第5章統(tǒng)計量及其分布011728

第5章統(tǒng)計量及其分布【考試要求】5.1總體與樣本

總體樣本

5.2樣本的分布與數(shù)值特征

樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示樣本的數(shù)值特征

5.3統(tǒng)計量與抽樣分布

統(tǒng)計量的概念抽樣分布與正態(tài)總體有關的抽樣分布

【要點詳解】

§5.1總體與樣本1．總體

總體：在數(shù)理統(tǒng)計中研究對象的全體。

個體：構成總體的每一個成員。

注：由于每一項統(tǒng)計研究通常關心的是總體和個體的某個(或多個)特定的數(shù)量指標，所以，在具體的研究案例中通常用對應的數(shù)量指標表示總體和個體。數(shù)理統(tǒng)計的研究目的就是想了解總體X的分布特征和統(tǒng)計規(guī)律。

【例題5.1】要了解某市工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)設備情況，則總體是（）。A．該市全部工業(yè)企業(yè)B．該市重點工業(yè)企業(yè)C．該市重點工業(yè)企業(yè)的每一臺設備D．該市工業(yè)企業(yè)的全部生產(chǎn)設備E．該市工業(yè)企業(yè)的每一臺設備的運轉情況

【答案】D

【解析】在數(shù)理統(tǒng)計中將研究對象的全體稱為總體，構成總體的每一個成員稱為個體。要了解某市工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)設備情況，則統(tǒng)計總體應該為該市工業(yè)企業(yè)的全部生產(chǎn)設備。

2．樣本

樣本：從總體中抽取部分個體組成的集合。

樣品：樣本中所含的個體。

樣本容量：樣本中樣品的個數(shù)。獲取樣本的方法可以分為兩大類：概率抽樣和非概率抽樣。

概率抽樣（簡單隨機抽樣）的特征

①獨立性

樣本中每一個樣品的取值不受其他樣品取值的影響，即X1，X2，…，Xn相互獨立。②同分布

每一個個體入選樣本的機會等于它在總體中出現(xiàn)的概率，即每一個樣本Xi與總體X具有相同的分布。根據(jù)這兩個特征，概率抽樣所獲得的樣本也稱為獨立同分布樣本。簡記為：其中：F(x)為總體分布，X1，X2，…，Xn為樣本容量為n的隨機樣本，i.i.d.表示獨立同分布。在一次抽樣中具體抽到的觀察值，通常記作：

x1，x2，…，xnx1，x2，…，xn稱為X1，X2，…，Xn的觀察值，或簡稱為樣本觀察值。

【例題5.2】對某家公司進行審計，該公司年度內(nèi)的所有發(fā)票是55400張，審計人員從中隨機抽查了100張發(fā)票進行審查，發(fā)現(xiàn)有2張發(fā)票有差錯，則樣本容量是（）。A．2B．98C．100D．55400E．55300

【答案】C

【解析】該題中總體是55400張發(fā)票，樣本是100張發(fā)票。樣本容量是100。

§5.2樣本的分布與數(shù)值特征1．樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示

（1）頻數(shù)統(tǒng)計與頻率分布①離散隨機變量頻數(shù)：如果總體X是離散隨機變量，其可能的取值為a1，a2，…，ak，統(tǒng)計樣本觀察值x1，x2，…，xn中取到ai的個數(shù)，記作ni，i=1，2，…，k。

頻率：ai的頻數(shù)ni除以樣本容量n，記作fi根據(jù)頻數(shù)統(tǒng)計表或頻率分布表做條形圖。條形圖的橫軸為樣本數(shù)據(jù)的取值，縱軸為該取值的頻數(shù)或頻率。

②連續(xù)隨機變量

如果總體X是連續(xù)隨機變量，其可能的取值不可能一一列舉，這時數(shù)據(jù)整理的一般方法是進行分組統(tǒng)計，將其可能取值分成k個小區(qū)間：[a0，a1)，[a1，a2)，…，[ak-1，ak)，統(tǒng)計樣本觀察值x1，x2，…，xn落在每一個小區(qū)間的頻數(shù)ni，并計算相應頻率fi，i=1，2，…，k

根據(jù)頻率分布表可以做直方圖。直方圖的橫軸為樣本數(shù)據(jù)的取值，縱軸為該取值的頻數(shù)或頻率。和條形圖不同的是，直方圖條塊之間沒有空隙，它是以直方的面積表示取值概率，而條形圖只是以直方的高度表示取值概率。樣本直方圖近似反映了總體的概率分布情況。（2）樣本經(jīng)驗分布函數(shù)經(jīng)驗分布函數(shù)：設總體X的分布函數(shù)為F(x)，從中獲得的樣本觀察值為x1，x2，…，xn，將樣本觀察值從小到大排列，構成次序觀察值x(1)，x(2)，…，x(n)，令則稱Fn(x)為該樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)。

2．樣本的數(shù)值特征

常用的樣本數(shù)值特征可以分為三大類：①分布的集中趨勢測量值，反映各數(shù)據(jù)向中心值靠攏或聚集的程度；②分布的離散程度測量值，反映各數(shù)據(jù)遠離其中心值的趨勢；③分布的形狀測量值，反映數(shù)據(jù)分布的偏斜和聳立程度。（1）反映中心趨勢的樣本特征值

集中趨勢：一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數(shù)據(jù)中心點的位置所在。常用的中心趨勢特征值有三個：樣本均值、樣本中位數(shù)和樣本眾數(shù)。①樣本均值

樣本均值：一組數(shù)據(jù)加權平均的結果，通常記作。

?簡單平均數(shù)

如果樣本數(shù)據(jù)為點數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，則均值為簡單平均數(shù)

?加權平均值

如果樣本數(shù)據(jù)為區(qū)間數(shù)據(jù)，假設各區(qū)間的組中值為xi，各組頻數(shù)為ni，i=1，2，…，k，則均值為加權平均值均值是實際中應用最廣泛的一種度量數(shù)據(jù)中心趨勢的特征值。它的缺點是易受極端值的影響。②樣本中位數(shù)

樣本中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)排序后處于中間位置上的特征值，通常記作Me。設樣本數(shù)據(jù)從小到大排序后為x(1)，x(2)，…，x(n)，則樣本中位數(shù)為：

?優(yōu)缺點

樣本中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間位置上的代表值，它不易受極端值的影響，對中心位置的度量相對穩(wěn)定，但缺點是它只用到樣本數(shù)據(jù)的排序信息，相對均值而言，有信息的浪費。③樣本眾數(shù)

樣本眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的特征值，通記作M0。

?優(yōu)缺點樣本眾數(shù)不易受極端值的影響，但是有些數(shù)據(jù)可能會不存在眾數(shù)，而有些數(shù)據(jù)可能會存在多個樣本眾數(shù)。

【例題5.3】某班共有60名學生，在期末的統(tǒng)計學考試中，男生的平均考試成績?yōu)?5分，標準差為6分；女生的平均考試成績?yōu)?0分，標準差為6分。如果該班的男女學生各占一半，則全班的平均考試成績?yōu)椋ǎ．75B．76C．77.5D．78E．80

【答案】C

【解析】設男生成績?yōu)閤，女生成績?yōu)閥，男女各30人，故全班的平均考試成績?yōu)椋?/p>

【例題5.4】下列關于樣本眾數(shù)的敘述，不正確的是（）。A．一組數(shù)據(jù)可能存在多個眾數(shù)B．眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的值C．一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是惟一的D．眾數(shù)不受極端值的影響E．眾數(shù)是一個位置代表值

【答案】C

【解析】樣本眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的特征值，通常記作M0。一組數(shù)據(jù)的頂峰所對應的數(shù)值即為樣本眾數(shù)。樣本眾數(shù)不易受極端值的影響，但是有些數(shù)據(jù)可能會不存在眾數(shù)，而有些數(shù)據(jù)可能會存在多個眾數(shù)。（2）反映離散程度的樣本特征值

數(shù)據(jù)的離散程度：反映的數(shù)據(jù)偏離中心值的程度。數(shù)據(jù)的離散程度越大，中心特征值對數(shù)據(jù)的代表性就越差，反之就越好。反映數(shù)據(jù)離散程度的特征值主要有樣本方差(或樣本標準差)，極差，四分位差。①樣本方差和標準差

樣本方差：各變量值與其平均數(shù)離差平方的平均數(shù)，通常記作s2。樣本方差開方后即得樣本標準差，樣本標準差通常記作s。

?計算公式

如果樣本數(shù)據(jù)為點數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，則樣本方差和樣本標準差分別為：如果樣本數(shù)據(jù)為區(qū)間數(shù)據(jù)，假設各區(qū)間的組中值為xi，各組頻數(shù)為ni，i=1，2，…，k，則樣本方差和樣本標準差分別為：②樣本極差

樣本極差：一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差，通常記作R。

?優(yōu)缺點

樣本極差直觀地反映了數(shù)據(jù)最大的離散程度，但缺點是只利用了一組數(shù)據(jù)兩端的信息，極易受特征值的影響，而且也不能反映中間數(shù)據(jù)的離散程度。③樣本四分位差

四分位差：將樣本數(shù)據(jù)排序，位于25%分位點的樣本值稱為四分位點，記作Q1，位于75%分位點的樣本值稱為四分之三分位點，記作Q3。Q3與Q1之差記作Qd。

Qd=Q3—Q1

?含義：樣本四分位差反映了中心位置附近，聚集程度最高的數(shù)據(jù)的離散程度。四分位差越小，說明中間數(shù)據(jù)越集中，反之數(shù)據(jù)的離散程度越大。

【例題5.5】假定一個樣本由5個數(shù)據(jù)組成：3，7，8，9，13。該樣本的方差為（）。A．8B．9.7C．10.4D．13E．15

【答案】D

【解析】5個數(shù)據(jù)的均值為：根據(jù)未分組數(shù)據(jù)的樣本方差公式可得：

【例題5.6】計算樣本方差時，如果從每個數(shù)據(jù)中減去常數(shù)a，則計算結果與原方差相比（）。A．變大B．不變C．變小D．減少了aE．無法確定

【答案】B【解析】設原始數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，均值為，則該組數(shù)據(jù)的方差為。若令=x1－a，=x2－a，…，=xn－a，則新數(shù)據(jù)組的均值，所以新數(shù)據(jù)組的方差為：（3）反映形狀特點的樣本特征值

數(shù)據(jù)的形狀特征主要是考察數(shù)據(jù)的分布是否對稱，峰形是高聳還是扁平。這涉及兩個特征值：偏態(tài)和峰態(tài)。①偏態(tài)

偏態(tài)：對數(shù)據(jù)分布對稱性的度量，偏態(tài)系數(shù)通常簡記為SK。如果樣本數(shù)據(jù)為點數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，則樣本偏態(tài)系數(shù)為：如果樣本數(shù)據(jù)為區(qū)間數(shù)據(jù)，假設各區(qū)間的組中值為xi，各組頻數(shù)為ni，i=1，2，…，k，則樣本偏態(tài)系數(shù)為：其中：s為樣本標準差。

?結果解釋

如果數(shù)據(jù)呈現(xiàn)對稱分布特征，則SK趨向于0。在對稱分布場合，有均值=中位數(shù)=眾數(shù)的優(yōu)良屬性，統(tǒng)計上稱為“三線合一”。如果SK>0，稱為正偏分布，正偏分布意味著取值小的數(shù)據(jù)發(fā)生概率大。在正偏分布場合，通常是眾數(shù)<中位數(shù)<均值。如果SK<0，稱為負偏分布，負偏分布意味著取值大的數(shù)據(jù)發(fā)生概率大。在負偏分布場合，通常是均值<中位數(shù)<眾數(shù)(圖5-1)。圖5-1不同偏態(tài)分布的特征

②峰態(tài)

峰態(tài)：對數(shù)據(jù)分布高聳或扁平程度的度量，峰態(tài)系數(shù)通常簡記為K。如果樣本數(shù)據(jù)為點數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，則樣本峰態(tài)系數(shù)為：如果樣本數(shù)據(jù)為區(qū)間數(shù)據(jù)，假設各區(qū)間的組中值為xi，各組頻數(shù)為ni，i=1，2，…，k，則樣本峰態(tài)系數(shù)為：其中：s為樣本標準差。

?結果解釋

峰態(tài)系數(shù)實際上是以標準正態(tài)分布的峰形作為參考，標準正態(tài)分布的K=0。比標準正態(tài)分布的峰形高聳，稱為尖峰分布，尖峰分布的K>0。比標準正態(tài)分布的峰形扁平，稱為平峰分布，平峰分布的K<0。在其他統(tǒng)計屬性近似時，平峰分布的數(shù)據(jù)比尖峰分布的數(shù)據(jù)更加分散。

【例題5.7】如果峰態(tài)系數(shù)K>0，表明該組數(shù)據(jù)是（）。A．尖峰分布B．平峰分布C．左偏分布D．右偏分布E．對稱分布

【答案】A

【解析】峰態(tài)是數(shù)據(jù)分布高聳或扁平程度的度量，峰態(tài)系數(shù)用K表示。峰態(tài)通常是與標準正態(tài)分布相比較而言的。如果一組數(shù)據(jù)服從標準正態(tài)分布，則峰態(tài)系數(shù)的值等于0；若峰態(tài)系數(shù)的值明顯不等于0，則表明分布比正態(tài)分布更平或更尖，通常稱為平峰分布或尖峰分布。平峰分布的K<0，尖峰分布的K>0。

【例題5.8】隨機抽取25個網(wǎng)絡用戶，得到他們的年齡數(shù)據(jù)，如表5-1所示。表5-1則偏態(tài)系數(shù)和峰態(tài)系數(shù)分別為（）。A．1.08，0.77B．1.05，0.72C．1.00，0.77D．0.77，1.08E．0.29，1.02

【答案】A【解析】均值由均值可得：偏態(tài)系數(shù)：峰態(tài)系數(shù)：

§5.3統(tǒng)計量與抽樣分布1．統(tǒng)計量的概念

定義：設總體X的分布函數(shù)為F(x，θ)，其中θ為未知參數(shù)，從總體中隨機抽取樣本容量為n的一個樣本X1，X2，…，Xn，稱不含未知參數(shù)θ的樣本實值函數(shù)T為統(tǒng)計量，記T為T=T(X1，X2，…，Xn)。統(tǒng)計量的兩個特別重要特征：①統(tǒng)計量中不能含有未知參數(shù)；②統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)。

【例題5.9】設是來自兩點分布的一個樣本，其中0<p<1，p未知，下列樣本的函數(shù)不是統(tǒng)計量的是（）。A．B．C．D．E．【答案】D【解析】統(tǒng)計量是用來描述樣本特征的概括性數(shù)字度量，不含有未知參數(shù)。D項中含有未知參數(shù)EX1=p。

2．抽樣分布

抽樣分布：統(tǒng)計量是隨機變量的函數(shù)，統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。

?尋找抽樣分布的方法①精確方法當總體分布己知，通過總體分布的屬性推導出統(tǒng)計量分布的顯式表達。②大樣本方法漸近分布：隨著樣本容量n的無限遞增，統(tǒng)計量通常逼近于一個穩(wěn)定的極限的分布。

大樣本方法：將上面的漸近分布作為抽樣分布在大樣本場合的一種近似分布。

3．與正態(tài)總體有關的抽樣分布

（1）三大檢驗分布①分布

?定義

設隨機變量X1，X2，…，Xn獨立同分布于標準正態(tài)分布則它們的平方和服從自由度為n的分布，記作Y~。

?密度函數(shù)

(n)分布的密度函數(shù)為：

?均值和方差

(n)均值和方差分別為：E(X)=n，Var(X)=2n。

?可加性

相互獨立的分布之和仍然服從分布。

②t分布

?定義

設X~N(0，1)，Y~(n)，且X與Y相互獨立，則服從自由度為n的t分布，記作T~t(n)。

?密度函數(shù)

t(n)分布的密度函數(shù)為：

?均值和方差

其均值和方差分別為：

?收斂性

當n→+∞時，t(n)分布收斂到N(0，1)分布。③F分布

?定義

設X~(n)，Y~(m)，且X與Y相互獨立，則服從自由度為n和m的F分布，記作F~F(n，m)。

?密度函數(shù)

F(n，m)分布的密度函數(shù)為：其中n，m為正整數(shù)。

?均值和方差

其均值和方差分別為：

【例題5.10】設總體X服從正態(tài)分布，總體Y服從正態(tài)分布，且X與Y相互獨立。是來自總體X的簡單隨機樣本，是來自總體Y的簡單隨機樣本，令其中a+b=1，若要使Z的方差最小，則a的取值為（）。[2008年春季真題]

A．1/2B．C．D．E．

【答案】E

【解析】因，則，故，同理，，故