數(shù)學(xué)文化第四講斐波那契數(shù)列與黃金分割

斐波那契數(shù)列與黃金比不是缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)美!古今中外許多著名的數(shù)學(xué)家都曾以其親身感受對(duì)這個(gè)問(wèn)題有過(guò)深刻的論述，認(rèn)為數(shù)學(xué)不僅與美學(xué)密切相關(guān)，而且數(shù)學(xué)中充滿著美的因素，到處閃現(xiàn)著美的光輝。英國(guó)著名數(shù)理邏輯學(xué)家羅素指出：“數(shù)學(xué)，如果正常地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正如雕塑的美,是一種冷而嚴(yán)肅的美?！蔽覈?guó)著名數(shù)學(xué)家徐利治教授指出：“數(shù)學(xué)園地處處開(kāi)放著美麗花朵，它是一片燦爛奪目的花果園，這片花果園正是按照美的追求開(kāi)拓出來(lái)的。”十秒鐘加數(shù)請(qǐng)用十秒，計(jì)算出左邊一列數(shù)的和。

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+ 89 ??時(shí)間到！答案是231。十秒鐘加數(shù)再來(lái)一次！

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+ 2584 ????時(shí)間到！答案是6710。一、斐波那契數(shù)列1、斐波那契的生平

斐波那契（Fibonacci1170~1250）13世紀(jì)意大利最杰出的數(shù)學(xué)家。斐波那契的父親為比薩的商人，他認(rèn)為數(shù)學(xué)是有用的，因此送斐波那契向阿拉伯教師們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并掌握了印度數(shù)碼之一新的記數(shù)體系，后來(lái)游歷埃及、敘利亞、希臘、西西里、法國(guó)等地，掌握了不同國(guó)家和地區(qū)商業(yè)的算術(shù)體系。1200年左右回到出生地——比薩，潛心研究數(shù)學(xué)，于1202年寫(xiě)成名著《算盤(pán)全集》。該書(shū)廣為流傳，為印度——阿拉伯?dāng)?shù)碼在歐洲流傳起了重要的作用。除了扮演傳播印度數(shù)學(xué)——阿拉伯?dāng)?shù)字的角色，斐波那契在數(shù)學(xué)中的貢獻(xiàn)也是非常大的。除了《算盤(pán)全集》外，另有《幾何實(shí)用》（1220），《平方數(shù)書(shū)》（1225），是專(zhuān)門(mén)討論二次丟番圖方程式的。書(shū)中最有創(chuàng)造性的工作應(yīng)是同余數(shù)，該書(shū)使斐波那契成為在數(shù)論史中，貢獻(xiàn)介于丟番圖和費(fèi)爾馬之間。然而，現(xiàn)代數(shù)學(xué)家之所以會(huì)知道他的名字，并非因?yàn)樗跀?shù)學(xué)上的成就，而是得知于斐波那契數(shù)列。這是在1228年修訂《算盤(pán)全集》時(shí)增加的膾炙人口的“兔子問(wèn)題”（簡(jiǎn)稱(chēng)為斐氏數(shù)列）。2、兔子數(shù)列如果每對(duì)兔子（一雄一雌）每月能生殖一對(duì)小兔子（也是一雄一雌，下同），每對(duì)兔子第一個(gè)月沒(méi)有生育能力，但從第二個(gè)月以后便能每月生一對(duì)小兔子。假定這些兔子都不發(fā)生死亡現(xiàn)象，那么從一對(duì)剛出生的兔子開(kāi)始，一年之后會(huì)有多少對(duì)兔子呢？解答

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6月 8對(duì)

7月 13對(duì)解答可以將結(jié)果以列表形式給出：1月2月3月5月4月6月7月8月9月11月10月12月1123581321345589144因此，斐波那契問(wèn)題的答案是144對(duì)。此數(shù)列有下述遞推公式：

u1=1，u2=1，un=un-1+un-2，n>2．斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，???上述數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱(chēng)為斐波那契數(shù)．用數(shù)學(xué)歸納法，可推得斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式：斐波那契數(shù)列的美妙性質(zhì)☆隨著項(xiàng)數(shù)的增加，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比越逼近黃金分割0.6180339887……☆從第二項(xiàng)起，每個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積多1，每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積少1?！钋皀個(gè)斐氏數(shù)加起來(lái)再加1，就等于第n+2個(gè)斐氏數(shù)?！钕噜弮蓚€(gè)數(shù)的平方和也是一個(gè)斐波那契數(shù)，且腳標(biāo)恰為前兩者腳標(biāo)之和。11 2358132134 5589144…“十秒鐘加數(shù)”的秘密數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)：連續(xù)

10個(gè)斐波那契數(shù)之和，必定等于第7個(gè)數(shù)的11倍！

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+ 89 ??所以右式的答案是：

2111=231“十秒鐘加數(shù)”的秘密又例如：右式的答案是：

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61011=6710斐波那契協(xié)會(huì)和《斐波那契季刊》斐波那契1202年在《算盤(pán)書(shū)》中從兔子問(wèn)題得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，…之后，并沒(méi)有進(jìn)一步探討此序列，并且在19世紀(jì)初以前，也沒(méi)有人認(rèn)真研究過(guò)它。沒(méi)想到過(guò)了幾百年之后，十九世紀(jì)末和二十世紀(jì)，這一問(wèn)題派生出廣泛的應(yīng)用，從而突然活躍起來(lái)，成為熱門(mén)的研究課題。

有人比喻說(shuō)，“有關(guān)斐波那契數(shù)列的論文，甚至比斐波那契的兔子增長(zhǎng)得還快”，以致1963年成立了斐波那契協(xié)會(huì)，還出版了《斐波那契季刊》。

數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域常常奇妙而出乎意料地聯(lián)系在一起．斐波那契數(shù)列是從兔子問(wèn)題中抽象出來(lái)的，如果它在其它方面沒(méi)有應(yīng)用，它就不會(huì)有強(qiáng)大的生命．發(fā)人深省的是，斐波那契數(shù)列確實(shí)在許多問(wèn)題中出現(xiàn)．3、斐波那契數(shù)列趣話A、自然界中花朵的花瓣中存在斐氏數(shù)列特征生物學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，花瓣數(shù)是極有特征的。多數(shù)情況下，花瓣的數(shù)目都是3，5，8，13，21，34，55，89，144……例如：百合花有3瓣花瓣，至良屬的植物有5瓣花瓣，許多翠雀屬植物有8瓣花瓣，萬(wàn)壽菊的花瓣有13瓣，紫鶯屬的植物有21瓣花瓣……向日葵花盤(pán)內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù)．向日葵花盤(pán)內(nèi)，種子是按對(duì)數(shù)螺線排列的，有順時(shí)針轉(zhuǎn)和逆時(shí)針轉(zhuǎn)的兩組對(duì)數(shù)螺線。兩組螺線的條數(shù)往往成相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)，一般是34和55，大向日葵是89和144，還曾發(fā)現(xiàn)過(guò)一個(gè)更大的向日葵有144和233條螺線，它們都是相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)．有一位學(xué)者細(xì)心地?cái)?shù)過(guò)一朵花的花瓣，發(fā)現(xiàn)這朵花的花瓣剛好是157瓣。且他又發(fā)現(xiàn)其中有13瓣與其他144瓣有顯著的不同，是特別長(zhǎng)并卷曲向內(nèi)，這表明這朵花的花瓣數(shù)目是由F7=13和F12=144合成的。這一模式幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)一直被廣泛研究，但真正意義上的解釋直到1993年才給出。目前科學(xué)家們對(duì)這一模式還在研究之中。B、斐氏數(shù)列與游戲一位魔術(shù)師拿著一塊邊長(zhǎng)為8英尺的正方形地毯，對(duì)他的地毯匠朋友說(shuō)：“請(qǐng)您把這塊地毯分成四小塊，再把它們縫成一塊長(zhǎng)13英尺、寬5英尺的長(zhǎng)方形地毯?！边@位匠師對(duì)魔術(shù)師算術(shù)之差深感驚異，因?yàn)?英尺的正方形地毯面積是64平方英尺，如何能夠拼出65平方英尺的地毯？?jī)烧咧g面積相差達(dá)一平方英尺呢！可是魔術(shù)師做到了。他讓匠師用下圖的辦法達(dá)到了他的目的！真是不可思議！那神奇的1平方英尺究竟從哪里跑出來(lái)的呢？這就是費(fèi)氏數(shù)列的奧妙所在。C、雄蜂家系與斐氏數(shù)列眾所周知，一般動(dòng)物都有父親和母親，但雄蜂是例外，它只有母親沒(méi)有父親，養(yǎng)過(guò)蜜蜂的人都知道，蜂后產(chǎn)的卵，若能受精則孵化成雌蜂；如果不受精，則孵化成雄蜂，也即雄蜂是有母無(wú)父。雌蜂是有父有母的。因此，我們?nèi)糇匪菀恢恍鄯涞淖嫦?，則可以發(fā)現(xiàn)其第n代的祖先數(shù)目剛好就是斐氏數(shù)列的第n項(xiàng)Fn.D、斐氏數(shù)列應(yīng)用于生活（上臺(tái)階）有N級(jí)臺(tái)階，每次可能上一級(jí)或二級(jí)。共有多少種上法？依此類(lèi)推，有數(shù)列：1，2，3，5，8，13，21，34，……用1元，2元鈔若干張能支付1，2，3，4，……元的支付方式，剛好成斐氏數(shù)列。只有一個(gè)臺(tái)階時(shí)，只有一種走法，F(xiàn)1=1；兩個(gè)臺(tái)階，走法有2種，一階一階或者一步上兩個(gè)臺(tái)階，所以F2=2；三個(gè)臺(tái)階時(shí)，走法有一步一階，2階再一階，1階再2階，因此F3=3；四個(gè)臺(tái)階時(shí)，走法有（1，1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1），（2，2），共5種走法。故F4=5；著名天文學(xué)家開(kāi)普勒說(shuō)：幾何學(xué)里有兩個(gè)寶庫(kù)，一個(gè)是畢達(dá)哥拉斯定理，一個(gè)是黃金分割。前者可以比作金礦，后者可以比作珍貴的鉆石礦。二、黃金分割德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒曾說(shuō)：“幾何學(xué)有兩大寶藏，其一為畢氏定理，其二為將一線段分成外內(nèi)比。前者如黃金，后者如珍珠?！盇straightlineissaidtohavebeencutinextremeandmeanradiowhen,asthewholelineistothegreatersegment,soisthegreatertotheless.分一線段為二線段，當(dāng)整體線段比大線段等于大線段比小線段時(shí)，則稱(chēng)此線段被分為中外比。數(shù)學(xué)之美兩千年前，希臘數(shù)學(xué)家考慮如下問(wèn)題：設(shè)線段AB，在AB上找一點(diǎn)C，使得令于是有可化為一元二次方程該方程的根為ABC于是其倒數(shù)即C點(diǎn)約在AB長(zhǎng)度的0.618的位置上．希臘數(shù)學(xué)家把這個(gè)幾何問(wèn)題里的點(diǎn)C叫作黃金分割點(diǎn)，這個(gè)比值稱(chēng)為黃金分割數(shù)．ABC1、黃金矩形以AB，AC為邊作矩形，這個(gè)矩形稱(chēng)為黃金矩形．ABC2、黃金三角形底與腰（或腰與底）之比為0.618的三角形，稱(chēng)為黃金三角形．ABC黃金分割是公元前六世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯所發(fā)現(xiàn)，后來(lái)古希臘美學(xué)家柏拉圖將此稱(chēng)為黃金分割．0.618，以嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值．黃金分割之所以稱(chēng)為“黃金”分割，是比喻這一“分割”如黃金一樣珍貴。黃金比，是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)門(mén)類(lèi)中審美的因素之一。認(rèn)為它表現(xiàn)了恰到好處的“和諧”．神奇的“黃金分割比”自古至今也出現(xiàn)在許多偉大畫(huà)家的著名作品中，如米開(kāi)朗基羅的《圣家庭》（HolyFamily）就是典型的例子，它的人物構(gòu)圖布置中包含著一個(gè)“黃金五角星”。拉斐爾的《刑罰》(Crucifixion)人物布局以“黃金三角形”和“黃金五角星”展開(kāi)。健美的人體（如古希臘雕塑《米羅的維納斯》看上去健美漂亮就是典型的例子，19世紀(jì)以來(lái)，世界各國(guó)的選美標(biāo)準(zhǔn)大部分都依據(jù)《米羅的維納斯》身材各部分的尺寸。她的體形符合希臘人關(guān)于美的理想與規(guī)范，身長(zhǎng)比例接近所追求的人體美標(biāo)準(zhǔn)，即身與頭之比為8∶1。由于8為3加5之和，這就可以分割成1∶3∶5，這就是“黃金分割律”，這個(gè)比例成為后代藝術(shù)家創(chuàng)造人體美的準(zhǔn)則。）亦有多組比例符合黃金分割比。如人的臍部到頭頂?shù)木嚯x與臍部高度之比、頭頂?shù)脚e手指端的距離與臍部到頭頂距離之比、膝蓋到肚臍同膝蓋到腳底之比，都符合黃金分割。0.3820.618葉子中的黃金分割圖中主葉脈與葉柄和主葉脈的長(zhǎng)度之和比約為0.618．在動(dòng)物界，形體優(yōu)美的動(dòng)物形體，如馬，騾、獅、虎、豹、犬等，凡看上去健美的，其身體部分長(zhǎng)與寬的比例也大體上接近與黃金分割如：蝴蝶身長(zhǎng)與雙翅展開(kāi)后的長(zhǎng)度之比也接近0.618。0.618隨處可見(jiàn)!螺線中的秘密只要留心，到處都可發(fā)現(xiàn)黃金數(shù)這位美的“使者”的足跡．黃金分割規(guī)律還為直接最優(yōu)化方法的建立提供了依據(jù)。優(yōu)選法是一種求最優(yōu)化問(wèn)題的方法，即怎樣才能使產(chǎn)量最高、質(zhì)量最好、消耗最少．人們通過(guò)大量試驗(yàn)來(lái)尋找最優(yōu)解．如何安排試驗(yàn)，較快較省地求得最優(yōu)解，這就是直接最優(yōu)化方法．如果將實(shí)驗(yàn)點(diǎn)定在區(qū)間的0.618左右，那么實(shí)驗(yàn)的次數(shù)將大大減少．實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)表明，對(duì)于一個(gè)因素問(wèn)題，用“0.618法”做16次實(shí)驗(yàn)，就可以取得“對(duì)分法”做2500次試驗(yàn)所達(dá)的效果。1953年，美國(guó)的基弗提出“0.618法”獲得大量應(yīng)用，特別在工程設(shè)計(jì)方面應(yīng)用最多，成效最佳．對(duì)黃金數(shù)的各種神奇的作用和魔力，數(shù)學(xué)上至今還沒(méi)有明確的解釋?zhuān)皇前l(fā)現(xiàn)它屢屢在實(shí)際中發(fā)揮我們意想不到的作用．美的東西與有用的東西之間，常常是有聯(lián)系的黃金數(shù)0.618，真是一件造福人類(lèi)的絢麗瑰寶！

數(shù)學(xué)中，“從不同的范疇，不同的途徑，得到同一個(gè)結(jié)果”的情形是屢見(jiàn)不鮮的．