第一節(jié)預備知識

在一切理論成就中，未必有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的卓越勝利了。

恩格斯1微積分2高等學校經(jīng)濟管理學科數(shù)學基礎課程教材《微積分》范培華章學誠劉西垣編著中國商業(yè)出版社3前言

現(xiàn)代的自然科學和社會科學融合了大量的高等數(shù)學知識，掌握其主體內(nèi)容成為一個大學生的必備技能。

本課程主要介紹三塊內(nèi)容：微積分學、級數(shù)理論和常微分方程，其中微積分學分為一元微積分學和多元微積分學，上冊主要介紹一元微積分學，其余在下冊介紹。

通過高等數(shù)學的學習，不但使學生具備學習后續(xù)其他數(shù)學課程和專業(yè)課程所需要的基本數(shù)學知識，而且還使學生在數(shù)學的抽象性、邏輯性與嚴密性方面受到必要的訓練和熏陶，使他們具有理解和運用邏輯關系、研究和領會抽象事物、認識和利用數(shù)形規(guī)律的初步能力。因此，高等數(shù)學的學習不僅關系到學生在整個大學期間甚至研究生期間的學習質(zhì)量，而且還關系到學生的思維品質(zhì)、思辨能力、創(chuàng)造潛能等科學和文化素養(yǎng)。高等數(shù)學教學既是科學的基礎教育，又是文化基礎教育，是素質(zhì)教育的一個重要的方面。

4同時發(fā)明了微積分，微積分研究的主要對象就是函數(shù)。

微積分(Calculus)是一門以變量為研究對象、以極限方法作為研究工具的數(shù)學學科，應用極限方法研究各類變化率問題和幾何學中曲線的切線問題，就產(chǎn)生了微分學；應用極限方法研究諸如曲邊梯形的面積等涉及到微小量無窮積累的問題，就產(chǎn)生了積分學。英國數(shù)學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茲5

牛頓，是英國偉大的數(shù)學家、物理學家、天文學家和自然哲學家。1642年12月25日生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近的沃爾索普村,1727年3月20日在倫敦病逝。

牛頓1661年入英國劍橋大學三一學院，1665年獲文學士學位。隨后兩年在家鄉(xiāng)躲避瘟疫。這兩年里，他制定了一生大多數(shù)重要科學創(chuàng)造的藍圖。1667年回劍橋后當選為三一學院院委，次年獲碩士學位。1669年任盧卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造幣廠監(jiān)督，并移居倫敦。1703年任英國皇家學會會長。1706年受女王安娜封爵。他晚年潛心于自然哲學與神學。

牛頓在科學上最卓越的貢獻是微積分和經(jīng)典力學的創(chuàng)建。6萊布尼茨，德國數(shù)學家、哲學家，和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人；1646年7月1日生于萊比錫，1716年11月14日卒于德國的漢諾威。他父親是萊比錫大學倫理學教授，家庭豐富的藏書引起他廣泛的興趣。1661年入萊比錫大學學習法律，又曾到耶拿大學學習幾何，1666年在紐倫堡阿爾特多夫取得法學博士學位。他當時寫的論文《論組合的技巧》已含有數(shù)理邏輯的早期思想，后來的工作使他成為數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人。

1667年他投身外交界，曾到歐洲各國游歷。1676年到漢諾威，任腓特烈公爵顧問及圖書館的館長，并常居漢諾威，直到去世。萊布尼茨的多才多藝在歷史上很少有人能和他相比，他的著作包括數(shù)學、歷史、語言、生物、地質(zhì)、機械、物理、法律、外交等各個方面。7一、微積分的實際背景

1.瞬時速度

2.曲線的切線斜率

3.曲邊圖形的面積

二、微積分學的思想方法

運動、變化、發(fā)展乃至質(zhì)變，是微積分的根本思想方法，但運動、變化的定量刻畫卻表現(xiàn)在它的反面，即相對靜止之中，也就是說，用定量的方法來刻畫變量的變化。

8三、微積分學的基本結(jié)構(gòu)

比如做家具：

原料：函數(shù)工具：極限產(chǎn)品一：導數(shù)產(chǎn)品二：積分方式一方式二9第一章

函數(shù)及其圖形10由于實踐和各門科學自身發(fā)展的需要，到了16世紀，對物體運動的研究成為自然科學的中心問題.與之相適應，數(shù)學在經(jīng)歷了兩千多年的發(fā)展之后進入了一個新的時代，即變量數(shù)學的時代.作為在運動中變化的量(變量)及它們之間的依賴關系的反映，數(shù)學中產(chǎn)生了變量和函數(shù)的概念.例如，伽利略發(fā)現(xiàn)自由落體下落的距離s與經(jīng)歷的時間t的平方成正比，得到著名的公式

確定了變量t與s之間的依賴關系，即函數(shù)關系，這就是自由落體運動規(guī)律的數(shù)學表述.11數(shù)學的一項重要任務，就是要找出反映各種實際問題中變量的變化規(guī)律，即其中所蘊含的變量之間的函數(shù)關系.函數(shù)是數(shù)學中最基本的概念之一，微積分研究函數(shù)的一些局部的和整體的性態(tài).本章介紹函數(shù)的一般概念，幾種常用的表示方式，最基本的函數(shù)類——初等函數(shù)，函數(shù)的性質(zhì)，以及經(jīng)濟學中幾種常用的函數(shù).12第一節(jié)預備知識一、集合及其運算集合是數(shù)學中的一個基本概念.具有某種指定性質(zhì)的事物的總體稱為一個集合。組成這個集合的事物稱為這個集合的元素。

通常用大寫字母A、B、C等表示集合，用小寫字母a、b、c等表示集合的元素。

如果a是集合A的元素，則記作aA，讀作a屬于A；如果a不是集合A的元素，則記作

，或，讀作a不屬于A。13

由有限個元素構(gòu)成的集合稱為有限集，由無限多個元素構(gòu)成的集合稱為無限集。不含任何元素的集合稱為空集，記為?。集合的表示法通常有兩種：1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來.2、描述法：即用刻畫集合中全體元素的性質(zhì)來說明.例如：例如：14常見數(shù)集的記號：

自然數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集正整數(shù)集實數(shù)集數(shù)軸本書中如無特別說明，均限于實數(shù)范圍內(nèi)。151、包含如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱集合A是集合B的子集.記作。例如：2、相等如果集合A和B互相包含，即且,則稱A和B的相等，記作。BA集合之間的關系：161、并集合之間的運算：BA例如，則基本性質(zhì)：172、交BA例如，則基本性質(zhì)：183、差BAAB例如，表示全體無理數(shù)組成的集合?；拘再|(zhì)：19二、絕對值及其基本性質(zhì)設x為一實數(shù)，則其絕對值定義為幾何意義：|x|表示數(shù)軸上點x到原點的距離。|x-

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