高中數(shù)學(xué)人教A版第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系 習(xí)題課直線與平面垂直

習(xí)題課直線與平面垂直一、選擇題(每個(gè)5分，共30分)1．直線a與直線b垂直，直線b⊥平面α，則直線a與平面α的位置關(guān)系是()A．a(chǎn)⊥αB．a(chǎn)∥αC．a(chǎn)?αD．a(chǎn)?α或a∥α答案：D解析：直線a?α或a∥α.2．一點(diǎn)P到平面四邊形ABCD四條邊的距離相等，則四邊形ABCD是()A．某圓的內(nèi)接四邊形B．某圓的外切四邊形C．正方形D．任意四邊形答案：B解析：作PO⊥面ABCD，∵P到各邊的距離都相等，∴O到各邊的距離也相等．故四邊形應(yīng)為某圓的外切四邊形．3．若一條直線a與平面α內(nèi)的一條直線b所成的角為30°，則下列說(shuō)法正確的是()A．直線a與平面α所成的角為30°B．直線a與平面α所成的角大于30°C．直線a與平面α所成的角小于30°D．直線a與平面α所成的角不超過(guò)30°答案：D解析：因?yàn)橹本€與平面所成的角為直線與平面內(nèi)所有直線所成的角的最小角，因此直線a與平面α所成的角不超過(guò)30°，故選D.4．關(guān)于直線m、n與平面α、β，有下列四個(gè)命題：①m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n；②m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n；③m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥n；④m∥α，n⊥β且α⊥β，則m∥n.其中正確命題的序號(hào)是()A．①②B．③④C．①④D．②③答案：D解析：①若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n為錯(cuò)誤命題，可能出現(xiàn)直線相交的情況；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m∥n為錯(cuò)誤命題，可能出現(xiàn)直線相交的情況．在①④的條件下，m、n的位置關(guān)系不確定．5．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若α∥β，m∥n，m⊥α，則n⊥β；②若m∥α，m∥β，則α∥β；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥β.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：對(duì)于①，由α∥β，m⊥α，得m⊥β，再由m∥n，得n⊥β，命題①正確；對(duì)于②，若m∥α，m∥β，則平面α，β可能相交，此時(shí)交線與m平行，故命題②錯(cuò)誤；對(duì)于③，因?yàn)棣痢搔拢絣，可知l?α，又l∥γ，γ∩α＝n，所以l∥n，同理可得l∥m，所以m∥n，命題③正確；對(duì)于④，由n⊥α，n⊥β，得α∥β，再由m⊥α，可得m⊥β，命題④正確．綜上可知，正確命題的個(gè)數(shù)為3.6．如圖，在正方形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，沿MN將四邊形MBCN折起，使點(diǎn)B，C分別落在B1，C1處，且二面角B1－MN－A的大小為120°，則B1D與平面AMND所成的角的正切值為()\f(\r(2),5)\f(4,5)\f(\r(3),5)\f(3,5)答案：C解析：過(guò)點(diǎn)B1作B1E⊥AB于點(diǎn)E，連接DE.由題意，知∠B1MA為二面角B1－MN－A的平面角，∠B1DE為B1D與平面AMND所成的角．設(shè)AB＝2，則MB1＝1，又∠B1MA＝120°，所以∠B1ME＝60°，則ME＝eq\f(1,2).B1E＝eq\f(\r(3),2)，則DE＝eq\r(1＋\f(1,2)2＋22)＝eq\f(5,2)，所以tan∠B1DE＝eq\f(B1E,DE)＝eq\f(\r(3),5)，故選C.二、填空題(每個(gè)5分，共15分)7．PA、PB、PC是從點(diǎn)P引出的三條射線，且每?jī)蓷l射線的夾角都為60°，則PC與面PAB所成的角的余弦值為________．答案：eq\f(\r(3),3)解析：如圖所示，點(diǎn)O為點(diǎn)C在平面PAB內(nèi)的射影，則∠CPO為PC與平面PAB所成的角，作OD⊥PA設(shè)PD＝1，則PC＝2，OP＝eq\f(2\r(3),3).∴cos∠CPO＝eq\f(PO,PC)＝eq\f(\r(3),3).8．設(shè)平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于點(diǎn)S，且點(diǎn)S位于平面α，β之間，AS＝8，BS＝6，CS＝12，則DS＝________.答案：9解析：因?yàn)橹本€AB與CD交于點(diǎn)S，所以A，B，C，D四點(diǎn)共面．又平面α∥平面β，所以BD∥AC，△ACS與△BDS相似，所以eq\f(AS,BS)＝eq\f(CS,DS)，即eq\f(8,6)＝eq\f(12,DS)，所以DS＝9.9．如圖，底面為正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為1，M，N分別為CC1，BB1的中點(diǎn)，則點(diǎn)N到截面A1BM的距離為________答案：eq\f(\r(2),4)解析：如圖，連接B1M.因?yàn)镹為BB1的中點(diǎn)，所以點(diǎn)N到截面A1BM的距離為B1到截面A1BM的距離的eq\f(1,2).設(shè)點(diǎn)B1到截面A1BM的距離為h，因?yàn)閂B1－A1BM＝VM－A1B1B，所以h＝eq\f(3VM－A1B1B,S△A1BM).因?yàn)橹比庵鵄BC－A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為1，M為CC1的中點(diǎn)，所以A1B＝eq\r(2)，BM＝A1M＝eq\f(\r(5),2)，點(diǎn)M到平面A1B1B距離為eq\f(\r(3),2)，等腰三角形A1BM中底邊A1B上的高為eq\f(\r(3),2)，所以h＝eq\f(3VM－A1B1B,S△A1BM)＝eq\f(3×\f(1,3)×\f(\r(3),2)×\f(1,2)×12,\f(1,2)×\r(2)×\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(2),2)，所以點(diǎn)N到截面A1BM的距離為eq\f(\r(2),4).三、解答題10．(15分)如圖，AA1，BB1為圓柱的母線，BC是底面圓的直徑，D，E分別是BB1，A1C的中點(diǎn)(1)證明：DE∥平面ABC；(2)證明：A1B1⊥平面A1AC證明：(1)如圖，取AA1的中點(diǎn)F，連接DF，EF.∵D，E分別是BB1，A1C的中點(diǎn)，∴DF∥AB，EF∥AC∴DF∥平面ABC，EF∥平面ABC.又DF∩EF＝F，∴平面DEF∥平面ABC.又DE?平面DEF，∴DE∥平面ABC.(2)∵AA1，BB1為圓柱的母線，∴AB∥A1B1.∵AA1垂直于底面圓所在的平面，∴AA1⊥AB.又BC是底面圓的直徑，∴AB⊥AC.又AC∩AA1＝A，∴AB⊥平面A1AC又A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面A1AC11．(15分)如圖，在四棱錐E－ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE＝3，DE＝4.(1)求證：平面ADE⊥平面ABCD；(2)求直線BE與平面ABCD所成的角的正弦值．解：(1)∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD.∵CD⊥AD，AE∩AD＝A，AD，AE?平面ADE，∴CD⊥平面ADE.又CD?平面ABCD，∴平面ADE⊥平面ABCD.(2)過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AD于H，連接BH.由(1)，知平面ADE⊥平面ABCD，又平面ADE∩平面ABCD＝AD，∴EH⊥平面ABCD，∴BH為BE在平面ABCD內(nèi)的射影，∴∠EBH為BE與平面ABCD所成的角．又CD∥AB，∴AB⊥平面ADE，∴AB⊥AE，∴△ABE為直角三角形．又AE＝3，DE＝4，∴AD＝5，∴AB＝5，∴BE＝eq\r(34)，且HE＝eq\f(12,5)，∴sin∠EBH＝eq\f(HE,BE)＝eq\f(6\r(34),85)，即直線BE與平面ABCD所成的角的正弦值為eq\f(6\r(34),85).12.(15分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中點(diǎn)O為球心，BD為直徑的球面交PD于點(diǎn)M.(1)求證：平面ABM⊥平面PCD；(2)求直線PC與平面ABM所成的角的正切值．解：(1)證明：依題設(shè)，M在以BD為直徑的球面上，則BM⊥PD.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，則PA⊥AB，又AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，則AB⊥PD，因此有PD⊥平面ABM，所以平面ABM⊥平面PCD.(2)設(shè)平面ABM