數(shù)學文化第四講斐波那契數(shù)列與黃金分割

斐波那契數(shù)列與黃金比不是缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)美!古今中外許多著名的數(shù)學家都曾以其親身感受對這個問題有過深刻的論述，認為數(shù)學不僅與美學密切相關，而且數(shù)學中充滿著美的因素，到處閃現(xiàn)著美的光輝。英國著名數(shù)理邏輯學家羅素指出：“數(shù)學，如果正常地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正如雕塑的美,是一種冷而嚴肅的美?！蔽覈麛?shù)學家徐利治教授指出：“數(shù)學園地處處開放著美麗花朵，它是一片燦爛奪目的花果園，這片花果園正是按照美的追求開拓出來的?！笔腌娂訑?shù)請用十秒，計算出左邊一列數(shù)的和。

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+ 2584 ????時間到！答案是6710。一、斐波那契數(shù)列1、斐波那契的生平

斐波那契（Fibonacci1170~1250）13世紀意大利最杰出的數(shù)學家。斐波那契的父親為比薩的商人，他認為數(shù)學是有用的，因此送斐波那契向阿拉伯教師們學習數(shù)學，并掌握了印度數(shù)碼之一新的記數(shù)體系，后來游歷埃及、敘利亞、希臘、西西里、法國等地，掌握了不同國家和地區(qū)商業(yè)的算術體系。1200年左右回到出生地——比薩，潛心研究數(shù)學，于1202年寫成名著《算盤全集》。該書廣為流傳，為印度——阿拉伯數(shù)碼在歐洲流傳起了重要的作用。除了扮演傳播印度數(shù)學——阿拉伯數(shù)字的角色，斐波那契在數(shù)學中的貢獻也是非常大的。除了《算盤全集》外，另有《幾何實用》（1220），《平方數(shù)書》（1225），是專門討論二次丟番圖方程式的。書中最有創(chuàng)造性的工作應是同余數(shù)，該書使斐波那契成為在數(shù)論史中，貢獻介于丟番圖和費爾馬之間。然而，現(xiàn)代數(shù)學家之所以會知道他的名字，并非因為他在數(shù)學上的成就，而是得知于斐波那契數(shù)列。這是在1228年修訂《算盤全集》時增加的膾炙人口的“兔子問題”（簡稱為斐氏數(shù)列）。2、兔子數(shù)列如果每對兔子（一雄一雌）每月能生殖一對小兔子（也是一雄一雌，下同），每對兔子第一個月沒有生育能力，但從第二個月以后便能每月生一對小兔子。假定這些兔子都不發(fā)生死亡現(xiàn)象，那么從一對剛出生的兔子開始，一年之后會有多少對兔子呢？解答

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7月 13對解答可以將結果以列表形式給出：1月2月3月5月4月6月7月8月9月11月10月12月1123581321345589144因此，斐波那契問題的答案是144對。此數(shù)列有下述遞推公式：

u1=1，u2=1，un=un-1+un-2，n>2．斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，???上述數(shù)列中的每一個數(shù)稱為斐波那契數(shù)．用數(shù)學歸納法，可推得斐波那契數(shù)列的通項公式：斐波那契數(shù)列的美妙性質☆隨著項數(shù)的增加，前一項與后一項之比越逼近黃金分割0.6180339887……☆從第二項起，每個奇數(shù)項的平方都比前后兩項之積多1，每個偶數(shù)項的平方都比前后兩項之積少1?！钋皀個斐氏數(shù)加起來再加1，就等于第n+2個斐氏數(shù)。☆相鄰兩個數(shù)的平方和也是一個斐波那契數(shù)，且腳標恰為前兩者腳標之和。11 2358132134 5589144…“十秒鐘加數(shù)”的秘密數(shù)學家發(fā)現(xiàn)：連續(xù)

10個斐波那契數(shù)之和，必定等于第7個數(shù)的11倍！

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2111=231“十秒鐘加數(shù)”的秘密又例如：右式的答案是：

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61011=6710斐波那契協(xié)會和《斐波那契季刊》斐波那契1202年在《算盤書》中從兔子問題得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，…之后，并沒有進一步探討此序列，并且在19世紀初以前，也沒有人認真研究過它。沒想到過了幾百年之后，十九世紀末和二十世紀，這一問題派生出廣泛的應用，從而突然活躍起來，成為熱門的研究課題。

有人比喻說，“有關斐波那契數(shù)列的論文，甚至比斐波那契的兔子增長得還快”，以致1963年成立了斐波那契協(xié)會，還出版了《斐波那契季刊》。

數(shù)學的各個領域常常奇妙而出乎意料地聯(lián)系在一起．斐波那契數(shù)列是從兔子問題中抽象出來的，如果它在其它方面沒有應用，它就不會有強大的生命．發(fā)人深省的是，斐波那契數(shù)列確實在許多問題中出現(xiàn)．3、斐波那契數(shù)列趣話A、自然界中花朵的花瓣中存在斐氏數(shù)列特征生物學家們發(fā)現(xiàn)，花瓣數(shù)是極有特征的。多數(shù)情況下，花瓣的數(shù)目都是3，5，8，13，21，34，55，89，144……例如：百合花有3瓣花瓣，至良屬的植物有5瓣花瓣，許多翠雀屬植物有8瓣花瓣，萬壽菊的花瓣有13瓣，紫鶯屬的植物有21瓣花瓣……向日葵花盤內葵花子排列的螺線數(shù)．向日葵花盤內，種子是按對數(shù)螺線排列的，有順時針轉和逆時針轉的兩組對數(shù)螺線。兩組螺線的條數(shù)往往成相繼的兩個斐波那契數(shù)，一般是34和55，大向日葵是89和144，還曾發(fā)現(xiàn)過一個更大的向日葵有144和233條螺線，它們都是相繼的兩個斐波那契數(shù)．有一位學者細心地數(shù)過一朵花的花瓣，發(fā)現(xiàn)這朵花的花瓣剛好是157瓣。且他又發(fā)現(xiàn)其中有13瓣與其他144瓣有顯著的不同，是特別長并卷曲向內，這表明這朵花的花瓣數(shù)目是由F7=13和F12=144合成的。這一模式幾個世紀以來一直被廣泛研究，但真正意義上的解釋直到1993年才給出。目前科學家們對這一模式還在研究之中。B、斐氏數(shù)列與游戲一位魔術師拿著一塊邊長為8英尺的正方形地毯，對他的地毯匠朋友說：“請您把這塊地毯分成四小塊，再把它們縫成一塊長13英尺、寬5英尺的長方形地毯?！边@位匠師對魔術師算術之差深感驚異，因為8英尺的正方形地毯面積是64平方英尺，如何能夠拼出65平方英尺的地毯？兩者之間面積相差達一平方英尺呢！可是魔術師做到了。他讓匠師用下圖的辦法達到了他的目的！真是不可思議！那神奇的1平方英尺究竟從哪里跑出來的呢？這就是費氏數(shù)列的奧妙所在。C、雄蜂家系與斐氏數(shù)列眾所周知，一般動物都有父親和母親，但雄蜂是例外，它只有母親沒有父親，養(yǎng)過蜜蜂的人都知道，蜂后產(chǎn)的卵，若能受精則孵化成雌蜂；如果不受精，則孵化成雄蜂，也即雄蜂是有母無父。雌蜂是有父有母的。因此，我們若追溯一只雄蜂的祖先，則可以發(fā)現(xiàn)其第n代的祖先數(shù)目剛好就是斐氏數(shù)列的第n項Fn.D、斐氏數(shù)列應用于生活（上臺階）有N級臺階，每次可能上一級或二級。共有多少種上法？依此類推，有數(shù)列：1，2，3，5，8，13，21，34，……用1元，2元鈔若干張能支付1，2，3，4，……元的支付方式，剛好成斐氏數(shù)列。只有一個臺階時，只有一種走法，F(xiàn)1=1；兩個臺階，走法有2種，一階一階或者一步上兩個臺階，所以F2=2；三個臺階時，走法有一步一階，2階再一階，1階再2階，因此F3=3；四個臺階時，走法有（1，1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1），（2，2），共5種走法。故F4=5；著名天文學家開普勒說：幾何學里有兩個寶庫，一個是畢達哥拉斯定理，一個是黃金分割。前者可以比作金礦，后者可以比作珍貴的鉆石礦。二、黃金分割德國天文學家開普勒曾說：“幾何學有兩大寶藏，其一為畢氏定理，其二為將一線段分成外內比。前者如黃金，后者如珍珠。”Astraightlineissaidtohavebeencutinextremeandmeanradiowhen,asthewholelineistothegreatersegment,soisthegreatertotheless.分一線段為二線段，當整體線段比大線段等于大線段比小線段時，則稱此線段被分為中外比。數(shù)學之美兩千年前，希臘數(shù)學家考慮如下問題：設線段AB，在AB上找一點C，使得令于是有可化為一元二次方程該方程的根為ABC于是其倒數(shù)即C點約在AB長度的0.618的位置上．希臘數(shù)學家把這個幾何問題里的點C叫作黃金分割點，這個比值稱為黃金分割數(shù)．ABC1、黃金矩形以AB，AC為邊作矩形，這個矩形稱為黃金矩形．ABC2、黃金三角形底與腰（或腰與底）之比為0.618的三角形，稱為黃金三角形．ABC黃金分割是公元前六世紀古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯所發(fā)現(xiàn)，后來古希臘美學家柏拉圖將此稱為黃金分割．0.618，以嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值．黃金分割之所以稱為“黃金”分割，是比喻這一“分割”如黃金一樣珍貴。黃金比，是工藝美術、建筑、攝影等許多藝術門類中審美的因素之一。認為它表現(xiàn)了恰到好處的“和諧”．神奇的“黃金分割比”自古至今也出現(xiàn)在許多偉大畫家的著名作品中，如米開朗基羅的《圣家庭》（HolyFamily）就是典型的例子，它的人物構圖布置中包含著一個“黃金五角星”。拉斐爾的《刑罰》(Crucifixion)人物布局以“黃金三角形”和“黃金五角星”展開。健美的人體（如古希臘雕塑《米羅的維納斯》看上去健美漂亮就是典型的例子，19世紀以來，世界各國的選美標準大部分都依據(jù)《米羅的維納斯》身材各部分的尺寸。她的體形符合希臘人關于美的理想與規(guī)范，身長比例接近所追求的人體美標準，即身與頭之比為8∶1。由于8為3加5之和，這就可以分割成1∶3∶5，這就是“黃金分割律”，這個比例成為后代藝術家創(chuàng)造人體美的準則。）亦有多組比例符合黃金分割比。如人的臍部到頭頂?shù)木嚯x與臍部高度之比、頭頂?shù)脚e手指端的距離與臍部到頭頂距離之比、膝蓋到肚臍同膝蓋到腳底之比，都符合黃金分割。0.3820.618葉子中的黃金分割圖中主葉脈與葉柄和主葉脈的長度之和比約為0.618．在動物界，形體優(yōu)美的動物形體，如馬，騾、獅、虎、豹、犬等，凡看上去健美的，其身體部分長與寬的比例也大體上接近與黃金分割如：蝴蝶身長與雙翅展開后的長度之比也接近0.618。0.618隨處可見!螺線中的秘密只要留心，到處都可發(fā)現(xiàn)黃金數(shù)這位美的“使者”的足跡．黃金分割規(guī)律還為直接最優(yōu)化方法的建立提供了依據(jù)。優(yōu)選法是一種求最優(yōu)化問題的方法，即怎樣才能使產(chǎn)量最高、質量最好、消耗最少．人們通過大量試驗來尋找最優(yōu)解．如何安排試驗，較快較省地求得最優(yōu)解，這就是直接最優(yōu)化方法．如果將實驗點定在區(qū)間的0.618左右，那么實驗的次數(shù)將大大減少．實驗統(tǒng)計表明，對于一個因素問題，用“0.618法”做16次實驗，就可以取得“對分法”做2500次試驗所達的效果。1953年，美國的基弗提出“0.618法”獲得大量應用，特別在工程設計方面應用最多，成效最佳．對黃金數(shù)的各種神奇的作用和魔力，數(shù)學上至今還沒有明確的解釋，只是發(fā)現(xiàn)它屢屢在實際中發(fā)揮我們意想不到的作用．美的東西與有用的東西之間，常常是有聯(lián)系的黃金數(shù)0.618，真是一件造福人類的絢麗瑰寶！

數(shù)學中，“從不同的范疇，不同的途徑，得到同一個結果”的情形是屢見不鮮的．