高中數(shù)學(xué)人教A版1第二章圓錐曲線與方程拋物線 課時(shí)提升作業(yè)(十七)

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(十七)拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1.(2023·安徽高考)拋物線y=14x2=-1 =-2=-1 =-2【解析】選=14x2?x22.(2023·大連高二檢測(cè))點(diǎn)M(5，3)到拋物線y=ax2準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的方程是()=12x2 =12x2或y=-36x2=-36x2 =112x2或y=-136【解析】選D.分兩類a>0，a<0可得y=112x2，y=-136x3.拋物線y2=ax(a≠0)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是()A.|a|4 B.|a|2【解析】選B.因?yàn)閥2=ax，所以p=|a|2，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.(2023·青島高二檢測(cè))已知等軸雙曲線C與拋物線x2=4y有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，則雙曲線C的方程為()=1 x22=1 y22【解析】選A.拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為(0，1)，由題意，得雙曲線的焦點(diǎn)為(0，1)，所以設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2-x2b2=1(a>0，b>0)，且a=b,5.(2023·重慶高二檢測(cè))O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2=42x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|=42，則△POF的面積為() B.2 3 【解題指南】由|PF|=42及拋物線的定義求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而求出面積.【解析】選C.拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-2，焦點(diǎn)F(2，0)，由|PF|=42及拋物線的定義知，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)xP=32，從而yP=±26，所以S△POF=12|OF|·|yP|=12×2×2二、填空題(每小題5分，共15分)6.(2023·邢臺(tái)高二檢測(cè))若點(diǎn)P到直線y=-1的距離比它到點(diǎn)(0，3)的距離小2，則點(diǎn)P的軌跡方程是________.【解析】由題意可知點(diǎn)P到直線y=-3的距離等于它到點(diǎn)(0，3)的距離，故點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(0，3)為焦點(diǎn)，以y=-3為準(zhǔn)線的拋物線，且p=6，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=12y.答案：x2=12y7.若拋物線y2=-2px(p>0)上有一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為-9，它到焦點(diǎn)的距離為10，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為________.【解析】由拋物線方程y2=-2px(p>0)，得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(-p2，0)，準(zhǔn)線方程為x=p2，設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d，則d=|MF|=10，即所以p=2，故拋物線方程為y2=-4x.將M(-9，y)代入拋物線方程，得y=±6，所以M(-9，6)或M(-9，-6).答案：(-9，-6)或(-9，6)【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2023·皖南八校聯(lián)考)若拋物線y2=2x上一點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為3，則點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離為________.【解析】設(shè)M(x，y)，則由y得x2+2x-3=0.解得x=1或x=-3(舍).所以點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離d=1--12=答案：38.已知F是拋物線y=14x2的焦點(diǎn)，P是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則線段PF中點(diǎn)的軌跡方程是________【解析】由y=14x2得x2=4y，所以F(0，1).設(shè)線段PF的中點(diǎn)M(x，y)，P(x0，y0)，則即x0=2x,y0=2y-1.又P(x0故4x2=4(2y-1)，得x2=2y-1.答案：x2=2y-1三、解答題(每小題10分，共20分)9.(2023·吉林高二檢測(cè))已知?jiǎng)訄AM與直線y=2相切，且與定圓C：x2+(y+3)2=1外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.【解題指南】設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為r，則由題意可得M到C(0，-3)的距離與到直線y=3的距離相等，則動(dòng)圓圓心的軌跡是一條拋物線，其方程易求.【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為r，則由題意可得M到C(0，-3)的距離與到直線y=3的距離相等，則動(dòng)圓圓心的軌跡是以C(0，-3)為焦點(diǎn)，y=3為準(zhǔn)線的一條拋物線，其方程為x2=-12y.10.某河上有一座拋物線形的拱橋，當(dāng)水面距拱頂5米時(shí)，水面寬8米.一木船寬4米，高2米，載貨的木船露在水面上的部分為米，當(dāng)水面上漲到與拱頂相距多少時(shí)，木船開始不能通航？【解題指南】先建立平面直角坐標(biāo)系，確定拋物線的方程，由對(duì)稱性知，木船的軸線與y軸重合，問題轉(zhuǎn)化為求出x=2時(shí)的y值.【解析】以橋的拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，拱高所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖).設(shè)拋物線的方程是x2=-2py(p>0)，由題意知(4，-5)在拋物線上，故：16=-2p×(-5)?p=85則拋物線的方程是x2=-165設(shè)水面上漲，木船兩側(cè)面與拋物線形拱橋接觸于B，B′時(shí)，木船開始不能通航.設(shè)B(2，y′)，所以22=-165y′?y′=-54，即水面與拱頂相距為+故當(dāng)水面上漲到與拋物線形的拱頂相距2米時(shí)，木船開始不能通航.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1.(2023·武漢高二檢測(cè))若點(diǎn)P到點(diǎn)F(0，2)的距離比它到直線y+4=0的距離小2，則點(diǎn)P的軌跡方程為()=8x =-8x=8y =-8y【解析】選C.由題意知點(diǎn)P到點(diǎn)F(0，2)的距離比它到直線y+4=0的距離小2，因此點(diǎn)P到點(diǎn)F(0，2)的距離與到直線y+2=0的距離相等，故點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，y=-2為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為x2=8y.2.已知點(diǎn)A(2，0)，拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|∶|MN|=()∶5 ∶2 ∶5 【解題指南】利用射線FA的斜率和拋物線的定義求解.【解析】選C.射線FA的方程為x+2y-2=0(x≥0).由條件知tanα=12，所以sinα=5由拋物線的定義知|MF|=|MG|，所以|FM||MN|=|MG||MN|=sinα=二、填空題(每小題5分，共10分)3.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P，Q是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，若△PQF是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則p的值是________.【解析】依題意得F(p2，0)，設(shè)P(y122p，y1)，Q(y222p，y2)(y1≠y2).由拋物線定義及|PF|=|QF|，得y122p+p2=y222p+p2，所以y12=y22，所以y答案：2±34.(2023·延邊高二檢測(cè))已知拋物線y=18x2與雙曲線y2a2-x2=1(a>0)有共同的焦點(diǎn)F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P在x軸上方且在雙曲線上，則OP【解析】拋物線y=18x2，即x2=8y的焦點(diǎn)為F(0，2).所以a2=22-12=3，故雙曲線的方程為y23y≥3.OP→=(x，y)，OP→·FP→=x2+y(y-2)=x2+y2-2y=y23+y2-2y-1==43y-3因?yàn)閥=34<3，故函數(shù)t=43y-342-74在[3，+∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)y=3時(shí)，取得最小值，最小值為43×(3)2-2×3-1=3-2答案：3-23三、解答題(每小題10分，共20分)5.(2023·溫州高二檢測(cè))已知點(diǎn)A(0，4)和拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F，若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，求B到該拋物線準(zhǔn)線的距離.【解析】依題意可知F的坐標(biāo)為(p2所以B的坐標(biāo)為(p4，2)代入拋物線方程得p=22所以拋物線準(zhǔn)線方程為x=-2，所以點(diǎn)B到拋物線準(zhǔn)線的距離為22+2=36.拋物線y2=2px(p>0)有一個(gè)內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)是原點(diǎn)，一條直角邊所在直線方程為y=2x，斜邊長(zhǎng)為513，求此拋物線方程.【解析】設(shè)拋物線y