第十章機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩

機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩第十章1教學(xué)基本要求：掌握描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的各個(gè)物理量（特別是相位）的物理意義及各量間的關(guān)系.掌握描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法，并會(huì)用于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律的討論和分析.掌握簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本特征，能根據(jù)給定的初始條件寫(xiě)出一維簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，并理解其物理意義。理解同方向、同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成規(guī)律，了解拍和相互垂直簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的特點(diǎn).了解阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振的發(fā)生條件及規(guī)律.理解電磁振蕩規(guī)律21.機(jī)械振動(dòng)：物體在一定位置附近的來(lái)回往復(fù)運(yùn)動(dòng).擺的運(yùn)動(dòng)，一切發(fā)聲體的運(yùn)動(dòng)、機(jī)器零部件的顫動(dòng)等.2.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)（simpleharmonicmotion，SHM）:物體離開(kāi)平衡位置的位移（或角位移）按余弦（或正弦）函數(shù)的規(guī)律隨時(shí)間變化，簡(jiǎn)稱諧振動(dòng).諧振子作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體.

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)合成分解§10-1諧振動(dòng)一、諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式3忽略阻力時(shí)，彈簧振子的小幅振動(dòng)和單擺的小角度振動(dòng)。彈簧振子的振動(dòng)4平衡位置振動(dòng)的成因：回復(fù)力+慣性令物體所受力的大小與物體對(duì)其平衡位置成正比且方向相反，這種力稱為線性回復(fù)力，這是物體做諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征.5簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征：加速度與位移的大小x成正比，方向相反.6積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定解方程得：圖圖圖取78

1.振幅：離開(kāi)平衡位置的最大位移.2.周期：完成一次完整振動(dòng)的時(shí)間.3.頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間完成振動(dòng)的次數(shù).

周期

頻率

圓頻率圖二、描述諧振動(dòng)的特征量

9

10彈簧振子周期：周期和頻率僅與振動(dòng)系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)，常稱為固有周期和固有頻率。注意5.常數(shù)A和的確定

對(duì)給定振動(dòng)系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定.11取

討論12分析：

三、諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法13振幅、角頻率以及相位可以非常直觀地表示出來(lái).14

用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫(huà)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的x—t圖15討論相位差：表示兩個(gè)相位之差.

1）對(duì)同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間變化所需的時(shí)間.16同步2）對(duì)于兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差表示它們間步調(diào)上的差異.（解決振動(dòng)合成問(wèn)題）為其它超前落后反相若

=2-1>0,稱x2比x1超前(或x1比x2落后)。17用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系:同相反相

18

（2）求物體從初位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過(guò)A/2處時(shí)的速度；0.0519解:（1）由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知20解:

由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知（負(fù)號(hào)表示速度沿x軸負(fù)方向）

（2）求物體從初位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過(guò)A/2處時(shí)的速度；21解:

因?yàn)椋尚D(zhuǎn)矢量圖可知22（1）t=0s時(shí)，物體所處的位置和所受的力；解:23

代入24代入上式得25

26解法二:起始時(shí)刻t時(shí)刻271.

單擺令轉(zhuǎn)動(dòng)正向時(shí)四、幾種常見(jiàn)的諧振動(dòng)(角諧振動(dòng))28simplependulum*2.

復(fù)擺（可繞固定軸O擺動(dòng)的剛體）令（C點(diǎn)為質(zhì)心）轉(zhuǎn)動(dòng)正向29compoundpendulum總結(jié)：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述和特征4）加速度與位移成正比而方向相反2）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)描述3）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述彈簧振子1）物體受線性回復(fù)力作用平衡位置復(fù)擺單擺30線性回復(fù)力是保守力，作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)機(jī)械能守恒.以彈簧振子為例（振幅的動(dòng)力學(xué)意義）五、諧振動(dòng)的能量31簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)能量圖4T2T43T能量32能量守恒簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)33六、用能量法解諧振動(dòng)問(wèn)題

（1）振動(dòng)的周期；（2）通過(guò)平衡位置的動(dòng)能；（3）總能量；（4）物體在何處其動(dòng)能和勢(shì)能相等？解（1）34時(shí)，由（2）通過(guò)平衡位置的動(dòng)能；（3）總能量；（4）物體在何處其動(dòng)能和勢(shì)能相等？35

振動(dòng)物體不受任何阻力的影響，只在回復(fù)力作用下所作的振動(dòng)，稱為無(wú)阻尼自由振動(dòng)。在回復(fù)力和阻力作用下的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。阻尼：消耗振動(dòng)系統(tǒng)能量的原因。阻尼種類：摩擦阻尼輻射阻尼

對(duì)在流體(液體、氣體)中運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)物體速度較小時(shí)，阻力大小正比于速度:

§10-2阻尼振動(dòng)36

37

38角頻率振幅

阻尼振動(dòng)位移時(shí)間曲線準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng).減幅振動(dòng).振動(dòng)變慢了.阻尼越大，振幅減小的越快，周期越長(zhǎng)。三種阻尼的比較

b）過(guò)阻尼

a）欠阻尼

c）臨界阻尼最快停在平衡位置。3940阻尼的控制機(jī)器：加大摩擦阻尼—減振、防振.聲源、樂(lè)器：加大輻射阻尼—輻射大的聲能.精密儀表：臨界阻尼—較快地、較準(zhǔn)確地進(jìn)行讀數(shù)、測(cè)量.

解：（1）41（2）有阻尼時(shí)（3）4243§10-3受迫振動(dòng)共振

衰減項(xiàng)（減幅振動(dòng)）穩(wěn)態(tài)項(xiàng)（等幅諧振動(dòng)）44

受迫振動(dòng)的位移時(shí)間曲線45

初始階段系統(tǒng)的振動(dòng)較復(fù)雜，可看成減幅振動(dòng)和等幅振動(dòng)的合成。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間達(dá)到穩(wěn)定后的等幅振動(dòng)。46

穩(wěn)態(tài)時(shí)受迫振動(dòng)的表達(dá)式：47

共振頻率：共振振幅：二、共振481.位移共振（displacementresonance）：驅(qū)動(dòng)力的角頻率使位移振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象。49共振頻率大阻尼小阻尼阻尼位移共振特點(diǎn)：驅(qū)動(dòng)力的角頻率略小于系統(tǒng)的固有頻率；阻尼越小，二者越接近，振幅也越大。502.速度共振（velocityresonance）

表明：當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，速度幅值達(dá)到最大值。當(dāng)阻尼很小時(shí)，速度共振與位移共振可以不加區(qū)分。51小號(hào)發(fā)出的聲波足以使酒杯破碎隨后在大風(fēng)中因產(chǎn)生共振而斷塌1940年華盛頓的塔科曼大橋在大風(fēng)中產(chǎn)生振動(dòng)

發(fā)生共振時(shí)由于振幅過(guò)大可能損壞機(jī)器、設(shè)備或建筑。

避免和減小共振的方法：破壞外力的周期性、改變物體的固有頻率5253

由于共振可能引起巨大的損壞，所以在工程技術(shù)中防振和減振是一項(xiàng)十分重要的任務(wù)。

據(jù)報(bào)導(dǎo)，我國(guó)某城市有三棟新建的十一層居民樓經(jīng)常搖晃，引起居民的恐慌。后來(lái)發(fā)現(xiàn)距居民樓800米處有一家鋸石廠，四臺(tái)大功率鋸石機(jī)的工作頻率為，恰好等于居民樓的固有頻率，樓的搖晃原來(lái)是一種共振現(xiàn)象。一、LC振蕩電路無(wú)阻尼自由電磁振蕩（無(wú)能量損耗）LCEKLC

電磁振蕩電路L+CAL+CCLCBLCD§10-4電磁振蕩（電路中電壓和電流的周期性變化）54二、無(wú)阻尼電磁振蕩的振蕩方程K++++A----BLC電磁振蕩電路5556

電路中任一時(shí)刻的電流：

﹡無(wú)阻尼自由振蕩中的電荷和電流隨時(shí)間的變化

O﹡57三、無(wú)阻尼電磁振蕩的能量

58

例在LC電路中，已知，初始時(shí)兩極板間的電勢(shì)差，且電流為零.求：（1）振蕩頻率；（2）最大電流；當(dāng)時(shí)59

例在LC電路中，已知，初始時(shí)兩極板間的電勢(shì)差，且電流為零.求：（3）電容器兩極板間的電場(chǎng)能量隨時(shí)間變化的關(guān)系；（4）自感線圈中的磁場(chǎng)能量隨時(shí)間變化的關(guān)系；

（5）證明在任意時(shí)刻電場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量之和總是等于初始時(shí)的電場(chǎng)能量.60

LRC

電路在外加周期性電動(dòng)勢(shì)持續(xù)作用下產(chǎn)生的振蕩，稱為受迫振蕩。受迫振蕩微分方程：穩(wěn)定狀態(tài)下其解為：四、受迫振蕩電共振電動(dòng)勢(shì)61其中—感抗—電抗—容抗1Cw—阻抗62周期性電動(dòng)勢(shì)作用下，電流振幅達(dá)到最大值電共振

當(dāng)電路滿足時(shí)，電流振幅最大即收音機(jī)中的調(diào)諧，即調(diào)節(jié)電容器的電容使電路與其某一種頻率的無(wú)線電信號(hào)發(fā)生共振，以選取電臺(tái).63

鑒于電磁振蕩和機(jī)械振動(dòng)的規(guī)律類似，應(yīng)用力電類比可把電磁振蕩和機(jī)械振動(dòng)對(duì)應(yīng)起來(lái)，具體關(guān)系如下表所示：機(jī)械振動(dòng)電磁振蕩(串聯(lián)電路)位移

x速度

v質(zhì)量

m勁度系數(shù)

k阻力系數(shù)

γ驅(qū)動(dòng)力

F彈性勢(shì)能

kx2/2動(dòng)能

mv2/2電荷

q電流

i電感L電容的倒數(shù)

1/C電阻

R電動(dòng)勢(shì)

ε電場(chǎng)能量

q2/2C磁場(chǎng)能量

Li2/2五、力電對(duì)比64一兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成后仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)§10-5一維諧振動(dòng)的合成651）相位差討論662）相位差673）一般情況2）相位差1）相位差相互加強(qiáng)相互削弱68二多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)692）1）

個(gè)矢量依次相接構(gòu)成一個(gè)閉合的多邊形.討論70三兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成頻率較大而頻率之差很小的兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍.71合振動(dòng)頻率振幅部分討論,的情況

方法一72合振動(dòng)頻率振幅部分振幅

振動(dòng)頻率拍頻（振幅變化的頻率）73

方法二：旋轉(zhuǎn)矢量合成法74（拍在聲學(xué)和無(wú)線電技術(shù)中的應(yīng)用）拍頻振幅

振動(dòng)圓頻率75思考：什么是拍的現(xiàn)象？產(chǎn)生的條件是什么？如果兩振動(dòng)的振幅不等，即是否也有拍現(xiàn)象？答：頻率相近的兩具同方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成后，合振動(dòng)為振幅隨時(shí)間