高中數(shù)學人教A版1第一章常用邏輯用語命題及其關系 模塊綜合測評a

模塊綜合測評(A)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．從字母a，b，c，d，e，f中選出4個數(shù)排成一列，其中一定要選出a和b，并且必須相鄰(a在b的前面)，共有排列方法()A．36種 B．72種C．90種 D．144種解析：從c，d，e，f中選2個，有Ceq\o\al(2,4)，把a，b看成一個整體，則3個元素全排列為Aeq\o\al(3,3)，共計Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36.答案：A2．(1＋2x)5的展開式中，x2的系數(shù)等于()A．80 B．40C．20 D．10解析：(1＋2x)5的展開式中第r＋1項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x)r＝2rCeq\o\al(r,5)xr，令r＝2，得x2的系數(shù)為22·Ceq\o\al(2,5)＝40.答案：B3．正態(tài)總體為μ＝0，σ＝－1的概率密度函數(shù)f(x)是()A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)解析：當μ＝0，σ＝－1時，φμ，σ(x)＝－eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x2,2)，x∈(－∞，＋∞)，顯然為偶函數(shù)．答案：B4．某機械零件由2道工序組成，第一道工序的廢品率為a，第二道工序的廢品率為b，假設這兩道工序出廢品是彼此無關的，那么產(chǎn)品的合格率為()A．a(chǎn)b－a－b＋1 B．1－a－bC．1－ab D．1－2ab解析：要使產(chǎn)品合格，則第一道工序合格，第二道工序也合格，故產(chǎn)品的合格率為(1－a)(1－b)＝ab－a－b＋1.答案：A5．現(xiàn)有甲、乙、丙三個盒子，其中每個盒子中都裝有標號分別為1,2,3,4,5,6的六張卡片．現(xiàn)從甲、乙、丙三個盒子中依次各取一張卡片使得卡片上的標號恰好成等差數(shù)列的取法數(shù)為()A．14種 B．16種C．18種 D．20種解析：由等差數(shù)列的性質知x＋y＝2z，則x，y必同奇同偶，所以不同的取法有2Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＝18種．答案：C6．已知X的分布列為：X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,6)a設Y＝6X＋1，則Y的數(shù)學期望E(Y)的值是()A．－eq\f(1,6) B．0C．1 \f(29,36)解析：E(Y)＝6E(X)＋1，由已知得a＝eq\f(1,3)，所以E(X)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝－eq\f(1,6)，所以E(Y)＝0.答案：B7．已知隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(1,2k)，k＝1,2，…，則P(2<ξ≤4)等于()\f(3,16) \f(1,4)\f(1,16) \f(1,5)解析：P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＝eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＝eq\f(3,16).答案：A8．小明家1～4月份用電量的一組數(shù)據(jù)如下：月份x1234用電量y45403025由散點圖可知，用電量y與月份x之間有較好的線性相關關系，其線性回歸直線方程是eq\o(y,\s\up6(∧))＝－7x＋eq\o(a,\s\up6(∧))，則eq\o(a,\s\up6(∧))等于()A．105 B．C．52 D．解析：eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝eq\f(5,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(45＋40＋30＋25,4)＝35.∵點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，35))在直線eq\o(y,\s\up6(∧))＝－7x＋eq\o(a,\s\up6(∧))上，∴35＝－7×eq\f(5,2)＋eq\o(a,\s\up6(∧))，∴eq\o(a,\s\up6(∧))＝.答案：D9．某市政府調查市民收入與旅游欲望時，采用獨立檢驗法抽取3000人，計算發(fā)現(xiàn)K2＝，則根據(jù)這一數(shù)據(jù)查閱下表，市政府斷言市民收入增減與旅游愿望有關系的可信程度是()P(K2≥k)…k……% B．95%C．% D．%解析：∵K2＝>，∴可斷言市民收入增減與旅游愿望有關系的可信程度為%.答案：C10．甲、乙兩隊參加乒乓球團體比賽，甲隊與乙隊實力之比為3∶2，比賽時均能正常發(fā)揮技術水平，則在5局3勝制中，甲打完4局才勝的概率為()A．Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2·eq\f(2,5) B．Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3·eq\f(2,5)C．Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3·eq\f(2,5) D．Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3·eq\f(1,3)解析：由甲隊與乙隊實力之比為3∶2可知：甲隊勝的概率為eq\f(3,5)，乙隊勝的概率為eq\f(2,5).于是甲打完4局才勝說明最后一局是甲隊勝，在前3局中甲隊勝兩局，即甲打完4局才勝的概率為Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3·eq\f(2,5).答案：B11．如果eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2x)))n的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，那么展開式中的所有項的系數(shù)和是()A．0 B．256C．64 \f(1,64)解析：因為展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，所以n＝6.令x＝1，則展開式中所有項的系數(shù)和是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6＝eq\f(1,64).答案：D12．某12人的興趣小組中，有5名“三好生”，現(xiàn)從中任意選6人參加競賽，用ξ表示這6人中“三好生”的人數(shù)，則下列概率中等于eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(3,7),C\o\al(6,12))的是()A．P(ξ＝2) B．P(ξ＝3)C．P(ξ≤2) D．P(ξ≤3)解析：所給概率是從12人中，選6人恰好有3名“三好生”的概率，故選B.答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．請把正確的答案填在題中的橫線上)13．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(ξ≤3)＝3，則P(ξ≤1)＝________.解析：ξ～N(2，σ2)，所以P(2≤ξ≤3)＝P(1≤ξ≤2)，P(ξ＞2)＝P(ξ＜2)，故P(ξ≤1)＝P(ξ＞3)＝1－P(ξ≤3)＝1－3＝7.答案：714.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳躍時，均從一葉跳到另一葉)，而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍，如圖所示，假設現(xiàn)在青蛙在A葉上，則跳三次之后停在A葉上的概率是________．解析：青蛙跳三次要回到A只有兩條途徑：第一條：按A→B→C→A，P1＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)；第二條：按A→C→B→A，P2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27)，所以跳三次之后停在A葉上的概率為：P＝P1＋P2＝eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)15．一個碗中有10個籌碼，其中5個都標有2元，5個都標有5元，某人從此碗中隨機抽取3個籌碼，若他獲得的獎金數(shù)等于所抽3個籌碼的錢數(shù)之和，則他獲得獎金的期望為________．解析：獲得獎金數(shù)為隨機變量ξ，則ξ＝6,9,12,15，所以ξ的分布列為：ξ691215Peq\f(1,12)eq\f(5,12)eq\f(5,12)eq\f(1,12)E(ξ)＝6×eq\f(1,12)＋9×eq\f(5,12)＋12×eq\f(5,12)＋15×eq\f(1,12)＝eq\f(6＋45＋60＋15,12)＝eq\f(21,2).答案：eq\f(21,2)16．某車間有11名工人，其中有5名鉗工，4名車工，另外2名既能當車工又能當鉗工，現(xiàn)要在這11名工人中選派4名鉗工，4名車工修理一臺機床，不同的選派方法有________種．解析：答案：185三、解答題(本大題共6個小題，共74分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分12分)中央電視臺“星光大道”節(jié)目的現(xiàn)場觀眾來自4所學校，分別在圖中的四個區(qū)域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ坐定．有4種不同顏色的服裝，同一學校的觀眾必須穿上同種顏色的服裝，且相鄰兩個區(qū)域的顏色不同，不相鄰區(qū)域顏色相同與否不受限制，那么不同著裝方法有多少種？解析：分三種情況：①四所學校的觀眾著裝顏色各不相同時，有Aeq\o\al(4,4)＝24種方法；②四所學校的觀眾著裝顏色有三種時，即有兩所相同時，只能是Ⅰ與Ⅲ，或Ⅱ與Ⅳ，故有2Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(3,3)＝48種方法；③四所學校的觀眾著裝顏色有兩種時，則Ⅰ與Ⅲ相同，同時Ⅱ與Ⅳ相同，故有Aeq\o\al(2,4)＝12種方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有24＋48＋12＝84種方法．18．(本小題滿分12分)為了了解創(chuàng)建文明城市過程中學生對創(chuàng)建工作的滿意情況，相關部門對某中學的100名學生進行調查．得到如下的統(tǒng)計表：滿意不滿意合計男生50女生15合計100已知在全部100名學生中隨機抽取1人對創(chuàng)建工作滿意的概率為eq\f(4,5).(1)在上表中的空白處填上相應的數(shù)據(jù)；(2)是否有充足的證據(jù)說明學生對創(chuàng)建工作的滿意情況與性別有關？解析：(1)填表如下：滿意不滿意合計男生50555女生301545合計8020100(2)根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)可得K2的觀測值k＝eq\f(100×50×15－5×302,55×45×80×20)≈＞，所以在犯錯誤的概率不超過的前提下認為學生對創(chuàng)建工作的滿意情況與性別有關．19．(本小題滿分12分)2023年兩會期間，來自北京大學和清華大學的共計6名大學生志愿服務者被隨機地平均分配到會場負責運送礦泉水、清掃衛(wèi)生、維持秩序這三個崗位服務，且運送礦泉水崗位至少有一名北京大學志愿者的概率是eq\f(3,5).(1)求6名志愿者中來自北京大學、清華大學的各幾人；(2)求清掃衛(wèi)生崗位恰好有北京大學、清華大學各一人的概率．解析：(1)記“至少有一名北京大學志愿者被分到運送礦泉水崗位”為事件A，則A的對立事件為“沒有北京大學志愿者被分到運送礦泉水崗位”，設有北京大學志愿者x個，1≤x＜6，那么P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,6－x),C\o\al(2,6))＝eq\f(3,5)，故可得x＝2，即來自北京大學的志愿者有2人，來自清華大學的志愿者有4人．(2)記清掃衛(wèi)生崗位恰好有北京大學、清華大學志愿者各一人為事件E，那么P(E)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15).所以清掃衛(wèi)生崗位恰好有北京大學、清華大學志愿者各一人的概率是eq\f(8,15).20．(本小題滿分12分)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的展開式中前三項系數(shù)成等差數(shù)列．求：(1)展開式中含x的一次冪的項；(2)展開式中所有x的有理項；(3)展開式中系數(shù)最大的項．解析：由題知Ceq\o\al(0,n)＋eq\f(1,22)·Ceq\o\al(2,n)＝2·eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,n)，可得n＝8或n＝1(舍去)．(1)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(eq\r(x))8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2\r(4,x))))r＝Ceq\o\al(r,8)·2－r·x4－eq\f(3,4)r.令4－eq\f(3,4)r＝1，得r＝4，所以x的一次冪的項為T5＝Ceq\o\al(4,8)2－4x＝eq\f(35,8)x.(2)令4－eq\f(3,4)r∈Z(r＝0,1,2，…，8)所以只有當r＝0,4,8時，對應的項才為有理項．有理項為T1＝x4，T5＝eq\f(35,8)x，T9＝eq\f(1,256x2).(3)記第r項系數(shù)為Tr，記第k項系數(shù)最大，則有Tk≥Tk＋1，且Tk≥Tk－1.又Tr＝Ceq\o\al(r－1,8)2－r＋1，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(k－1,8)2－k＋1≥C\o\al(k,8)2－k，,C\o\al(k－1,8)2－k＋1≥C\o\al(k－2,8)2－k＋2，))解得3≤k≤4.所以系數(shù)最大項為第3項T3＝7xeq\f(5,2)和第4項T4＝7xeq\f(7,4).21．(本小題滿分13分)已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分．現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機會均等)3個球，記隨機變量X為取出此3球所得分數(shù)之和．(1)求X的分布列；(2)求X的數(shù)學期望E(X)．解析：(1)由題意得X取3,4,5,6，且P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,42)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,4)·C\o\al(2,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(10,21)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(1,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,14)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,21)，所以X的分布列為：X3456Peq\f(5,42)eq\f(10,21)eq\f(5,14)eq\f(1,21)(2)由(1)知E(X)＝3P(X＝3)＋4P(X＝4)＋5P(X＝5)＋6P(X＝6)＝eq\f(13,3).22．(本小題滿分13分)某研究性學習小組對春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽多少之間的關系進行研究，他們分別記錄了3月1日到3月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日溫差x(°C)101113128發(fā)芽數(shù)y(顆)2325302616(1)從3月1日至3月5日中任選2天，記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率(2)若選取的是3月1日與3月5日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)3月2日至3月4日的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))；(3)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問(2)中所得的線性回歸方程是否可靠？解析：(1)m，n的所有取值情況有：(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，