)驗(yàn)室參考系中觀察到的原子動(dòng)量。0.23d寫出沿方向發(fā)射一個(gè)光子后,實(shí)驗(yàn)室參考系中觀察到的原子總能量。0.24.吸收后的平均發(fā)射沿和方向發(fā)射一個(gè)光子的概率相等?；诖耍卮鹑缦聠?wèn)題：4a寫出所發(fā)射光子的平均能量。0.24b寫出所發(fā)射光子的平均動(dòng)量。0.24c寫出發(fā)射光子后原子的平均總能。0.24d寫出發(fā)射光子后原子的平均動(dòng)量。0.25.能量和動(dòng)量轉(zhuǎn)移如上所述，對(duì)一個(gè)完整的單光子吸收－發(fā)射過(guò)程，在激光輻射與原子間存在一個(gè)凈的平均動(dòng)量和能量轉(zhuǎn)移。5a寫出經(jīng)歷一個(gè)完整的單光子吸收－發(fā)射過(guò)程后，原子能量的平均變化量。0.25b寫出經(jīng)歷一個(gè)完整的單光子吸收－發(fā)射過(guò)程后，原子動(dòng)量的平均變化量。0.26.沿方向傳播的激光造成的能量動(dòng)量轉(zhuǎn)移現(xiàn)在考慮一束頻率為的激光沿方向照到原子上，而原子依然以速度沿方向運(yùn)動(dòng)。假定，在原子參考系看來(lái)，激光頻率與原子內(nèi)部能級(jí)間躍遷的共振條件依然滿足?；卮鹣铝袉?wèn)題：6a寫出經(jīng)歷一個(gè)完整的單光子吸收－發(fā)射過(guò)程后，原子能量的平均變化量。0.36b寫出經(jīng)歷一個(gè)完整的單光子吸收－發(fā)射過(guò)程后，原子動(dòng)量的平均變化量。0.3II.耗散與光學(xué)蜜糖的基礎(chǔ)然而，量子過(guò)程中總是存在不確定性。因此，由原子在吸收一個(gè)光子后的有限時(shí)間內(nèi)會(huì)發(fā)射一個(gè)光子可以推斷，前面討論的共振條件不一定要嚴(yán)格滿足。即，激光束的頻率和為任意值時(shí)吸收－發(fā)射過(guò)程依然能夠發(fā)生。當(dāng)然，這些過(guò)程發(fā)生的概率會(huì)不同。顯然，當(dāng)共振條件得到嚴(yán)格滿足時(shí)發(fā)生的概率最大。平均說(shuō)來(lái)，吸收到發(fā)射間經(jīng)歷的時(shí)間被稱作原子的激發(fā)能級(jí)的壽命，用表示?？紤]個(gè)相對(duì)于實(shí)驗(yàn)室參考系靜止的原子的集合，有頻率為的激光束照到它們上。原子不斷地吸收和發(fā)射光子，平均說(shuō)來(lái)，有個(gè)原子處于激發(fā)態(tài)（因而，有個(gè)原子處于基態(tài)）。經(jīng)過(guò)量子力學(xué)計(jì)算可以得到下列結(jié)果：這里，是原子躍遷的共振頻率，是所謂的拉比頻率，正比于激光束的強(qiáng)度。正如前面提到過(guò)的，即使激光頻率與原子的共振頻率不等，也不為零。上面結(jié)果的另一種表達(dá)方式是：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)發(fā)生吸收－發(fā)射過(guò)程的數(shù)目為?？紤]圖2所描述的物理情形，兩束頻率相同但頻率任意的相向傳播激光照射到包含個(gè)原子，以速度沿方向運(yùn)動(dòng)的原子氣上。圖2兩束頻率相同但頻率任意的相向傳播激光照射到包含個(gè)原子，以速度沿方向運(yùn)動(dòng)的原子氣上。7.激光作用到原子束上的力7a依照到目前為止得到的知識(shí)，給出激光作用到原子束上的力。你應(yīng)該假定。1.58.低速極限現(xiàn)在假定原子的速度足夠小，使得你可以將力的表達(dá)式展開到的一階項(xiàng)。8a在此極限下，給出“7a”中力的表達(dá)式。1.5利用此結(jié)果，你可以給出利用激光輻照使原子加速、減速和根本不對(duì)原子產(chǎn)生影響的條件。8b寫出得到一個(gè)正作用力（即，使原子加速）的條件。0.258c寫出作用力為零的條件。0.258d寫出得到一個(gè)負(fù)作用力的條件（使原子減速）0.258e現(xiàn)在考慮原子以速度（沿方向）運(yùn)動(dòng)。寫出得到使原子減速的力的條件。0.259.光學(xué)蜜糖在負(fù)作用力的條件