高中數學人教A版第二章數列等比數列 第二章

學習目標1.通過實例，理解等比數列的概念并學會簡單應用.2.掌握等比中項的概念并會應用.3.掌握等比數列的通項公式并了解其推導過程．知識點一等比數列的概念思考觀察下列4個數列，歸納它們的共同特點．①1,2,4,8,16，…；②1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，…；③1,1,1,1，…；④－1,1，－1,1，….答案從第2項起，每項與它的前一項的比是同一個常數．梳理等比數列的概念和特點．(1)文字定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．(2)遞推公式形式的定義：eq\f(an,an－1)＝q(n>1)(或eq\f(an＋1,an)＝q，n∈N*)．(3)等比數列各項均不能為0.知識點二等比中項的概念思考在2,8之間插入一個數，使之成等比數列．這樣的實數有幾個？答案設這個數為G.則eq\f(G,2)＝eq\f(8,G)，G2＝16，G＝±4.所以這樣的數有2個．梳理等比中項與等比中項的異同，對比如下表：對比項等差中項等比中項定義若a，A，b成等差數列，則A叫做a與b的等差中項若a，G，b成等比數列，則G叫做a與b的等比中項定義式A－a＝b－Aeq\f(G,a)＝eq\f(b,G)公式A＝eq\f(a＋b,2)G＝±eq\r(ab)個數a與b的等差中項唯一a與b的等比中項有兩個，且互為相反數備注任意兩個數a與b都有等差中項只有當ab＞0時，a與b才有等比中項知識點三等比數列的通項公式思考等差數列通項公式是如何推導的？你能類比推導首項為a1，公比為q的等比數列的通項公式嗎？答案等差數列通項公式的推導是借助累加消去中間項，等比數列則可用累乘．根據等比數列的定義得eq\f(a2,a1)＝q，eq\f(a3,a2)＝q，eq\f(a4,a3)＝q，…，eq\f(an,an－1)＝q(n≥2)．將上面n－1個等式的左、右兩邊分別相乘，得eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝qn－1，化簡得eq\f(an,a1)＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2)．當n＝1時，上面的等式也成立．∴an＝a1qn－1(n∈N*)．梳理等比數列{an}首項為a1，公比為q，則an＝a1qn－1.類型一證明等比數列例1已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，設f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首項為4，公差為2的等差數列，求證：數列{an}是等比數列．證明由題意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman，∴an＝m2n＋2，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(m2n＋1＋2,m2n＋2)＝m2，∵m＞0且m≠1，∴m2為非零常數，∴數列{an}是等比數列．反思與感悟判斷一個數列是否為等比數列的方法是利用定義，即eq\f(an＋1,an)＝q(與n無關的常數)．跟蹤訓練1已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝eq\f(1,3)(an－1)(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)證明：數列{an}是等比數列．(1)解∵a1＝S1＝eq\f(1,3)(a1－1)，∴a1＝－eq\f(1,2).又a1＋a2＝S2＝eq\f(1,3)(a2－1)，∴a2＝eq\f(1,4).(2)證明∵Sn＝eq\f(1,3)(an－1)，∴Sn＋1＝eq\f(1,3)(an＋1－1)，兩式相減得an＋1＝eq\f(1,3)an＋1－eq\f(1,3)an，即an＋1＝－eq\f(1,2)an，∴數列{an}是首項為－eq\f(1,2)，公比為－eq\f(1,2)的等比數列．類型二等比數列通項公式的應用命題角度1方程思想例2一個等比數列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項．解設這個等比數列的第1項是a1，公比是q，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝12，①,a1q3＝18，②))②÷①，得q＝eq\f(3,2)，將q＝eq\f(3,2)代入①，得a1＝eq\f(16,3).因此，a2＝a1q＝eq\f(16,3)×eq\f(3,2)＝8.綜上，這個數列的第1項與第2項分別是eq\f(16,3)與8.反思與感悟已知等比數列{an}的某兩項的值，求該數列的其他項或求該數列的通項常用方程思想，通過已知可以得到關于a1和q的兩個方程，從而解出a1和q，再求其他項或通項．跟蹤訓練2在等比數列{an}中．(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.解(1)由等比數列的通項公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)設等比數列的公比為q，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝20，,a1q5＝160，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝2，,a1＝5.))所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.命題角度2等比數列的實際應用例3某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過一年剩余的這種物質是原來的84%，這種物質的半衰期為多長(精確到1年，放射性物質衰變到原來的一半所需時間稱為這種物質的半衰期)解設這種物質最初的質量是1，經過n年，剩余量是an，由條件可得，數列{an}是一個等比數列．其中a1＝，q＝，設an＝，則＝.兩邊取對數，得nlg＝lg，用計算器算得n≈4.答這種物質的半衰期大約為4年．反思與感悟等比數列應用問題，在實際應用問題中較為常見，解題的關鍵是弄清楚等比數列模型中的首項a1，項數n所對應的實際含義．跟蹤訓練3某制糖廠2023年制糖5萬噸，如果從2023年起，平均每年的產量比上一年增加20%，那么到哪一年，該糖廠的年制糖量開始超過30萬噸？(保留到個位，lg6≈，lg≈解記該糖廠每年制糖產量依次為a1，a2，a3，…，an，….則依題意可得a1＝5，eq\f(an,an－1)＝(n≥2且n∈N*)，從而an＝5×－1，這里an＝30，故－1＝6，即n－1＝＝eq\f(lg6,lg＝eq\f,≈.故n＝11.答從2023年開始，該糖廠年制糖量開始超過30萬噸．類型三等比中項例4若1，a,3成等差數列，1，b,4成等比數列，則eq\f(a,b)的值為()A．±eq\f(1,2) \f(1,2)C．1 D．±1答案D解析∵1，a,3成等差數列，∴a＝eq\f(1＋3,2)＝2，∵1，b,4成等比數列，∴b2＝1×4，b＝±2，∴eq\f(a,b)＝eq\f(2,±2)＝±1.反思與感悟(1)任意兩個實數都有唯一確定的等差中項；(2)只有同號的兩個實數才有實數等比中項，且一定有2個．跟蹤訓練4eq\r(2)＋1與eq\r(2)－1的等比中項是()A．1 B．－1C．±1 \f(1,2)答案C解析設x為eq\r(2)＋1與eq\r(2)－1的等比中項，則x2＝(eq\r(2)＋1)(eq\r(2)－1)＝1.∴x＝±1.1．在等比數列{an}中，a1＝8，a4＝64，則a3等于()A．16 B．16或－16C．32 D．32或－32答案C解析由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝eq\f(a4,q)＝32.2．若等比數列的首項為4，末項為128，公比為2，則這個數列的項數為()A．4B．8C．6D．32答案C解析由等比數列的通項公式得，128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.3．已知等比數列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于()A．64 B．81C．128 D．243答案A解析∵{an}為等比數列，∴eq\f(a2＋a3,a1＋a2)＝q＝2.又a1＋a2＝3，∴a1＝1，故a7＝1·26＝64.4．45和80的等比中項為________．答案－60或60解析設45和80的等比中項為G，則G2＝45×80，∴G＝±60.1．等比數列的判斷或證明(1)利用定義：eq\f(an＋1,an)＝q(與n無關的常數)．(2)利用等比中項：aeq\o\al(2,n＋1)＝anan＋2(n∈N*)．2．兩個同號的實數a、b才有等比中項，而且它們的等比中項有兩個(±eq\r(ab))，而不是一個(eq\r(ab))，這是容易忽視的地方．3．等比數列的通項公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四個量，已知其中三個量可求得第四個量．40分鐘課時作業(yè)一、選擇題1．在等比數列{an}中，a4＝4，則a2·a6等于()A．4 B．8C．16 D．32答案C解析由于aeq\o\al(2,4)＝a2·a6，所以a2·a6＝16.2．在等比數列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，則a4＋a5的值為()A．16 B．27C．36 D．81答案B解析∵a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.3．等比數列x,3x＋3,6x＋6，…的第4項等于()A．－24 B．0C．12 D．24答案A解析由x,3x＋3,6x＋6成等比數列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x1＝－3或x2＝－1(不合題意，舍去)．故數列的第四項為－24.4．如果－1，a，b，c，－9成等比數列，那么()A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9答案B解析∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b與首項－1同號，∴b＝－3，且a，c必同號．∴ac＝b2＝9.5．在等比數列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，則m等于()A．9B．10C．11D．12答案C解析在等比數列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aeq\o\al(5,1)q10＝q10.∵am＝a1qm－1＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.6．已知a，b，c，d成等比數列，且曲線y＝x2－2x＋3的頂點是(b，c)，則ad等于()A．3 B．2C．1 D．－2答案B解析∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.又∵a，b，c，d成等比數列，∴ad＝bc＝2.二、填空題7．在等比數列{an}中，若a3＝3，a10＝384，則公比q＝________.答案2解析a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，兩式相除得，q7＝128，所以q＝2.8．在160與5中間插入4個數，使它們同這兩個數成等比數列，則這4個數依次為________．答案80,40,20,10解析設這6個數所成等比數列的公比為q，則5＝160q5，∴q5＝eq\f(1,32)，∴q＝eq\f(1,2).∴這4個數依次為80,40,20,10.9．已知6，a，b,48成等差數列，6，c，d,48成等比數列，則a＋b＋c＋d＝________.答案90解析6，a，b,48成等差數列，則a＋b＝6＋48＝54；6，c，d,48成等比數列，設其公比為q，則q3＝eq\f(48,6)＝8，q＝2，故c＝12，d＝24，從而a＋b＋c＋d＝90.10．數列{an}是等差數列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5構成公比為q的等比數列，則q＝________.答案1解析設等差數列的公差為d，則a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1，∴q＝eq\f(a3＋3,a1＋1)＝eq\f(a1－2＋3,a1＋1)＝1.三、解答題11．若a，b是函數f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個不同的零點，且a，b，－2這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，求p＋q的值．解依題意得a＋b＝p＞0，ab＝q＞0，∴a＞0，b＞0，∴eq\f(a＋b,2)≠－2，b2≠－2a，a2≠－2b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋－2,2)＝b或\f(b＋－2,2)＝a，,－22＝ab，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝1，))∴p＋q＝a＋b＋ab＝1＋4＋4＝9.12．已知{an}為等比數列，a3＝2，a2＋a4＝eq\f(20,3)，求{an}的通項公式．解設等比數列{an}的公比為q，則q≠0.a2＝eq\f(a3,q)＝eq\f(2,q)，a4＝a3q＝2q，∴eq\f(2,q)＋2q＝eq\f(20,3)，解得q1＝eq\f(1,3)，q2＝3.當q＝eq\f(1,3)時，a1＝18，∴an＝18×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1＝2×33－n.當q＝3時，a1＝eq\f(2,9)，∴an＝eq\f(2,9)×3n－1＝2×3n－3.綜上，當q＝eq\f(1,3)時，an＝2×33－n，n∈N*；當q＝3時，an＝2×3n－3，n∈N*