高中數(shù)學(xué)人教A版第一章解三角形 課后提升作業(yè)三

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課后提升作業(yè)三解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例——距離問題(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.如圖,在河岸AC測量河的寬度BC,測量下列四組數(shù)據(jù),較適宜的是(),c,α ,c,α,a,β ,α,β【解析】選D.由α,β,b,可利用正弦定理求出BC.2.學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形,如圖,測得AC的長度為4m,∠A=30°,則其跨度AB的長為() 3 3【解析】選D.由題意知,∠A=∠B=30°,所以∠C=180°-30°-30°=120°,由正弦定理得,sinCAB=即AB=AC·sinCsinB=4·sin120°3.已知A,B兩地的距離為10km,B,C兩地的距離為20km,現(xiàn)測得∠ABC=120°,則A,C兩地的距離為() 35 7【解析】選D.由余弦定理得:AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=102+202-2×10×20×cos120°=700,所以AC=107(km).4.如圖,A,B兩地之間有一座山,汽車原來從A地到B地須經(jīng)C地沿折線A—C—B行駛,現(xiàn)開通隧道后,汽車直接沿直線AB行駛.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,則隧道開通后,汽車從A地到B地比原來少走(結(jié)果精確到(參考數(shù)據(jù):2≈,3≈()A.3.4km 【解析】選A.過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為點(diǎn)D.在Rt△CAD中,∠A=30°,AC=10km,CD=12AD=AC·cos30°=53km.在Rt△BCD中,∠B=45°,BD=CD=5km,BC=CDsin45°=5AB=AD+BD=(53+5)km,AC+BC-AB=10+52-(53+5)=5+52-53≈5+5××=.5.兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等.燈塔A在觀察站北偏東40°,燈塔B在觀察站南偏東60°,那么燈塔A在燈塔B的()A.北偏東10° B.北偏西10°C.南偏東10° D.南偏西10°【解析】選B.如圖,由已知得∠ACB=180°-(40°+60°)=80°,因?yàn)锳C=BC,所以∠CAB=∠CBA=12又EC∥BD,所以∠CBD=∠BCE=60°,則∠ABD=60°-50°=10°,所以燈塔A在燈塔B的北偏西10°.6.(2023·廈門高二檢測)甲船在島B的正南方A處,AB=10千米,甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行,同時(shí)乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?當(dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí),它們所航行的時(shí)間是()A.21.5分鐘 B.157C.1507分鐘 【解析】選C.如圖所示,設(shè)甲船行至C點(diǎn),乙船行至D點(diǎn)時(shí)甲、乙兩船相距最近,它們所航行的時(shí)間是x小時(shí),則CD2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)·6x·cos120°=28x2-20x+100,所以當(dāng)x=514小時(shí),即1507分鐘時(shí),CD27.如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖.支桿BC=10m,吊桿AC=15m,吊索AB=519m,起吊的貨物與岸的距離AD為()m 1523 3 【解析】選B.在△ABC中,AC=15m,AB=519m,BC=10m,由余弦定理得cos∠ACB=A=152+1所以sin∠ACB=32所以sin∠ACD=sin∠ACB=32AD=ACsin∠ACD=15×32=15【誤區(qū)警示】解答本題若選擇求∠ABC的余弦值,再解Rt△ABD求AD,則運(yùn)算量較大,極易出錯(cuò).8.江岸邊有一炮臺高30m,江中有兩條船,由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°,而且兩條船與炮臺底部連線成30°角,則兩條船相距()3 330 【解析】選D.設(shè)炮臺頂部為A,兩條船分別為B,C,炮臺底部為D,可知∠BAD=45°,∠CAD=60°,∠BDC=30°,AD=30,分別在Rt△ADB,Rt△ADC中,求得DB=30,DC=303.在△DBC中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2DB·DCcos30°,解得BC=30.二、填空題(每小題5分,共10分)9.我艦在島A南偏西50°相距12海里的B處發(fā)現(xiàn)敵艦正從島A沿北偏西10°方向以每小時(shí)10海里的速度航行,若我艦要用2小時(shí)追上敵艦,則速度為________海里/小時(shí).【解析】如圖所示,設(shè)我艦在C處追上敵艦,速度為v海里/小時(shí).則在△ABC中,AC=10×2=20(海里),AB=12海里,∠BAC=120°,所以BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=784,所以BC=28(海里),則速度v=282答案:1410.如圖,為了測量正在海面勻速行駛的某航船的速度,在海岸上選取距離1千米的兩個(gè)觀察點(diǎn)C,D,在某天10:00觀察到該航船在點(diǎn)A處,此時(shí)測得∠ADC=30°,2分鐘后該船行駛至B處,此時(shí)測得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,則船速為________千米/分鐘.【解析】在△BCD中,∠BDC=30°+60°=90°,CD=1,∠BCD=45°,所以BC=2.在△ACD中,∠CAD=180°-(60°+45°+30°)=45°,所以CDsin45°=AC在△ABC中,AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos60°=32所以AB=62,所以船速為622答案:6三、解答題(每小題10分,共20分)11.如圖,一人在C地看到建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西45°方向,此人向北偏西75°方向前進(jìn)30km到達(dá)D處,看到A在他的北偏東45°方向,B在北偏東75°方向,試求這兩座建筑物之間的距離.【解析】依題意得,CD=30,∠ADB=∠BCD=30°=∠BDC,∠DBC=120°,∠ADC=60°,∠DAC=45°.在△BDC中,由正弦定理得BC=DCsin∠BDCsin∠DBC=30sin30°在△ADC中,由正弦定理得AC=DCsin∠ADCsin∠DAC=30sin60°在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=(35)2+(10)2-2×35×10cos45°=25.所以AB=5,即這兩座建筑物之間的距離為5km.12.如圖,海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁,一船正在向南航行,在B處測得小島A在船的南偏東30°,船行30海里后,在C處測得小島在船的南偏東45°,如果此船不改變航向,繼續(xù)向南航行,有無觸礁的危險(xiǎn)?【解析】在△ABC中,BC=30,∠ABC=30°,∠BCA=135°,所以∠A=15°.由正弦定理知,BCsinA=所以AC=30·sin30°=60cos(45°-30°)=15(6+2),于是,A到BC所在直線的距離為AC·sin45°=15(6+2)×22=15(3+1)≈顯然大于38海里,所以船繼續(xù)向南航行沒有觸礁的危險(xiǎn).【能力挑戰(zhàn)題】如圖,漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處,且與島嶼A相距12海里,漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行,若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙,剛好用2小時(shí)追上.(1)求漁船甲的速度.(2)求sinα的值.【解析】(1)依題意,∠BAC=120°,AB=12海里,AC=10×2=20(海里),∠BCA=α.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC=122+202-2×12×20×cos120°=784.解得BC=28(海里).所以漁船甲的速度為BC(2)