高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明直接證明與間接證明 第2章

學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標]一、選擇題1．在證明命題“對于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的過程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”中應(yīng)用了()A．分析法B．綜合法C．分析法和綜合法綜合使用D．間接證法【解析】此證明符合綜合法的證明思路．故選B.【答案】B2．要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只需證()A．2ab－1－a2b2≤0B．a(chǎn)2＋b2－1－eq\f(a2＋b2,2)≤0\f(a＋b2,2)－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0【解析】要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只需證a2b2－a2－b2＋1≥0，只需證(a2－1)(b2－1)≥0，故選D.【答案】D3．在集合{a，b，c，d}上定義兩種運算⊕和?如下：⊕abcdaabcdbbbbbccbcbddbbd?abcaaaababccaccdada那么，d?(a⊕c)等于()A．a(chǎn) B．bC．c D．d【解析】由⊕運算可知，a⊕c＝c，∴d?(a⊕c)＝d?c.由?運算可知，d?c＝a.故選A.【答案】A4．欲證eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)成立，只需證()A．(eq\r(2)－eq\r(3))2<(eq\r(6)－eq\r(7))2B．(eq\r(2)－eq\r(6))2<(eq\r(3)－eq\r(7))2C．(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2D．(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2<(－eq\r(7))2【解析】∵eq\r(2)－eq\r(3)<0，eq\r(6)－eq\r(7)<0，故eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)?eq\r(2)＋eq\r(7)<eq\r(3)＋eq\r(6)?(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2.【答案】C5．對任意的銳角α，β，下列不等式中正確的是()A．sin(α＋β)>sinα＋sinβB．sin(α＋β)>cosα＋cosβC．cos(α＋β)>sinα＋sinβD．cos(α＋β)<cosα＋cosβ【解析】因為0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，所以0<α＋β<π，若eq\f(π,2)≤α＋β<π，則cos(α＋β)≤0，因為cosα>0，cosβ>0.所以cosα＋cosβ>cos(α＋β)．若0<α＋β<eq\f(π,2)，則α＋β>α且α＋β>β，因為cos(α＋β)<cosα，cos(α＋β)<cosβ，所以cos(α＋β)<cosα＋cosβ，總之，對任意的銳角α，β有cos(α＋β)<cosα＋cosβ.【答案】D二、填空題6．命題“函數(shù)f(x)＝x－xlnx在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”的證明過程“對函數(shù)f(x)＝x－xlnx求導(dǎo)得f′(x)＝－lnx，當x∈(0,1)時，f′(x)＝－lnx>0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”應(yīng)用了________的證明方法．【解析】該證明方法是“由因?qū)Ч狈ǎ敬鸢浮烤C合法7．如果aeq\r(a)>beq\r(b)，則實數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是__________．【解析】要使aeq\r(a)>beq\r(b)，只需使a>0，b>0，(aeq\r(a))2>(beq\r(b))2，即a>b>0.【答案】a>b>08．若對任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a的取值范圍是__________.【導(dǎo)學(xué)號：60030056】【解析】若對任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，只需求y＝eq\f(x,x2＋3x＋1)的最大值，且令a不小于這個最大值即可．因為x>0，所以y＝eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2\r(x·\f(1,x))＋3)＝eq\f(1,5)，當且僅當x＝1時，等號成立，所以a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞)).【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))三、解答題9．已知傾斜角為60°的直線L經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，其中O為坐標原點．(1)求弦AB的長；(2)求三角形ABO的面積．【解】(1)由題意得，直線L的方程為y＝eq\r(3)(x－1)，代入y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0.設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(10,3).由拋物線的定義，得弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(10,3)＋2＝eq\f(16,3).(2)點O到直線AB的距離d＝eq\f(|－\r(3)|,\r(3)＋1)＝eq\f(\r(3),2)，所以三角形OAB的面積為S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(4\r(3),3).10．已知三角形的三邊長為a，b，c，其面積為S，求證：a2＋b2＋c2≥4eq\r(3)S.【證明】要證a2＋b2＋c2≥4eq\r(3)S，只要證a2＋b2＋(a2＋b2－2abcosC)≥2eq\r(3)absinC，即證a2＋b2≥2absin(C＋30°)，因為2absin(C＋30°)≤2ab，只需證a2＋b2≥2ab，顯然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥4eq\r(3)S.[能力提升]1．設(shè)a>0，b>0，若eq\r(3)是3a與3b的等比中項，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A．8 B．4C．1 \f(1,4)【解析】eq\r(3)是3a與3b的等比中項?3a·3b＝3?3a＋b＝3?a＋b＝1，因為a>0，b>0，所以eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)＝eq\f(1,2)?ab≤eq\f(1,4)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥eq\f(1,\f(1,4))＝4.【答案】B2．(2023·石家莊高二檢測)已知關(guān)于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，則k的取值范圍是()A．(－1,2)B．(－2,1)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【解析】令f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2.因為其圖象開口向上，由題意可知f(1)<0，即f(1)＝1＋(k－3)＋k2＝k2＋k－2<0，解得－2<k<1.【答案】B3．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，則實數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是__________．【解析】aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)?aeq\r(a)－aeq\r(b)>beq\r(a)－beq\r(b)?a(eq\r(a)－eq\r(b))>b(eq\r(a)－eq\r(b))?(a－b)(eq\r(a)－eq\r(b))>0?(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．【答案】a≥0，b≥0且a≠b4．(2023·天津高二檢測)已知α，β≠kπ＋eq\f(π,2)，(k∈Z)且sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθcosθ＝sin2β.求證：eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(1－tan2β,21＋tan2β).【導(dǎo)學(xué)號：60030057】【證明】要證eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(1－tan2β,21＋tan2β)成立，即證eq\f(1－\f(sin2α,cos2α),1＋\f(sin2α,cos2α))＝eq\f(1－\f(sin2β,cos2β),2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sin2β,cos2β)))).即證cos2α－sin2α＝eq\f(