高中數(shù)學人教A版2本冊總復習總復習

1．1回歸分析的基本思想及其初步應用eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(梳)eq\x(理)1．相關關系是一種非確定性關系，回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法，函數(shù)關系是一種確定性關系．2．在線性回歸模型y＝bx＋a＋e中，最小二乘法估計eq\o(a,\s\up6(^))和eq\o(b,\s\up6(^))就是未知參數(shù)a和b的最好估計，其計算公式如下：eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝，其中，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i.另外，稱為樣本點的中心，回歸直線一定過樣本點中心．3．衡量模型擬合效果．(1)殘差：對于樣本點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，它們的隨機誤差為ei＝y(tǒng)i－bxi－a，i＝1，2，3，…，n，其估計值為eq\o(e,\s\up6(^))i＝y(tǒng)i－eq\o(y,\s\up6(^))i＝y(tǒng)i－eq\o(b,\s\up6(^))xi－eq\o(a,\s\up6(^))，i＝1，2，…，n，eq\o(e,\s\up6(^))i稱為相應于點(xi，yi)的殘差．(2)殘差圖：我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號、身高數(shù)據(jù)或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適．這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高．(3)殘差分析：可以通過殘差發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷所建立模型的擬合效果．(4)相關指數(shù)：計算公式是R2＝.其中殘差平方和為總偏差平方和為R2的值越大說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好，R2的值表示解釋變量對預報變量變化的貢獻率，R2的值越接近于1，表示回歸的效果越好．,eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(自)eq\x(測)1．下列結論正確的是(C)①函數(shù)關系是一種確定性關系；②相關關系是一種非確定性關系；③回歸分析是對具有函數(shù)關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種方法；④回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④解析：根據(jù)函數(shù)關系、相關關系、回歸分析的概念可知選C.2．下列有關回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的敘述：①反映eq\o(y,\s\up6(^))與x之間的函數(shù)關系；②反映y與x之間的函數(shù)關系；③表示eq\o(y,\s\up6(^))與x之間不確定關系；④表示最接近y與x之間真實關系的一條直線．其中正確的是(D)A．①②B．②③C．③④D．①④解析：eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋eq\o(a,\s\up6(^))表示eq\o(y,\s\up6(^))與x之間的函數(shù)關系，而不是y與x之間的函數(shù)關系，但它反映的關系最接近y與x之間的真實關系．故選D.3．已知回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋1，而試驗得到一組數(shù)據(jù)是(2，，(3，，(4，，則殘差平方和是(C)A．B．C．D．解析：－5)2＋－7)2＋－9)2＝.故選C.4．有下列數(shù)據(jù)：x123y3下列四個函數(shù)中，模擬效果最好的為(A)A．y＝3×2x－1B．y＝log2xC．y＝3xD．y＝x2解析：當x＝1，2，3時，分別代入求y值，離y最近的值模擬效果最好，知A模擬效果最好．故選A.eq\a\vs4\al(（一）重點)通過實際操作進一步理解建立兩相關變量的線性回歸模型的思想，求線性回歸方程，判斷回歸模型擬合的好壞．eq\a\vs4\al(（二）難點)殘差變量的解釋與分析及指標R2的理解．eq\a\vs4\al(（三）知識結構圖)eq\a\vs4\al(（四）思維總結)(1)求回歸直線方程的一般方法．①作出散點圖，將問題所給的數(shù)據(jù)在平面直角坐標系中描點，這樣表示出的具有相關關系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形就是散點圖，從散點圖中我們可以看出樣本點是否呈條狀分布，從而判斷兩個變量是否線性相關．②求回歸系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，其中稱為殘差平方和，殘差平方和在一定程度上反映了所選回歸模型的擬合效果．殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好；殘差平方和越大，說明擬合效果越差．③通過殘差分析判斷模型擬合效果：先計算出殘差eq\o(e,\s\up6(^))i＝y(tǒng)i－eq\o(y,\s\up6(^))i＝y(tǒng)i－eq\o(b,\s\up6(^))xi－eq\o(a,\s\up6(^))，i＝1，2，…，n，然后橫坐標選取為樣本編號、解釋變量或預報變量，縱坐標為殘差，作出殘差圖．通過圖形分析，如果樣本點的殘差較大，就要分析樣本數(shù)據(jù)的采集是否有錯誤；另一方面，可以通過殘差點分布的水平帶狀區(qū)域的寬窄說明模型擬合效果，反映回歸方程的預報精度．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高．(3)相關指數(shù)R2.①相關指數(shù)的計算公式是R2＝其中為殘差平方和．相關指數(shù)用來刻畫回歸模型擬合的效果，R2的值越大，說明模型的擬合效果越好；R2的值越小，說明擬合效果越差．②如果某組樣本數(shù)據(jù)可以采取幾種不同的回歸模型進行回歸分析，則可以通過比較R2的值來作出選擇，即選擇R2值大的模型作為這組數(shù)據(jù)的回歸模型．③在線性回歸模型中R2是刻畫回歸效果的量，即表示回歸模型的擬合效果，也表示解釋變量和預報變量的線性相關關系．R2表示解釋變量對預報變量變化的貢獻率．1．建立回歸模型的基本步驟為：(1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量．(2)畫出解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系(如是否存在線性關系等)．(3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型(如觀察到數(shù)據(jù)呈線性關系，則選用線性回歸方程)．(4)按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計回歸方程中的參數(shù)．(5)得出結果后分析殘差圖是否有異常(如個別數(shù)據(jù)對應殘差過大，殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性等)．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．2．分析兩個變量相關關系的常用方法有：(1)利用散點圖進行判斷：把樣本數(shù)據(jù)表示的點在平面直角坐標系中作出，從而得到散點圖，如果這些點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，那么就說這兩個變量之間具有線性相關關系．(2)利用相關指數(shù)R2進行判斷．3．對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析時，首先進行相關性檢驗，在確認具有線性相關關系后，再求回歸直線方程．對于非線性回歸問題，可以轉化為線性回歸問題去解決．1．在回歸分析中，代表了數(shù)據(jù)點和它在回歸直線上相應位置的差異的是(B)A．總偏差平方和B．殘差平方和C．回歸平方和D．相關指數(shù)R22．下列說法正確的有(C)①回歸方程適用于一切樣本和總體；②回歸方程一般都有時間性；③樣本取值的范圍會影響回歸方程的使用范圍；④回歸方程得到的預報值是預報變量的精確值．A．①②B．①③C．②③D．③④解析：①回歸方程只適用于我們研究的樣本和總體．②我們所建立的回歸方程一般都有時間性．③樣本取值的范圍會影響回歸方程的適用范圍．④回歸方程得到的預報值是預報變量的可能取值的平均值，并非準確值，故②③正確．3．已知回歸直線方程中斜率的估計值為，樣本點的中心(4，5)，則回歸直線方程為(A)\o(y,\s\up6(^))＝＋\o(y,\s\up6(^))＝＋\o(y,\s\up6(^))＝＋4\o(y,\s\up6(^))＝＋5解析：回歸直線方程過樣本點的中心，把點(4，5)代入A項成立．4．某調查者從調查中獲知某公司近年來科研費用支出(xi)萬元與公司所獲得利潤(yi)萬元的統(tǒng)計資料如下表：序號科研費用支出xi利潤yixiyixeq\o\al(2,i)1531155252114044012134301201645341702553257596220404合計301801000200則利潤(yi)對科研費用支出(xi)的線性回歸方程為________．解析：把表中數(shù)據(jù)代入公式求解得線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋20.1．一項研究要確定是否能夠根據(jù)施肥量預測作物的產量，這里的解釋變量是(B)A．作物的產量B．施肥量C．試驗者D．降雨量或其他解釋產量的變量解析：作物的產量為預報變量，故施肥量為解釋變量．2．對兩個變量x和y進行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則下列說法中不正確的是(C)A．由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過樣本點的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．用R2來刻畫回歸效果，R2的值越小，說明模型擬合的效果越好D．在研究身高和體重關系時，求得R2＝，可以敘述為“身高解釋了64%的體重變化，而隨機誤差貢獻了剩余的36%，”所以身高對體重的效應比隨機誤差的效應大解析：R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合程度效果越好．3．下表是某工廠6～9月份電量(單位：萬度)的一組數(shù)據(jù)：月份x6789用電量y6532由散點圖可知，用電量y與月份x間有較好的線性相關關系，其線性回歸直線方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋a，則a等于(D)A．B．C．D．解析：由題知eq\o(x,\s\up6(－))＝，eq\o(y,\s\up6(－))＝4，代入方程解得a＝，故選D.4．已知回歸直線方程中斜率的估計值為，樣本點的中心(1，2)，則回歸直線在y軸上截距為(A)A．－3，43B．3，43C．1D．2解析：回歸直線方程過樣本點的中心，把點(1，2)代入求得y軸上截距為－.5．某考察團對全國10大城市進行職工人均工資水平x(千元)與居民人均消費水平y(tǒng)(千元)統(tǒng)計調查，y與x具有相關關系，回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.若某城市居民人均消費水平為千元，估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為(A)A．83%B．72%C．67%D．66%解析：將y＝代入回歸方程，可計算得x≈，所以該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為÷≈，即約為83%.6．設(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是變量x和y的n個樣本點，直線l是由這些樣本點通過最小乘法得到的線性回歸直線(如右圖)，以下結論正確的是(A)A．直線l過點(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))B．x和y的相關系數(shù)為直線l的斜率C．x和y的相關系數(shù)在0到1之間D．當n為偶數(shù)時，分布在l兩側的樣本點的個數(shù)一定相同7．下列關系：①人的年齡與他(她)擁有的財富之間的關系；②曲線上的點與該點的坐標之間的關系；③蘋果的產量與氣候之間的關系；④森林中的同一種樹木，其斷面直徑與高度之間的關系；⑤學生與他(她)的學號之間的關系，其中有相關關系的是________．(填序號)答案：①③④8．若施肥量x與水稻產量y的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝5x＋250，當施肥量為80kg時，預報水稻產量為________．解析：當x＝80kg時，eq\o(y,\s\up6(^))＝5×80＋250＝650kg.答案：650kg9．已知方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－是根據(jù)女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，其中x的單位是cm，eq\o(y,\s\up6(^))的單位是kg，那么針對某個體(160，53)的殘差是________．解析：將x＝160代入eq\o(y,\s\up6(^))＝－，得eq\o(y,\s\up6(^))＝×160－＝，所以殘差eq\o(e,\s\up6(^))＝y(tǒng)－eq\o(y,\s\up6(^))＝53－＝－.答案：－10．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù).x3456y34(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖．(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).(3)已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤．(參考數(shù)值：3×＋4×3＋5×4＋6×＝解析：(1)所求散點圖如下圖所示：(2)eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝3×＋4×3＋5×4＋6×＝，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f＋3＋4＋,4)＝，故所求線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(3)根據(jù)回歸方程的預測，現(xiàn)在生產100噸產品消耗的標準煤的數(shù)量為×100＋＝，故耗能減少了90－＝噸標準煤．?品味高考1．(2023·湖北卷)四名同學根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關關系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結論：①y與x負相關且eq\o(y,\s\up6(^))＝－；②y與x負相關且eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋；③y與x正相關且eq\o(y,\s\up6(^))＝＋；④y與x正相關且eq\o(y,\s\up6(^))＝－－.其中一定不正確的結論的序號是(D)A．①②B．②③C．③④D．①④解析：由回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，知當eq\o(b,\s\up6(^))＞0時，y與x正相關；當eq\o(b,\s\up6(^))＜0時，y與x負相關．∴①④一定錯誤．故選D.2．(2023·福建卷)已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，若某同學根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1，0)和(2，2)求得的直線方程為y′＝b′x＋a′，則以下結論正確的是(C)\o(b,\s\up6(^))＞b′，eq\o(a,\s\up6(^))＞a′\o(b,\s\up6(^))＞b′，eq\o(a,\s\up6(^))＜a′\o(b,\s\up6(^))＜b′，eq\o(a,\s\up6(^))＞a′\o(b,\s\up6(^))＜b′，eq\o(a,\s\up6(^))＜a′解析：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(21,6)＝eq\f(7,2)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(13,6)，代入公式求得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(58－6×\f(7,2)×\f(13,6),91－6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))\s\up12(2))＝eq\f(5,7)，eq\o(a,\s\up6(^)