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文檔簡介
一、隨機事件的概率1.有關(guān)事件的概念(1)必然事件:我們把在條件S下,一定會發(fā)生的事件,叫做相對于條件S的必然事件,簡稱必然事件.(2)不可能事件:在條件S下,一定不會發(fā)生的事件,叫做相對于條件S的不可能事件,簡稱不可能事件.(3)確定事件:必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件,簡稱確定事件.(4)隨機事件:在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,叫做相對于條件S的隨機事件,簡稱隨機事件.(5)事件的表示方法:確定事件和隨機事件一般用大寫字母A,B,C,…表示.2.對于概率的定義應(yīng)注意以下幾點:(1)求一個事件的概率的基本方法是通過大量的重復(fù)試驗.(2)只有當(dāng)頻率在某個常數(shù)附近擺動時,這個常數(shù)才叫做事件A的概率.(3)概率是頻率的穩(wěn)定值,而頻率是概率的近似值.(4)概率反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大?。?5)必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,故0≤P(A)≤1.二、互斥事件與對立事件1.互斥事件任何兩個基本事件都是互斥的,如果A1,A2,…,An中的任何兩個都是互斥事件,那么我們就說,事件A1,A2,…,An彼此互斥,從集合的角度看,n個事件彼此互斥,是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合兩兩相交為空集.3.互斥事件概率的求法(1)若A1,A2,…,An互斥則P(A1∪A2∪…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).(2)利用這一公式求概率的步驟是:(1)要確定這一些事件彼此互斥;(2)這一些事件中有一個發(fā)生;(3)先求出這一些事件分別發(fā)生的概率,再求和.值得注意的是:(1)、(2)兩點是公式的使用條件,不符合這兩點,是不能運用互斥事件的概率加法公式的.3.與體積有關(guān)的幾何概型,求解的關(guān)鍵有二:一是確定幾何度量為體積,二是準(zhǔn)確計算幾何體的體積.【點撥】
1.互斥事件與對立事件的聯(lián)系與區(qū)別:不可能同時發(fā)生的事件稱為互斥事件,對立事件則要同時滿足兩個條件:一是不可能同時發(fā)生,二是必有一個發(fā)生,兩個事件是對立事件的前提是互斥事件.在一次試驗中,兩個互斥事件有可能都不發(fā)生,也可能只有一個發(fā)生,而兩個對立事件則必有一個發(fā)生且不可能同時發(fā)生.2.互斥事件與對立事件的概率計算:(1)若事件A1,A2,…,An彼此互斥,則P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).設(shè)事件A的對立事件是A,則P(A)=1-P(A),(2)應(yīng)用互斥事件的概率加法公式解題時,一定要注意首先確定各個事件是否彼此互斥,然后求出各事件分別發(fā)生的概率,再求和.對于較復(fù)雜事件的概率,可以轉(zhuǎn)化為求對立事件的概率.求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法:一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和;二是先求其對立事件的概率,然后再應(yīng)用公式P(A)=1-P(A)求解.有3個兩兩互斥的事件A,B,C,已知事件A∪B∪C是必然條件,事件A的概率是事件B的概率的2倍,事件C的概率比事件B的概率大0.2.求事件A,B,C的概率.[規(guī)范解答]
設(shè)P(B)=x,則P(A)=2P(B)=2x,P(C)=P(B)+0.2=x+0.2.故1=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=2x+x+(x+0.2)=4x+0.2.所以x=0.2,即P(A)=0.4,P(B)=0.2,P(C)=0.4.1.某射手在一次射擊訓(xùn)練中,射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21,0.22,0.24,0.27,計算這個射手在一次射擊中不夠7環(huán)的概率.解析:
不夠7環(huán)從正面考慮有以下幾種情況:射中6環(huán)、5環(huán)、4環(huán)、3環(huán)、2環(huán)、1環(huán)、0環(huán),但這些概率都未知,因此,不能直接下手.可從反面入手,不夠7環(huán)的反面是大于等于7環(huán),即7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、10環(huán),可用求對立事件的概率的方法處理.設(shè)“不夠7環(huán)”為事件A,“射中7環(huán)或8環(huán)或9環(huán)或10環(huán)”為事件B,則事件A與事件B互為對立事件.又P(B)=0.21+0.22+0.24+0.27=0.94,所以P(A)=1-P(B)=1-0.94=0.06.所以這個射手在一次射擊中不夠7環(huán)的概率為0.06.從裝有編號分別為a,b的2個黃球和編號分別為c,d的2個紅球的袋中無放回地摸球,每次任摸一球,求:(1)第1次摸到黃球的概率,(2)第2次摸到黃球的概率.[思維點擊]
根據(jù)題意列舉出試驗的所有可能的結(jié)果,再求出所求概率的事件包含的基本事件數(shù),利用古典概型的概率公式計算.2.一個盒子里裝有完全相同的10個小球,分別標(biāo)上1,2,3,…,10這10個數(shù)字,現(xiàn)隨機地取兩個小球.(1)不放回地取出小球,求兩個小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率;(2)有放回地取出小球,求兩個小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率.解析:
隨機取出兩個小球,記事件A為“兩個小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)”,可能結(jié)果為:(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),…,(9,10),(10,9),共18種.(3)幾何概型問題的解題方法:解幾何概型問題時,常常需要尋找不等關(guān)系.要找不等關(guān)系,先找等量關(guān)系,再借助圖形分析尋找不等關(guān)系,然后利用公式計算.特別提醒:求解幾何概型問題,要特別注意基本事件的形成過程,要準(zhǔn)確判斷所求的概率是哪個量(長度、面積、體積或角度)的比值.解析:
如圖所示,用集合的觀點發(fā)現(xiàn)A∪B不一定為全集,故選項A錯誤.同理可以檢驗出選項B正確,選項C,D錯誤.答案:
B2.在第3、6路公共汽車的一個??空?假定這個車站只能停靠一輛公共汽車),有一位乘客需在5分鐘之內(nèi)乘上公共汽車趕到廠里,他可乘3路或6路公共汽車到廠里.已知3路車、6路車在5分鐘之內(nèi)到此車站的概率分別為0.20和0.60,則該乘客在5分鐘內(nèi)能乘上所需車的概率為(
)A.0.20 B.0.60C.0.80 D.0.12解析:
由車站只停靠一輛公共汽車,所以3路車??颗c6路車停靠為互斥事件,由互斥事件加法公式有0.20+0.60=0.80.答案:
C答案:
A答案:
B5.給出以下四個說法:①將一枚硬幣拋擲兩次,設(shè)事件A:“兩次都出現(xiàn)正面”,事件B:“兩次都出現(xiàn)反面”,則事件A與B是對立事件;②在命題①中,事件A與B是互斥事件;③在10件產(chǎn)品中有3件是次品,從中任取3件.事件A:“所取3件中最多有2件是次品”,事件B:“所取3件中至少有2件是次品”,則事件A與B是互斥事件;④兩個事件對立必然互斥,反之不成立.則正確說法的序號為________.解析:
①③不正確,②④正確.答案:
②④8.現(xiàn)有分別寫著1,2,3,4,5的5張白色卡片、5張黃色卡片和5張紅色卡片,每次試驗抽取一張,對i=1,2,3,4,5,作如下約定:若取到一張寫著數(shù)字i的白色卡片,則得i分;若取到一張寫著數(shù)字i的黃色卡片,則得i+1分;若取到一張寫著數(shù)字i的紅色卡片,則得i+2分.(1)求得分為3分的概率;(2)求得分大于3分的概率.答案:
B答案:
D3.(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù),其和為5的概率是________.4.(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售季度內(nèi),每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元,未售出的產(chǎn)品,每1t虧損300元.根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130t該農(nóng)產(chǎn)品.以X(單位:t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量,T(單位:元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.(1)將T表示為X的函數(shù);(2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57000元的概率.5.(2013·江西)小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋.游戲規(guī)則為:以O(shè)為起點,再從A1,A2,A3,A4,A5,A6(如圖)這6個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量,記這兩個向量的數(shù)量積為X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋.(1)寫出數(shù)量積X的所有可能取值;(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.分組(質(zhì)量)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)頻數(shù)(個)51020156.(2013·廣東)從一批蘋果中,
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