高中數(shù)學高考一輪復習一輪復習 第一節(jié) 空間幾何體及其表面積體積

課時作業(yè)(三十八)空間幾何體及其表面積、體積1．(多選)(2023·上海大學附中月考)下列命題是假命題的是()A．有兩個側面是矩形的四棱柱是直四棱柱B．正四面體是特殊的正四棱柱C．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體叫做棱錐D．正四棱柱是平行六面體ABC[A項，當兩個側面是矩形且相鄰時，四棱柱是直四棱柱，當兩個側面是矩形且不相鄰時，四棱柱不一定是直四棱柱，故A項錯誤；B項，正四面體是三棱錐，故B項錯誤；C項，棱錐是有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形的幾何體，故C項錯誤；D項，正四棱柱是平行六面體，故D項正確．故選ABC.]2．將一個等腰梯形繞它的較長的底邊所在的直線旋轉一周，所得的幾何體包括()A．一個圓臺、兩個圓錐 B．兩個圓臺、一個圓柱C．兩個圓柱、一個圓臺 D．一個圓柱、兩個圓錐D[從較短的底邊的端點向另一底邊作垂直，兩條垂線把等腰梯形分成了兩個直角三角形，一個矩形，所以一個等腰梯形繞它的較長的底邊所在直線旋轉一周形成的是由一個圓柱，兩個圓錐所組成的幾何體如圖所示．]3．正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2，側棱長為eq\r(3)，D為BC中點，則三棱錐A-B1DC1的體積為()A．3 B．eq\f(3,2)C．1 D．eq\f(\r(3),2)C[由題意可知AD⊥BC，由面面垂直的性質定理可得AD⊥平面DB1C1，又AD＝2·sin60°＝eq\r(3)，所以Veq\a\vs4\al(A-B1DC1)＝eq\f(1,3)AD·Seq\a\vs4\al(△B1DC1)＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝1，故選C.]4．(2023·全國卷Ⅱ)已知△ABC是面積為eq\f(9\r(3),4)的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上．若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為()A．eq\r(3) B．eq\f(3,2)C．1 D．eq\f(\r(3),2)C[設等邊三角形ABC的邊長為a，因為其面積為eq\f(9\r(3),4)，所以eq\f(1,2)a·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(9\r(3),4)，解得a＝3，則外接圓半徑r＝eq\f(2,3)·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a＝eq\r(3).設球O的半徑為R，因為球O的表面積為16π，所以4πR2＝16π，得R2＝4.所以O到平面ABC的距離d＝eq\r(R2－r2)＝1，故選C.]5．(多選)已知正方體的外接球與內切球上各有一個動點M，N，若線段M，N的最小值為eq\r(3)－1，則()A．正方體的外接球的表面積為12πB．正方體的內切球的體積為eq\f(4π,3)C．正方體的棱長為2D．線段MN的最大值為2eq\r(3)ABC[設正方體的棱長為a，則正方體的外接球的半徑為對角線的一半，即R＝eq\f(\r(3),2)a，內切球為棱長的一半，即r＝eq\f(a,2)，由于M和N為外接球和內切球上的動點，對于C：所以MNmin＝eq\f(\r(3),2)a－eq\f(a,2)＝eq\r(3)－1，解得a＝2.故C正確；對于A：所以外接球的表面積為S＝4·π·(eq\r(3))2＝12π，故A正確；對于B：內切球的體積為V＝eq\f(4,3)·π·13＝eq\f(4π,3)，故B正確；對于D：線段MN的最大值為eq\f(\r(3),2)a＋eq\f(a,2)＝eq\r(3)＋1，故D錯誤．故選ABC.]6．有一個長為5cm，寬為4cm的矩形，則其直觀圖的面積為________．解析：由于該矩形的面積S＝5×4＝20(cm2)，所以其直觀圖的面積S′＝eq\f(\r(2),4)S＝5eq\r(2)(cm2).答案：5eq\r(2)cm27．給出下列說法：①球的半徑是球面上任意一點與球心的連線段；②球的直徑是球面上任意兩點的連線段；③用一個平面截一個球面，得到的是一個圓；④球常用表示球心的字母表示其中正確的是________；錯誤的是________．解析：根據(jù)球的定義直接判斷①正確；②錯誤；③用一個平面截一個球面，得到的是一個圓；可以是小圓，也可能是大圓，正確；④球常用表示球心的字母表示．滿足球的定義正確．答案：①③④；②8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，已知四棱錐的表面積是12，則它的體積為________．解析：由題意可知四棱錐P-ABCD為正四棱錐，設AC交BD于點O，連接PO，則PO是四棱錐的高．設正四棱錐的斜高為h′，則2×2＋4×eq\f(1,2)×2h′＝12，解得h′＝2，則正四棱錐的高PO＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).∴正四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×4×eq\r(3)＝eq\f(4\r(3),3).答案：eq\f(4\r(3),3)9．如圖所示，在側棱長為2eq\r(3)的正三棱錐V-ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，過A作截面AEF，求△AEF周長的最小值．解析：如圖，將三棱錐沿側棱VA剪開，并將其側面展開平鋪在一個平面上，則線段AA1的長即為所求△AEF的周長的最小值．取AA1的中點D，連接VD，則VD⊥AA1，∠AVD＝60°.在Rt△VAD中，AD＝VA·sin60°＝3，所以AA1＝2AD＝6，即△AEF周長的最小值為6.10.現(xiàn)需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，若AB＝6m，PO1＝2m，則倉庫的容積是多少？解析：由PO1＝2m，知O1O＝4PO1＝8m.因為A1B1＝AB＝6m，所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐＝eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3).故倉庫的容積是312m3.11．(多選)如圖，圓錐頂點為P，底面圓心為O，過軸PO的截面PAB，C為PA中點，PA＝4eq\r(3)，PO＝6，下列正確的是()A．截面PAB的面積為12eq\r(3)B．圓錐的體積為36πC．圓錐的表面積為12πD．從點C經(jīng)圓錐側面到點B的最短距離為2eq\r(15)ACD[由已知的AO＝eq\r(（4\r(3)）2－62)＝2eq\r(3)，截面PAB的面積為eq\f(1,2)×4eq\r(3)×6＝12eq\r(3)；圓錐的體積為eq\f(1,3)π(2eq\r(3))2×6＝24π；圓錐的表面積為π×(2eq\r(3))2＋π×2eq\r(3)×4eq\r(3)＝36π；沿圓錐母線PA剪開再展開，則圓錐底面周長為4eq\r(3)π，展開后所得扇形為半圓，B到B′處，則從點C經(jīng)圓錐側面到點B的最短距離為eq\r(（2\r(3)）2＋（4\r(3)）2)＝2eq\r(15).故選ACD.]12．(2023·福建省質量檢測)某學生到工廠實踐，欲將一個底面半徑為2，高為3的實心圓錐體工件切割成一個圓柱體，并使圓柱體的一個底面落在圓錐體的底面內．若不考慮損耗，則得到的圓柱體的最大體積是()A．eq\f(16π,9) B．eq\f(8π,9)C．eq\f(16π,27) D．eq\f(8π,27)A[如圖，OC＝2，OA＝3，由△AED∽△AOC可得eq\f(ED,OC)＝eq\f(AE,AO).設圓柱體的底面半徑r＝ED＝2x(0<x<1)，可得AE＝3x，則圓柱體的高h＝OE＝3－3x，圓柱體的體積V＝π(2x)2(3－3x)＝12π(x2－x3)，令V(x)＝12π(x2－x3)，則V′(x)＝12π(2x－3x2)，令V′(x)＝0，解得x＝eq\f(2,3)或x＝0(舍去)，可得V(x)在(0，eq\f(2,3))上單調遞增，在(eq\f(2,3)，1)上單調遞減，故當x＝eq\f(2,3)時，V(x)取得最大值，V(x)max＝eq\f(16π,9)，即圓柱體的最大體積是eq\f(16π,9).]13．如圖所示，從三棱錐P-ABC的頂點P沿著三條側棱PA，PB，PC剪開成平面圖形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.(1)在三棱錐P-ABC中，求證：PA⊥BC；(2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱錐P-ABC的體積．解析：(1)證明：由題設知A，B，C分別是P1P3，P1P2，P2P3的中點，且P2P1＝P2P3，從而PB＝PC，AB＝AC，取BC的中點D，連接AD，PD(圖略)，則AD⊥BC，PD⊥BC，又AD∩PD＝D，∴BC⊥平面PAD.又PA?平面PAD，故PA⊥BC.(2)由題設有AB＝AC＝eq\f(1,2)P1P2＝13，PA＝P1A＝BC＝10，PB＝PC＝P1B＝13，∴AD＝PD＝eq\r(AB2－BD2)＝12，在等腰三角形DPA中，底邊PA上的高h＝eq\r(AD2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PA))\s\up12(2))＝eq\r(119)，∴S△DPA＝eq\f(1,2)PA·h＝5eq\r(119).又BC⊥平面PAD，∴VP－ABC＝VB-PDA＋VC-PDA＝eq\f(1,3)BD·S△DPA＋eq\f(1,3)DC·S△PDA＝eq\f(1,3)BC·S△PDA＝eq\f(1,3)×10×5eq\r(119)＝eq\f(50,3)eq\r(119).14．(創(chuàng)新型)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點E在線段BB1和線段A1B1上移動，∠EAB＝θ，θ∈(0，eq\f(π,2))，過直線AE，AD的平面ADFE將正方體分成兩部分．記棱BC所在部分的體積為V(θ)，則函數(shù)V＝V(θ)，θ∈(0，eq\f(π,2))的大致圖象是()C[當θ∈(0，eq\f(π,4))時，BE＝tanθ，則棱BC所在部分的體積V(θ)＝eq\f(1,2)tanθ，所以當θ∈(0，eq\f(π,4))時，函數(shù)V(θ)的圖象與三角函數(shù)y＝tanθ的圖象相似，因此排除A，B；當θ∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))時，A1E＝tan(eq\f(π,2)－θ)，則棱BC所在部分的體積V(θ)＝1－eq\f(1,2)tan(eq\f(π,2)－θ)，則函數(shù)V＝V(θ)，θ∈(0，eq\f(π,2))的圖象關于點(eq\f(π,4)，eq\f(1,2))對稱，因此排除D.故選C.]15．中國古代數(shù)學家劉徽《九章算術注》中記述：羨除，隧道也，其形體上面平而下面斜，一面與地面垂直，并用“分割法”加以剖分求其體積．如圖所示的五面體ABCDEF是一個羨除，兩個梯形側面ABCD與CDEF相互垂直，AB∥CD∥EF.若AB＝1，EF＝2，CD＝3，梯形ABCD與CDEF的高分別為h1＝3和h2＝1，則該羨除的體積V＝________；由此歸納出求羨除體積的一般公式為V＝________．解析：在平面ABCD內，過A，B兩點分別作CD的垂線，垂足分別為G，H，在平面CDEF內，過G，H兩點分別作EF的垂線，垂足分別為M，N.由平面ABCD與平面CDEF垂直知，AG⊥MG，BH⊥HN，又AB∥CD∥EF，所以易證平面AGM∥平面BHN，且GH⊥平面AGM，所以幾何體AGM-BHN為直棱柱．將羨除ABCDEF分割成兩個四棱錐ADEMG，B-HNFC和一個直棱柱AGM-BHN.所以所求幾何體體積VABCDEF＝V直棱柱AGM-BHN＋V四棱錐A-DEMG＋V四棱錐B-HNFG＝S△AGM·GH＋eq\f(1,3)S四邊形DEMG·AG＋eq\f(1,3)S四邊形HNFC·BH＝eq\f(1,2)AG·GM·GH＋eq\f(1,3)(eq\f(DG＋EM,2)·GM·AG＋eq\f(HC＋NF,2)·HN·BH)＝eq\f(1,2)