高中數(shù)學人教A版2第一章導數(shù)及其應用 第一章生活中的優(yōu)生問題舉例

第一章導數(shù)及其應用生活中的優(yōu)生問題舉例A級基礎鞏固一、選擇題1．圓的面積S關于半徑r的函數(shù)是S＝πr2，那么在r＝4時面積的變化率是()A．8B．12C．8πD．12π解析：因為S′＝2πr，所以S′(4)＝2π·4＝8π.答案：C2．把長度為8的線段分成四段，圍成一個矩形，矩形面積的最大值為()A．2B．4C．8D．以上都不對解析：設矩形的長為x，則寬為eq\f(8－2x,2)＝4－x，所以矩形面積為S＝x(4－x)＝－x2＋4x，所以S′＝－2x＋4，令S′＝0，得x＝2，所以矩形的最大面積為S＝2(4－2)＝4.答案：B3．某煉油廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油溫度的瞬時變化率的最小值是()A．8\f(20,3)C．－1D．－8解析：原油溫度的瞬時變化率為f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以當x＝1時，原油溫度的瞬時變化率取得最小值－1.答案：C4．設底為等邊三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面邊長為()\r(3,V)\r(3,2V)\r(3,4V)D．2eq\r(3,V)解析：設底面邊長為x，則表面積S＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3)V,x)(x＞0)，S′＝eq\f(\r(3),x2)(x3－4V)．令S′＝0，得唯一極值點x＝eq\r(3,4V).答案：C5．要制作一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高為\f(\r(3),3)cm \f(10\r(3),3)cm\f(16\r(3),3)cm \f(20\r(3),3)cm解析：設圓錐的高為x，則底面半徑為eq\r(202－x2)，其體積為V＝eq\f(1,3)πx(400－x2)，0<x<20，V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝eq\f(20\r(3),3).當0<x<eq\f(20\r(3),3)時，V′＞0；當eq\f(20\r(3),3)<x<20時，V′<0，所以當x＝eq\f(20\r(3),3)時，V取最大值．答案：D二、填空題6．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝－和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為____________．解析：設甲地銷售x輛，則乙地銷售(15－x)輛．則總利潤L＝－＋2(15－x)＝－＋3．06x＋30(x≥0)．令L′＝－＋＝0，得x＝.所以當x＝10時，L有最大值.答案：萬元7．內接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為________．解析：設圓錐高為h，底面半徑為r，則R2＝(h－R)2＋r2，所以r2＝2Rh－h(huán)2，所以V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(π,3)h(2Rh－h(huán)2)＝eq\f(2,3)πRh2－eq\f(π,3)h3，V′＝eq\f(4,3)πRh－πh2.令V′＝0，得h＝eq\f(4,3)R.當0<h<eq\f(4,3)R時，V′＞0；當eq\f(4R,3)<h<2R時，V′<0.因此當h＝eq\f(4,3)R時，圓錐體積最大．答案：eq\f(4,3)R8．用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2∶1，解析：設長方體的寬為x，則長為2x，高為eq\f(9,2)－3xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(3,2)))，故體積為V＝2x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－3x))＝－6x3＋9x2，V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，因為0<x<eq\f(3,2)，所以x＝1.所以該長方體的長、寬、高各為2m、1m、1.5m時，體積最大，最大體積Vmax＝3m答案：3三、解答題9.如圖所示，用鐵絲彎成一個上面是半圓、下面是矩形的圖形，其面積為100，為使所用材料最省，矩形底寬應為多少？解：設圓的半徑為r，矩形的寬為b，鐵絲長為l，則100＝eq\f(πr2,2)＋2br，所以b＝eq\f(100－\f(πr2,2),2r).所以l＝πr＋2r＋2b＝πr＋2r＋eq\f(100,r)－eq\f(πr,2).所以l′＝π＋2－eq\f(100,r2)－eq\f(π,2).令l′＝0，得π＋2－eq\f(100,r2)－eq\f(π,2)＝0，所以100＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(π,2)))r2.解得r＝10eq\r(\f(2,4＋π)).則底寬為20eq\r(\f(2,4＋π))時用料最?。?0.一個帳篷，它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐(如圖)．問當帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為多少時解：設OO1為xm(1＜x＜4)，底面正六邊形的面積為Sm2，帳篷的體積為Vm3.則由題設可得正六棱錐底面邊長為eq\r(32－（x－1）2)＝eq\r(82＋2x－x2)(m)，于是底面正六邊形的面積為S＝6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(m2)，所以帳篷的體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(x－1)＋eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)（x－1）＋1))＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)(m3)，求導數(shù)，得V′＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.當1<x<2時，V′＞0；當2<x<4時，V′<0.所以當x＝2時，V最大．即當OO1為2m時，B級能力提升1．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋4x＋eq\f(71,3)，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為()A．3萬件B．1萬件C．2萬件D．7萬件解析：因為x>0，y′＝－x2＋4＝(2－x)(2＋x)，令y′＝0，解得x＝2，所以x∈(0，2)時，y′>0，x∈(2，＋∞)時，y′<0，y先增后減．所以x＝2時函數(shù)取最大值．答案：C2．某商品一件的成本為30元，在某段時間內若以每件x元出售，可賣出(200－x)件，要使利潤最大每件定價為______元．解析：設每件商品定價x元，依題意可得利潤為L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)．L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝eq\f(170,2)＝85.因為在(0，200)內L只有一個極值，所以以每件85元出售時利潤最大．答案：853．時下，網(wǎng)校教學越來越受到廣大學生的喜愛，它已經(jīng)成為學生們課外學習的一種趨勢，假設某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位：千套)與銷售價格x(單位：元/套)滿足的關系式y(tǒng)＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，其中2<x<6，m為常數(shù)．已知銷售價格為4元/套時，每日可售出套題21千套．(1)求m的值；(2)假設網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù))，試確定銷售價格x的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大(保留1位小數(shù))．解：(1)因為x＝4時，y＝21，代入關系式y(tǒng)＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，得eq\f(m,2)＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套題每日的銷售量y＝eq\f(10,x－2)＋4(x－6)2，所以每日銷售套題所獲得的利潤f(x)＝(x－2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(10,x－2)＋4（x－6）2))＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2<x<6)，從而f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2<x<6)．令f′(x)＝0，得x＝eq\f(10,3)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))上