高中數(shù)學人教A版1第一章常用邏輯用語命題及其關系

湖北大悟書生學校2023學年度第一學期期末考試高二(理科)數(shù)學一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．從分別寫有A、B、C、D、E的5張卡片中，任取2張，這2張上的字母恰好按字母順序相鄰的概率為（）A． B． D．2．盒子中裝有形狀、大小完全相同的3個紅球和2個白球，從中隨機取出一個記下顏色后放回，當紅球取到2次時停止取球．那么取球次數(shù)恰為3次的概率是()A．eq\f(18,125)B．eq\f(36,125)C．eq\f(44,125)D．eq\f(81,125)3．設隨機變量ξ～B（n，p），且E（ξ）=，D（ξ）=，則（）A．n=8，p= B．n=4，p= C．n=5，p= D．n=7，p=4．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），P（ξ＞1）=p，則P（﹣1＜ξ＜0）等于（）A．p B．1﹣p C．1﹣2p D．﹣p5．若=a+b（a，b為有理數(shù)），則a+b=（）A．32 B．12 C．0 D．﹣16．今天為星期四，則今天后的第22023天是（）A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五7．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名學生參加演講比賽，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．至少有1名男生和至少有1名女生B．恰有1名男生和恰有2名男生C．至少有1名男生和都是女生D．至多有1名男生和都是女生8．某中學擬從4個重點研究性課題和6個一般研究性課題中各選2個課題作為本年度該校啟動的課題項目，若重點課題A和一般課題B至少有一個被選中的不同選法種數(shù)是k，那么二項式(1＋kx2)6的展開式中x4的系數(shù)為()A．50000B．52000C．54000D．560009．二項式的展開式中的有理項共有（）A．4項 B．5項 C．6項 D．7項10．如圖給出的是計算的值的程序框圖，其中判斷框內應填入的是（）A．i≤2023？ B．i≤2023？ C．i≤2023？ D．i≤2023？11．6位同學在2023年元旦聯(lián)歡中進行紀念品的交換，任意兩位同學之間最多交換一次，進行交換的兩位同學互贈一份紀念品，已知6位同學之間共進行了13次交換，則收到3份紀念品的同學人數(shù)為（）A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．1或312．已知0<a<1，方程a|x|＝|logax|的實根個數(shù)為n，且(x＋1)n＋(x＋1)11＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a10(x＋2)10＋a11(x＋2)11，則a1等于()A．－10B．9C．11D．－12二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上）13．某公司的廣告費支出x與銷售額y（單位：萬元）之間有下列對應數(shù)據：x24568y40605070已知y對x呈線性相關關系，且回歸方程為，可預測銷售額為萬元時約需萬元廣告費，工作人員不慎將表格中y的第一個數(shù)據遺失，該數(shù)據為．14．某校1000名學生的某次數(shù)學考試成績X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線如圖所示，則成績X位于區(qū)間(52,68]的人數(shù)大約是________.15．A，B，C，D四人站成一排，在A、B相鄰的條件下，B、C不相鄰的概率為．16．設=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+，其中ai，bi為實數(shù)（i=0，1，2，3，4），則a3=．三、解答題（本小題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明或演算步驟）17．(本題滿分10分)6男4女站成一排，求滿足下列條件的排法共有多少種？(1)任何2名女生都不相鄰，有多少種排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少種排法？(3)男生甲、乙、丙順序一定，有多少種排法？(4)男甲在男乙的左邊(不一定相鄰)有多少種不同的排法？18．（1）已知（2﹣x）50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50，求（a0+a2+a4+…+a50）2﹣（a1+a3+a5+…+a49）2的值；（2）已知（1+的展開式中第9項、第10項、第11項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求n．19．某班50位學生期中考試數(shù)學成績的頻率直方分布圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求圖中x的值；（2）根據頻率直方分布圖計算該班50位學生期中考試數(shù)學成績的平均數(shù)與中位數(shù)（精確到個位）；（3）從成績不低于80分的學生中隨機選取2人，該2人中成績在90分以上（含90分）的人數(shù)記為X，求P（X=1）．20．已知函數(shù)f（x）=ax+．（1）若連續(xù)擲兩次質地均勻的骰子（骰子六個面上標注的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）得到的點數(shù)分別為a和b，記事件B={f（x）＞b2在x∈（0，+∞）恒成立}，求事件B發(fā)生的概率．（2）從區(qū)間（﹣2，2）內任取一個實數(shù)a，設事件A={方程f（x）﹣2=0有兩個不同的正實數(shù)根}，求事件A發(fā)生的概率．21．某工廠生產甲、乙兩種產品，甲產品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產品的一等品率為90%，二等品率為10%．生產1件甲產品，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元；生產1件乙產品，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元．設生產各種產品相互獨立．（1）記X（單位：萬元）為生產1件甲產品和1件乙產品可獲得的總利潤，求X的分布列；（2）求生產4件甲產品所獲得的利潤不少于10萬元的概率．22．(本題滿分12分)(2023·山東理，19)甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是eq\f(3,4)，乙每輪猜對的概率是eq\f(2,3)；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結果亦互不影響．假設“星隊”參加兩輪活動，求：(1)“星隊”至少猜對3個成語的概率；(2)“星隊”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學期望E(X)．

湖北大悟書生學校2023學年度第一學期期末考試高二(理科)數(shù)學參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．1．從分別寫有A、B、C、D、E的5張卡片中，任取2張，這2張上的字母恰好按字母順序相鄰的概率為（）A． B． C． D．【考點】等可能事件的概率．【分析】由題意知本題是一個古典概型，試驗包含的總事件是從5張卡片中任取2張，有C52種取法，這2張上的字母恰好按字母順序相鄰的有A，B；B，C；C，D；D，E四種結果，代入公式，得到結果．【解答】解：由題意知本題是一個古典概型，∵試驗包含的總事件是從5張卡片中任取2張，有C52中取法，這2張上的字母恰好按字母順序相鄰的有A，B；B，C；C，D；D，E四種結果，∴由古典概型公式得到P==．故選B．2．B．3．設隨機變量ξ～B（n，p），且E（ξ）=，D（ξ）=，則（）A．n=8，p= B．n=4，p= C．n=5，p= D．n=7，p=【考點】離散型隨機變量的期望與方差．【分析】根據隨機變量符合二項分布，根據二項分布的期望和方差公式得到關于n，p的方程組，注意兩個方程之間的關系，把一個代入另一個，以整體思想來解決，求出P的值，再求出n的值，得到結果．【解答】解：∵隨機變量ξ～B（n，p），E（ξ）=，D（ξ）=，∴np=，①np（1﹣p）=②把①代入②得1﹣p==，∴p=∵np=∴n=8，故選A．4．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），P（ξ＞1）=p，則P（﹣1＜ξ＜0）等于（）A．p B．1﹣p C．1﹣2p D．﹣p【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【分析】根據隨機變量ξ服從標準正態(tài)分布N（0，1），得到正態(tài)曲線關于ξ=0對稱，利用P（ξ＞1）=p，即可求出P（﹣1＜ξ＜0）．【解答】解：∵隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），∴正態(tài)曲線關于ξ=0對稱，∵P（ξ＞1）=p，∴P（ξ＜﹣1）=p，∴P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p．故選：D．5．若=a+b（a，b為有理數(shù)），則a+b=（）A．32 B．12 C．0 D．﹣1【考點】二項式定理的應用．【分析】由二項式定理，得：a=C50+C52×2+C54×4=41，b=﹣C51﹣C53×2﹣C55×4=29，由此能求出a﹣b的值．【解答】解：由二項式定理，得：a=C50+C52×2+C54×4=41，b=﹣C51﹣C53×2﹣C55×4=﹣29∴a+b=41﹣29=12．故選：B．6．今天為星期四，則今天后的第22023天是（）A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五【考點】整除的基本性質．【分析】此類題一般用利用二項式定理展開，變?yōu)殛P于7的展開式，求得余數(shù)，確定出今天后的第22023天是星期幾【解答】解：∵22023=8672=（7+1）672=C6720×7672×10+C6721×7671×11+C6722×7670×12+…+C672672×70×1672，∴22023除7的余數(shù)是1，故今天為星期四，則今天后的第22023天是星期五，故選：D．7．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名學生參加演講比賽，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．至少有1名男生和至少有1名女生B．恰有1名男生和恰有2名男生C．至少有1名男生和都是女生D．至多有1名男生和都是女生【考點】互斥事件與對立事件．【分析】互斥事件是兩個事件不包括共同的事件，對立事件首先是互斥事件，再就是兩個事件的和事件是全集，由此規(guī)律對四個選項逐一驗證即可得到答案．【解答】解：至少有1名男生和至少有1名女生，兩者能同時發(fā)生，故A中兩個事件不是互斥事件，也不是對立事件；恰有1名男生和恰有兩名男生，兩者不能同時發(fā)生，且不對立，故B是互斥而不對立事件；至少有1名男生和全是女生，兩個事件不可能同時發(fā)生，且兩個事件的和事件是全集，故C中兩個事件是對立事件，至多有1名男生和都是女生，兩者能同時發(fā)生，故A中兩個事件不是互斥事件，也不是對立事件；故選：B．8．C．9．二項式的展開式中的有理項共有（）A．4項 B．5項 C．6項 D．7項【考點】二項式定理的應用．【分析】在二項式的展開式中通項公式中，令x的冪指數(shù)為整數(shù)，求得r的值的個數(shù)，可得結論．【解答】解：二項式的展開式中通項公式為Tr+1=?2r?，令20﹣為整數(shù)，可得r=0，2，4，6，8，10，共計6項，故選：C．10．如圖給出的是計算的值的程序框圖，其中判斷框內應填入的是（）A．i≤2023？ B．i≤2023？ C．i≤2023？ D．i≤2023？【考點】程序框圖．【分析】根據流程圖寫出每次循環(huán)i，S的值，和比較即可確定退出循環(huán)的條件，得到答案．【解答】解：根據流程圖，可知第1次循環(huán)：i=2，S=；第2次循環(huán)：i=4，S=；…第1008次循環(huán)：i=2023，S=；此時，設置條件退出循環(huán)，輸出S的值．故判斷框內可填入i≤2023．故選：B．11．6位同學在2023年元旦聯(lián)歡中進行紀念品的交換，任意兩位同學之間最多交換一次，進行交換的兩位同學互贈一份紀念品，已知6位同學之間共進行了13次交換，則收到3份紀念品的同學人數(shù)為（）A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．1或3【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題．【分析】由題意，“正難則反”考察沒交換的情況，即可得出結論．【解答】解：由題意，“正難則反”考察沒交換的情況，①設僅有甲與乙，丙沒交換紀念品，則收到3份紀念品的同學人數(shù)為1人；②設僅有甲與乙，丙與丁沒交換紀念品，則收到3份紀念品的同學人數(shù)為0人，實際上，沒交換的只有2次，得3份紀念品的同學人數(shù)至多為1，故選A．12．B二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上）13．某公司的廣告費支出x與銷售額y（單位：萬元）之間有下列對應數(shù)據：x24568y40605070已知y對x呈線性相關關系，且回歸方程為，可預測銷售額為萬元時約需10萬元廣告費，工作人員不慎將表格中y的第一個數(shù)據遺失，該數(shù)據為30．【考點】線性回歸方程．【分析】根據線性回歸方程為，令y=，即可求得銷售額為萬元時所需廣告費；根據樣本數(shù)據的中心在線性回歸方程上，即可求得第一個數(shù)據的值．【解答】解：∵回歸方程為，∴令y=，解得x=10，∴可預測銷售額為萬元時約需10萬元廣告費；設表中的第一個數(shù)據為a，∴x的平均數(shù)為5，y的平均數(shù)，∴點（5，）在回歸方程為上，∴=×5+，解得a=30，表格中y的第一個數(shù)據的值為30．故答案為：10；30．14．68315．A，B，C，D四人站成一排，在A、B相鄰的條件下，B、C不相鄰的概率為．【考點】古典概型及其概率計算公式．【分析】利用列舉法先求出基本事件總數(shù)，再求出在A、B相鄰的條件下，B、C不相鄰包含怕基本事件個數(shù)，由此能求出在A、B相鄰的條件下，B、C不相鄰的概率．【解答】解：A，B，C，D四人站成一排，A、B相鄰，所有的基本事件有：ABCD，ABDC，BACD，BADC，CABD，CBAD，DABC，DBAC，CDAB，CDBA，DCAB，DCBA，共有12個，其中B、C不相鄰的基本事件有：ABDC，BACD，BADC，CABD，DBAC，CDAB，CDBA，DCAB，共有8個，∴在A、B相鄰的條件下，B、C不相鄰的概率為p=．故答案為：．16．設=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+，其中ai，bi為實數(shù)（i=0，1，2，3，4），則a3=﹣256．【考點】二項式定理的應用．【分析】等式兩邊乘以（1+x）5，對比兩邊x9的系數(shù)得，對比兩邊x8的系數(shù)得，從而求得a3的值．【解答】解：等式兩邊乘以（1+x）5，可得（1+2x）9=（a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4）?（1+x）5+b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4，對比兩邊x9的系數(shù)得?29=，對比兩邊x8的系數(shù)得，∴，故答案為：﹣256．三、解答題（本小題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明或演算步驟）17．(本題滿分10分)6男4女站成一排，求滿足下列條件的排法共有多少種？(列出算式即可)(1)任何2名女生都不相鄰，有多少種排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少種排法？(3)男生甲、乙、丙順序一定，有多少種排法？(4)男甲在男乙的左邊(不一定相鄰)有多少種不同的排法？[解析](1)任何2名女生都不相鄰，則把女生插空，所以先排男生再讓女生插到男生的空中，共有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(4,7)種不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分類，若甲在末位，則有Aeq\o\al(9,9)種排法，若甲不在末位，則甲有Aeq\o\al(1,8)種排法，乙有Aeq\o\al(1,8)種排法，其余有Aeq\o\al(8,8)種排法，綜上共有(Aeq\o\al(9,9)＋Aeq\o\al(1,8)Aeq\o\al(1,8)·Aeq\o\al(8,8))種排法．方法二：甲在首位的共有Aeq\o\al(9,9)種，乙在末位的共有Aeq\o\al(9,9)種，甲在首位且乙在末位的有Aeq\o\al(8,8)種，因此共有(Aeq\o\al(10,10)－2Aeq\o\al(9,9)＋Aeq\o\al(8,8))種排法．(3)10人的所有排列方法有Aeq\o\al(10,10)種，其中甲、乙、丙的排序有Aeq\o\al(3,3)種，其中只有一種符合題設要求，所以甲、乙、丙順序一定的排法有eq\f(A\o\al(10,10),A\o\al(3,3))種．(4)男甲在男乙的左邊的10人排列與男甲在男乙的右邊的10人排列數(shù)相等，而10人排列數(shù)恰好是這二者之和，因此滿足條件的有eq\f(1,2)Aeq\o\al(10,10)種排法．18．（1）已知（2﹣x）50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50，求（a0+a2+a4+…+a50）2﹣（a1+a3+a5+…+a49）2的值；（2）已知（1+的展開式中第9項、第10項、第11項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求n．【考點】二項式定理的應用．【分析】（1）分別令x=1，x=﹣1，代入已知的等式，化簡變形可得（a0+a2+a4+…+a50）2﹣（a1+a3+a5+…+a49）2的值．（2）由條件利用（1+的展開式的通項公式，可得，計算求得n的值．【解答】解：（1）令x=1，得，令x=﹣1，得，把①②相乘得（a0+a1+a2+a3+a4+…+a50）?（a0﹣a1+a2﹣a3+a4+…﹣a49+a50）=（a0+a2+a4+…+a50）2﹣（a1+a3+a5+…+a49）2=150=1．（2）由于（1+的展開式的通項公式為，由題知，即+=2?，化簡可的n2﹣37n+322=0，求得n=14，或n=23．19．某班50位學生期中考試數(shù)學成績的頻率直方分布圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求圖中x的值；（2）根據頻率直方分布圖計算該班50位學生期中考試數(shù)學成績的平均數(shù)與中位數(shù)（精確到個位）；（3）從成績不低于80分的學生中隨機選取2人，該2人中成績在90分以上（含90分）的人數(shù)記為X，求P（X=1）．【考點】頻率分布直方圖．【分析】（1）根據頻率和為1，計算x的值；（2）利用頻率分布直方圖，計算平均數(shù)與中位數(shù)的值；（3）計算分數(shù)在[80，90）、[90，100]內的人數(shù)，計算P（X=1）的值．【解答】解：（1）根據頻率和為1，得x=﹣×3﹣﹣=；（2）利用頻率分布直方圖，計算平均數(shù)為=45×+55×+65×+75×+85×+95×=74；設中位數(shù)為a，則（a﹣70）×+++=，解得a=75≈75；（3）分數(shù)在[80，90）內的人數(shù)為：50××10=9；在[90，100]內的人數(shù)為：50××10=3；即分數(shù)在[80，90）的有9人，分數(shù)在[90，100]的有3人，所以P（X=1）==．20．已知函數(shù)f（x）=ax+．（1）若連續(xù)擲兩次質地均勻的骰子（骰子六個面上標注的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）得到的點數(shù)分別為a和b，記事件B={f（x）＞b2在x∈（0，+∞）恒成立}，求事件B發(fā)生的概率．（2）從區(qū)間（﹣2，2）內任取一個實數(shù)a，設事件A={方程f（x）﹣2=0有兩個不同的正實數(shù)根}，求事件A發(fā)生的概率．【考點】列舉法計算基本事