高中數學人教A版1本冊總復習總復習 課后提升作業(yè)十七

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課后提升作業(yè)十七拋物線方程及性質的應用(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2023·大理高二檢測)過點(0,1)且與拋物線y2=4x只有一個公共點的直線有()條 條 條 條【解析】選C.易知過點(0,1),斜率不存在的直線為x=0,滿足與拋物線y2=4x只有一個公共點.當斜率存在時,設直線方程為y=kx+1,再與y2=4x聯立整理得k2x2+(2k-4)x+1=0,當k=0時,方程是一次方程,有一個解,滿足一個交點;當k≠0時,由Δ=0可得k值有一個,即有一個公共點,所以滿足題意的直線有3條.2.拋物線y2=3x關于直線y=x對稱的拋物線方程為()=13x =13y 【解題指南】利用點(x,y)關于y=x的對稱點為(y,x)進行求解.【解析】選B.因為點(x,y)關于y=x的對稱點為(y,x),所以y2=3x關于y=x對稱的拋物線方程為x2=3y.3.拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是()A.43 B.75 C.8【解析】選A.設拋物線y=-x2上一點為(m,-m2),該點到直線4x+3y-8=0的距離為|4m-3m2-8|5【一題多解】選A.設與4x+3y-8=0平行的直線l方程為:4x+3y+m=0,由y=-x2由Δ=0得,16+12m=0,解得m=-43所以l的方程為4x+3y-43因此拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0的距離的最小值是d=-8--44.(2023·成都高二檢測)拋物線y2=4x的焦點為F,點P為拋物線上的動點,點M為其準線上的動點,當△FPM為等邊三角形時,其面積為()3 3【解析】選D.根據題意知,△FPM為等邊三角形,|PF|=|PM|=|FM|,所以PM⊥拋物線的準線.設Pm2等邊三角形邊長為1+m2又由F(1,0),|PM|=|FM|,得1+m24=得m=23,所以等邊三角形的邊長為4,其面積為43.5.(2023·全國卷Ⅰ)已知橢圓E的中心為坐標原點,離心率為12,E的右焦點與拋物線C:y2=8x的焦點重合,點A,B是C的準線與E的兩個交點,則A 【解析】選B.設橢圓E的方程為x2a2右焦點為(c,0),依題意得c=2,由b2=a2-c2=16-4=12,所以橢圓E的方程為x216+因為拋物線C:y2=8x的準線為x=-2,將x=-2代入到x216+解得A(-2,3),B(-2,-3),故AB6.已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的縱坐標為2,則該拋物線的準線方程為()=1 =-1=2 =-2【解析】選B.設A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得:y1(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).又因為y1+y2=4,所以y1-y2x所以所求拋物線的準線方程為x=-1.7.(2023·蘭州高二檢測)斜率為1,過拋物線y=14x2 【解析】選A.設弦的端點為A(x1,y1),B(x2,y2),易知直線方程為y=x+1,直線方程與拋物線方程聯立,消元得:14x2所以x1+x2=4,x1x2=-4,所以弦長l=2(8.(2023·商丘高二檢測)已知拋物線x2=4y上有一條長為6的動弦AB,則AB的中點到x軸的最短距離為()A.34 B.32 【解析】選D.由題意知,拋物線的準線l:y=-1,過A作AA1⊥l于A1,過B作BB1⊥l于B1,設弦AB的中點為M,過M作MM1⊥l于M1,則|MM1|=|A|AB|≤|AF|+|BF|(F為拋物線的焦點),即|AF|+|BF|≥6,|AA1|+|BB1|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3,故M到x軸的距離d≥2.【拓展延伸】“兩看兩想”的應用與拋物線有關的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關.“看到準線想焦點,看到焦點想準線”,這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑.【補償訓練】已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點,則點P到點(0,2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為()A.172 C.5 D.【解析】選A.拋物線y2=2x的焦點為F12,0,準線是l,由拋物線的定義知點P到焦點F的距離等于它到準線l的距離,因此要求點P到點(0,2)的距離與點P到拋物線的準線的距離之和的最小值,可以轉化為求點P到點(0,2)的距離與點P到焦點F的距離之和的最小值,不難得出相應的最小值就等于焦點F到點(0,2)的距離.因此所求的最小值等于12二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2023·臨沂高二檢測)直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個公共點,則k=________.【解析】當k=0時,直線與拋物線有唯一交點,當k≠0時,聯立方程消y得:k2x2+4(k-2)x+4=0,由題意Δ=16(k-2)2-16k2=0,所以k=1.答案:0或110.拋物線y2=x上的點到直線x-2y+3=0的距離最短的點的坐標是________.【解析】設與直線x-2y+3=0平行的直線方程為x-2y+m=0,與拋物線方程y2=x聯立成方程組x-2y+m=0,y2=x,消去x得y2-2y+m=0,令Δ=(-2)2-4m=0,解得m=1,代入y2-2y+m=0中得y答案:(1,1)三、解答題(每小題10分,共20分)11.(2023·寧波高二檢測)已知拋物線C:y2=4x,F是拋物線C的焦點,過點F的直線l與C相交于A,B兩點,O為坐標原點.(1)如果l的斜率為1,求以AB為直徑的圓的方程.(2)設|FA|=2|BF|,求直線l的方程.【解析】設A(x1,y1),B(x2,y2).(1)因為y2=4x,所以F(1,0),又因為直線l的斜率為1,所以直線l的方程為y=x-1,代入y2=4x,得x2-6x+1=0,由根與系數的關系得x1即圓心的坐標為(3,2),又|AB|=x1+x2+p=8,所以圓的半徑r=4,所以所求的圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16.(2)因為|FA|=2|BF|,所以FA→=2而FA→=(x1-1,y1),BF→=(1-x所以x易知直線l的斜率存在,設直線l的斜率為k,則直線l的方程為y=k(x-1),代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由根與系數的關系得x因為x1-1=2(1-x2),所以x1=1,x2=1所以直線l的方程為y=±22(x-1).【補償訓練】已知頂點在原點,焦點在x軸的負半軸的拋物線截直線y=x+32所得的弦長|P1P2|=42【解析】設拋物線方程為y2=-2px(p>0),把直線方程與拋物線方程聯立得y=x+32,y判別式Δ=(3+2p)2-9=4p2+12p>0,解得p>0或p<-3(舍去),設P1(x1,y1),P2(x2,y2),則①中由根與系數的關系得x1+x2=-(3+2p),x1·x2=94代入弦長公式得1+1·(3+2p)解得p=1或p=-4(舍去),把p=1代入拋物線方程y2=-2px(p>0)中,得y2=-2x.綜上,所求拋物線方程為y2=-2x.12.過拋物線y2=2px(p>0)上一定點P(x0,y0)(y0≠0)分別作斜率為-k和k的直線l1,l2,設l1,l2與拋物線y2=2px交于A,B兩點,證明直線AB的斜率為定值.【證明】設A(x1,y1),B(x2,y2),由y2y2-2pky+2p由根與系數的關系得y0+y1=2p所以y1=2pk-y同理y0+y2=-2pk,所以y2=-2p由①,②得y1+y2=-2y0,所以kAB=y2-y1x2-即直線AB的斜率為定值.【能力挑戰(zhàn)題】已知拋物線方程為y2=-2px,其準線方程為x=14,直線l(1)求證:OA⊥OB.(2)當△OAB的面積等于5時,求k的值.【解析】(1)因為拋物線y2=-2px的準線方程為x=14,所以p2=14即拋物線的方程為y2=-x,聯立y=k(x+1),消去x后,整理得:ky2+y-k=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數的關系得:y1+y2=-1k,y1y