高中數(shù)學(xué)人教A版第四章圓和方程 第4章

第四章圓與方程§圓的方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【課時目標(biāo)】1．用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能表達(dá)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．2．掌握求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的不同求法．1．設(shè)圓的圓心是A(a，b)，半徑長為r，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________，當(dāng)圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)時，圓的半徑為r，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．2．設(shè)點(diǎn)P到圓心的距離為d，圓的半徑為r，點(diǎn)P在圓外?________；點(diǎn)P在圓上?________；點(diǎn)P在圓內(nèi)?________．一、選擇題1．點(diǎn)(sinθ，cosθ)與圓x2＋y2＝eq\f(1,2)的位置關(guān)系是()A．在圓上B．在圓內(nèi)C．在圓外D．不能確定2．已知以點(diǎn)A(2，－3)為圓心，半徑長等于5的圓O，則點(diǎn)M(5，－7)與圓O的位置關(guān)系是()A．在圓內(nèi)B．在圓上C．在圓外D．無法判斷3．若直線y＝ax＋b通過第一、二、四象限，則圓(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圓心位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．圓(x－3)2＋(y＋4)2＝1關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程是()A．(x＋3)2＋(y＋4)2＝1B．(x＋4)2＋(y－3)2＝1C．(x－4)2＋(y－3)2＝1D．(x－3)2＋(y－4)2＝15．方程y＝eq\r(9－x2)表示的曲線是()A．一條射線B．一個圓C．兩條射線D．半個圓6．已知一圓的圓心為點(diǎn)(2，－3)，一條直徑的兩個端點(diǎn)分別在x軸和y軸上．則此圓的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52二、填空題7．已知圓的內(nèi)接正方形相對的兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(5,6)，(3，－4)，則這個圓的方程是________________________________________________________________________．8．圓O的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25，點(diǎn)(2,3)到圓上的最大距離為________．9．如果直線l將圓(x－1)2＋(y－2)2＝5平分且不通過第四象限，那么l的斜率的取值范圍是________．三、解答題10．已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和B(2，－2)，且圓心C在直線l：x－y＋1＝0上，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．11．已知一個圓與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且該圓經(jīng)過點(diǎn)A(6,1)，求這個圓的方程．能力提升12．已知圓C：(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝4和直線l：x－y＝5，求C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值與最小值．13．已知點(diǎn)A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．1．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定：(1)利用點(diǎn)到圓心距離d與圓半徑r比較．(2)利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接判斷，即(x0－a)2＋(y0－b)2與r2比較．2．求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用方法：(1)利用待定系數(shù)法確定a，b，r，(2)利用幾何條件確定圓心坐標(biāo)與半徑．3．與圓有關(guān)的最值問題，首先要理清題意，弄清其幾何意義，根據(jù)幾何意義解題；或?qū)Υ鷶?shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化后用代數(shù)法求解．第四章圓與方程§4．1圓的方程4．1．1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程答案知識梳理1．(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＝r22．d>rd＝rd<r作業(yè)設(shè)計(jì)1．C[將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓方程，得sin2θ＋cos2θ＝1>eq\f(1,2)，所以點(diǎn)在圓外．]2．B[點(diǎn)M(5，－7)到圓心A(2，－3)的距離為5，恰好等于半徑長，故點(diǎn)在圓上．]3．D[(－a，－b)為圓的圓心，由直線經(jīng)過一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0，再由各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)得解．]4．B[兩個半徑相等的圓關(guān)于直線對稱，只需要求出關(guān)于直線對稱的圓心即可，(3，－4)關(guān)于y＝x的對稱點(diǎn)為(－4,3)即為圓心，1仍為半徑．即所求圓的方程為(x＋4)2＋(y－3)2＝1．]5．D[由y＝eq\r(9－x2)知，y≥0，兩邊平方移項(xiàng)，得x2＋y2＝9．∴選D．]6．A[設(shè)直徑的兩個端點(diǎn)為M(a,0)，N(0，b)，則eq\f(a＋0,2)＝2?a＝4，eq\f(b＋0,2)＝－3?b＝－6．所以M(4,0)，N(0，－6)．因?yàn)閳A心為(2，－3)，故r＝eq\r(2－42＋－3－02)＝eq\r(13)．所以所求圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝13．]7．(x－4)2＋(y－1)2＝26解析圓心即為兩相對頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，半徑為兩相對頂點(diǎn)距離的一半．8．5＋eq\r(2)解析點(diǎn)(2,3)與圓心連線的延長線與圓的交點(diǎn)到點(diǎn)(2,3)的距離最大，最大距離為點(diǎn)(2,3)到圓心(3,4)的距離eq\r(2)加上半徑長5，即為5＋eq\r(2)．9．[0,2]解析由題意知l過圓心(1,2)，由數(shù)形結(jié)合得0≤k≤2．10．解因?yàn)锳(1,1)和B(2，－2)，所以線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，直線AB的斜率kAB＝eq\f(－2－1,2－1)＝－3，因此線段AB的垂直平分線l′的方程為y＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，即x－3y－3＝0．圓心C的坐標(biāo)是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y－3＝0，,x－y＋1＝0))的解．解此方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－2.))所以圓心C的坐標(biāo)是(－3，－2)．圓心為C的圓的半徑長r＝|AC|＝eq\r(1＋32＋1＋22)＝5．所以，圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25．11．解設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a|＝r,a－3b＝0,6－a2＋1－b2＝r2))．解得a＝3，b＝1，r＝3或a＝111，b＝37，r＝111．所以圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝1112．12．解由題意得圓心坐標(biāo)為(eq\r(3)，1)，半徑為2，則圓心到直線l的距離為d＝eq\f(|\r(3)－1－5|,\r(2))＝3eq\r(2)－eq\f(\r(6),2)，則圓C上的點(diǎn)到直線l距離的最大值為3eq\r(2)－eq\f(\r(6),2)＋2，最小值為3eq\r(2)－eq\f(\r(6),2)－2．13．解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)