第1講中值定理和有關方程的根問題

第一講：中值定理和有關方程根的問題中值定理在競賽中具有特殊的地位，它是高數中不多的一種邏輯證明類的問題，分析味道足，綜合性強，對數學邏輯推理能力要求較高，很多同學對此比較畏懼，主要是因為我們平時學習中沒有引起足夠重視，訓練不夠。主要內容：1、閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質（有界性，最值性、零點定理、介值定理）2、微分中值定理（羅爾定理，拉格朗日，柯西中值定理，泰勒中值定理（公式））方程根的問題，屬于微積分應用的范疇。1.1基本理論綜述一、涉及函數的中值定理設上連續(xù)，則定理1、有界性定理2、最值性定理3、介值定理：當定理4、零點定理：當二、涉及導數（微分）的中值定理定理5、費馬定理滿足在處(1)可導，（2）取極值，則可導點為極值點的必要條件拉格朗日中值定理羅爾定理柯西中值定理泰勒中值定理定理6-9羅爾，拉氏，柯西，泰勒共有條件：閉區(qū)間連續(xù)，開區(qū)間可導補充：導數零點定理，導數介值定理定理10、設上可導，當定理11、設上可導，當三、涉及積分的中值定理定理12則至少存在一點上連續(xù)1.2思路與例題解析一、有關思路總結1、根據欲證結論的形式大致確定需要用哪一個或哪幾個定理，一般來說（1）如果結論中的中值屬于閉區(qū)間，則優(yōu)先考慮介值定理（2）若結論中的中值屬于開區(qū)間，則優(yōu)先考慮微分中值定理（比如拉氏定理）等（3）若結論比較簡單，如，則優(yōu)先考慮羅爾定理,或利用費爾馬定理（都是對n-1階導數用）（4）若結論中有兩個中值，則優(yōu)先考慮應該大區(qū)間分為若干小區(qū)間，在各個小區(qū)間多次使用拉氏定理，或者直接考慮柯西中值定理（5）若結論中含有高階導數，則優(yōu)先考慮泰勒公式（6）若結論中含有函數及其各階導數，則優(yōu)先考慮拉格中值定理或者泰勒公式將其聯(lián)系起來若不滿足，則（2）改令一次積分，驗證是否滿足羅爾定理，若不滿足，則（3）改令兩次積分，將大區(qū)間分為小區(qū)間各個小區(qū)間多次使用中值定理，二、例題解析2、若結論中的中值屬于開區(qū)間，且需要做輔助函數，（1）將結論中的中值改寫為，通過整理使等式一端為0，另一端記為，令驗證是否滿足零點定理，滿足則命題成立，分析:所給條件可寫為想到找一點c,使證:因f(x)在[0,3]上連續(xù),所以在[0,2]上連續(xù),且在[0,2]上有最大值M與最小值m,故由介值定理,至少存在一點由羅爾定理知,必存在設函數f(x)在[0,3]上連續(xù),在(0,3)內可導,且例8、證明存在例9、設上具有一階連續(xù)導數，且證明，至少存在一點，使得分析，本題結論中的中值屬于閉區(qū)間，優(yōu)先考慮介值th(1)由于上連續(xù)，故上必取最大值M,和最小值m，則對（2）建立的關系，用拉氏定理于是，即，由介值定理，至少存在一點，使得例10、設上有連續(xù)的二階導函數，，證存在一點分析（1）閉區(qū)間，優(yōu)先用介值定理（2）可考慮用泰勒公式對展開式兩端積分得由于上連續(xù)，故由介值定理，存在例11、已知上連續(xù)，內可導，且證明：（1）（2）兩個不同的證明(1)所以有，由零點定理即證（2）用把分成兩個小區(qū)間，并分別用拉氏定理有，所以，例12，設函數在上連續(xù)，在內可導，且證明：存在證明：用將劃分為，在這兩個區(qū)間上分別對使用拉格朗日中值定理，得和要證的等式比較，得即可于是取，命題得證注意：本題采用了反推思想，1.3泰勒中值定理（公式）—應用用多項式近似表示函數理論分析近似計算泰勒中值定理:階的導數,時,有①其中②則當公式①稱為的n

階泰勒公式.公式②稱為n

階泰勒公式的拉格朗日余項.公式③稱為n

階泰勒公式的佩亞諾(Peano)余項.在不需要余項的精確表達式時,泰勒公式可寫為注意到③④稱為麥克勞林（Maclaurin）公式.則有在泰勒公式中若取則有誤差估計式若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式二、幾個初等函數的麥克勞林公式其中其中類似可得其中特別地（5）佩亞諾余項（6）已知其中類似可得三、泰勒公式的應用1.在近似計算中的應用誤差M為在包含0,x的某區(qū)間上的上界.常用的泰勒展開式由此，可得2.利用泰勒公式求極限解:由于用泰勒公式將分子展到項,例1.求用洛必塔法則不方便

!例2、求分析，時，故同理所以原極限=例3當與是等價無窮小，求常數a,b分析，由題設，問題：用泰勒公式究竟要展開到幾階？注意一個要點就可以，叫做上下同階例4、求分析：分母是4次的，所以用泰勒公式時分子只需要展開到4階就可以了所以例1、設，求分析：所求階數不高，可以直接求，但是如果將展開至3階，設故例2、設析：3、利用泰勒公式計算函數的高階導數又由麥克勞林公式令4、用于邏輯推理證明問題例1、設上具有二階導數，且滿足條件為非負常數，證明，對任意的證明：上有二階導數，展開為泰勒公式為分別令得兩式相減得，上式兩端取絕對值，并放大在，有例2，若其中A為非零任意常數，且解：由題設知，存在足夠大,使得在內存在二階導數，由于結論要求是帶自變量x的，所以可以展開為泰勒公式為介于之間，令所以例2，設在上二階導數連續(xù)，并且當時，，證明：證明：由于在上二階導數連