高中數(shù)學(xué)蘇教版2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 一等獎

學(xué)業(yè)分層測評(八)(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達標]一、填空題1．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為________萬件．【解析】因為y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9.當(dāng)0<x<9時，y′>0；當(dāng)x>9時，y′<0.故當(dāng)x＝9時，函數(shù)有極大值，也是最大值．【答案】92．做一個無蓋的圓柱形水桶，若需使其體積是27π，且用料最省，則圓柱的底面半徑為________．【解析】設(shè)半徑為r，則高h＝eq\f(27,r2)，∴S＝2πr·h＋πr2＝2πr·eq\f(27,r2)＋πr2＝eq\f(54π,r)＋πr2.令S′＝2πr－eq\f(54π,r2)＝0，得r＝3，∴當(dāng)r＝3時，用料最?。敬鸢浮?3．設(shè)底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則其表面積最小時，底面邊長為________．【解析】設(shè)直棱柱的底面邊長為a，高為h，依題意，eq\f(\r(3),4)a2·h＝V，∴ah＝eq\f(4V,\r(3)a).因此表面積S＝3ah＋2·eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(4\r(3)V,a)＋eq\f(\r(3),2)a2.∴S′＝eq\r(3)a－eq\f(4\r(3)V,a2)，由S′＝0，得a＝eq\r(3,4V).易知當(dāng)a＝eq\r(3,4V)時，表面積S取得最小值．【答案】eq\r(3,4V)4．某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進一批商品，若該商品零售價定為p元，銷售量為Q，則銷售量Q(單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2.則最大毛利潤為______元．(毛利潤＝銷售收入－進貨支出)【解析】設(shè)毛利潤為L(p)由題意知：L(p)＝pQ－20Q＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以，L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此時，L(30)＝23000.因為在p＝30附近的左側(cè)L′(p)>0，右側(cè)L′(p)<0，所以L(30)是極大值，根據(jù)實際問題的意義知，L(30)是最大值，即零售價定為每件30元時，最大毛利潤為23000元．【答案】230005．為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長為a米，高為b米．已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a，b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當(dāng)a＝________，b＝________時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小(A，B孔的面積忽略不計)．圖1-4-4【解析】設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)，則y＝eq\f(k,ab)，其中k(k>0)為比例系數(shù)．依題意，即所求的a，b值使y值最小，根據(jù)題設(shè)，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得b＝eq\f(30－a,2＋a).于是y＝eq\f(k,ab)＝eq\f(k,\f(30a－a2,2＋a))＝eq\f(k2＋a,30a－a2).(0<a<30)令y′＝eq\f(a2k＋4ak－60k,30a－a22)＝0得a＝6或a＝－10(舍去)．∵只有一個極值點，∴此極值點即為最值點．當(dāng)a＝6時，b＝3，即當(dāng)a為6米，b為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最?。?．某工廠要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新墻壁，當(dāng)砌新墻壁所用的材料最省時，堆料場的長和寬分別為______.【導(dǎo)學(xué)號：01580022】【解析】設(shè)矩形堆料場中與原有的墻壁平行的一邊的邊長為x米，其他兩邊的邊長均為y米，則xy＝512.則所用材料l＝x＋2y＝2y＋eq\f(512,y)(y>0)，求導(dǎo)數(shù)，得l′＝2－eq\f(512,y2).令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．當(dāng)0<y<16時，l′<0；當(dāng)y>16時，l′>0.所以y＝16是函數(shù)l＝2y＋eq\f(512,y)(y>0)的極小值點，也是最小值點．此時，x＝eq\f(512,16)＝32.所以當(dāng)堆料場的長為32米，寬為16米時，砌新墻壁所用的材料最?。敬鸢浮?2米16米7．如圖1-4-5，將邊長為1m的正三角形薄鐵皮，沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s＝eq\f(梯形的周長2,梯形的面積)，則s的最小值是________．圖1-4-5【解析】設(shè)DE＝x，則梯形的周長為3－x，梯形的面積為eq\f(1,2)(x＋1)·eq\f(\r(3),2)(1－x)＝eq\f(\r(3),4)(1－x2)，∴s＝eq\f(3－x2,\f(\r(3),4)1－x2)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(x2－6x＋9,1－x2)，x∈(0,1)，設(shè)h(x)＝eq\f(x2－6x＋9,1－x2)，h′(x)＝eq\f(－6x2＋20x－6,1－x22).令h′(x)＝0，得x＝eq\f(1,3)或x＝3(舍)，∴h(x)最小值＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝8，∴s最小值＝eq\f(4\r(3),3)×8＝eq\f(32\r(3),3).【答案】eq\f(32\r(3),3)8．一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為10km/h時的燃料費是每小時6元，而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元，當(dāng)行駛每千米的費用總和最小時，此輪船的航行速度為__________km/h.【解析】設(shè)輪船的速度為xkm/h時，燃料費用為Q元，則Q＝kx3(k≠0)．因為6＝k×103，所以k＝eq\f(3,500)，所以Q＝eq\f(3,500)x3.所以行駛每千米的費用總和為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,500)x3＋96))·eq\f(1,x)＝eq\f(3,500)x2＋eq\f(96,x)(x>0)．所以y′＝eq\f(3,250)x－eq\f(96,x2).令y′＝0，解得x＝20.因為當(dāng)x∈(0,20)時，y′<0，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(20，＋∞)時，y′>0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝20時，y取得最小值，即此輪船以20km/h的速度行駛時，每千米的費用總和最小．【答案】20二、解答題9．如圖1-4-6，一矩形鐵皮的長為8cm，寬為5cm，在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的小盒子，問小正方形的邊長為多少時，盒子容積最大？圖1-4-6【解】設(shè)小正方形的邊長為xcmeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2)))，則盒子底面長為(8－2x)cm，寬為(5－2x)cm，V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x，V′＝12x2－52x＋40，令V′＝0，得x＝1或x＝eq\f(10,3)(舍去)，V極大值＝V(1)＝18，在定義域內(nèi)僅有一個極大值，所以V最大值＝18，即當(dāng)小正方形的邊長為1cm時，盒子容積最大．10．(2023·銀川高二檢測)一書店預(yù)計一年內(nèi)要銷售某種書15萬冊，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費30元，每千冊書存放一年要庫存費40元，并假設(shè)該書均勻投放市場，問此書店分幾次進貨、每次進多少冊，可使所付的手續(xù)費與庫存費之和最少？【解】設(shè)每次進書x千冊(0<x<150)，手續(xù)費與庫存費之和為y元，由于該書均勻投放市場，則平均庫存量為批量之半，即eq\f(x,2)，故有y＝eq\f(150,x)×30＋eq\f(x,2)×40，y′＝－eq\f(4500,x2)＋20＝eq\f(20x＋15x－15,x2)，令y′＝0，得x＝15，列表如下：x(0,15)15(15,150)y′－0＋y單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以當(dāng)x＝15時，y取得極小值，且極小值惟一，故當(dāng)x＝15時，y取得最小值，此時進貨次數(shù)為eq\f(150,15)＝10(次)．即該書店分10次進貨，每次進15千冊書，所付手續(xù)費與庫存費之和最少．能力提升]1．已知某矩形廣場面積為4萬平方米，則其周長至少為________米．【解析】設(shè)廣場的長為x米，則寬為eq\f(40000,x)米，于是其周長為y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(40000,x)))(x>0)，所以y′＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(40000,x2)))，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，這時y＝800.當(dāng)0<x<200時，y′<0；當(dāng)x>200時，y′>0.所以當(dāng)x＝200時，y取得最小值，故其周長至少為800米．【答案】8002．要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高為________cm.【解析】設(shè)該漏斗的高為xcm，體積為Vcm3，則底面半徑為eq\r(202－x2)cm，V＝eq\f(1,3)πx(202－x2)＝eq\f(1,3)π(400x－x3)(0<x<20)，則V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝eq\f(20\r(3),3)，x2＝－eq\f(20\r(3),3)(舍去)．當(dāng)0<x<eq\f(20\r(3),3)時，V′>0；當(dāng)eq\f(20\r(3),3)<x<20時，V′<0.所以當(dāng)x＝eq\f(20\r(3),3)時，V取得最大值．【答案】eq\f(20\r(3),3)3．現(xiàn)有一批貨物由海上從A地運往B地，已知輪船的最大航行速度為35海里/時，A地至B地之間的航行距離約為500海里，每小時的運輸成本由燃料費和其余費用組成，輪船每小時的燃料費與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為，其余費用為每小時960元．為了使全程運輸成本最小，輪船行駛速度應(yīng)為________海里/時．【解析】設(shè)輪船行駛速度為x海里/時，運輸成本為y元．依題意得y＝eq\f(500,x)(960＋＝eq\f(480000,x)＋300x，x∈(0，35]．則y′＝300－eq\f(480000,x2)，x∈(0,35]．又當(dāng)0＜x≤35時，y′<0，所以y＝eq\f(480000,x)＋300x在(0,35]上單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝35時，函數(shù)y＝eq\f(480000,x)＋300x取得最小值．故為了使全程運輸成本最小，輪船應(yīng)以35海里/時的速度行駛．【答案】354．如圖1-4-7，內(nèi)接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線上運動，C，D在x軸上運動，則此矩形的面積的最大值是__________．圖1-4-7【解析】設(shè)CD＝x，則點C的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0))，點B的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2))，∴矩形ABCD的面積S＝f(x)＝x·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2))＝－eq\f(x3,4)＋x，x∈(0,2)．由f′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1＝0，得x1＝－eq\f(2\r(3),3)(舍)，x2＝eq\f(2\r(3),3)，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2))時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝eq\f(2\r(3),3)時，f(x)取最大值eq\f(4\r(3),9).【答案】eq\f(4\r(3),9)5．(2023·廣州高二檢測)如圖1-4-8所示，有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線海岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在海的同側(cè)，乙廠位于離海岸40km的B處，乙廠到海岸的垂足D與A相距50km.兩廠要在此岸邊A，D之間合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別