高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)兩直線的位置關(guān)系精品課件新

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)兩直線的位置關(guān)系精品課件新回歸課本1.兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線l1,l2,其斜率分別為k1,k2,則有l(wèi)1∥l2?k1=k2.特別地,當(dāng)直線l1、l2的斜率都不存在時(shí),l1與l2的關(guān)系為.(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1,l2的斜率存在,分別設(shè)為k1,k2,則l1⊥l2?k1·k2=-1.一般地:若直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全為0),直線l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全為0),則l1∥l2?A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0).l1⊥l2?A1A2+B1B2=0,l1與l2重合?A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1=0(或B1C2-B2C1=0).2.三種距離(1)兩點(diǎn)間的距離平面上的兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式

特別地,原點(diǎn)(0,0)與任一點(diǎn)P(x,y)的距離(2)點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離(3)兩條平行線的距離 兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離考點(diǎn)陪練1.已知兩條直線y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,則a等于()解析:由a(a+2)=-1,解得a=-1.答案:D2.已知兩直線l1:x+ysinθ-1=0,l2:2xsinθ+y+1=0,若l1∥l2,則θ=________.解析:當(dāng)sinθ=0時(shí),不合題意.當(dāng)sinθ≠0時(shí),=2sinθ,∴sinθ=∴θ=kπ±,k∈Z.答案:kπ±,k∈Z3.過(guò)點(diǎn)A(1,2)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程為()A.x+2y-5=0 B.3x+y-4=0C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0解析:所求直線過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直時(shí)滿足條件,此時(shí)kOA=2,故所求直線的斜率為 所以直線方程為 即x+2y-5=0.答案:A4.已知P1(x1,y1)是直線l:f(x,y)=0上的一點(diǎn),P2(x2,y2)是直線l外一點(diǎn),由方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0表示的直線與直線l的位置關(guān)系是()A.互相重合 B.互相平行C.互相垂直 D.互相斜交答案:B5.將直線l:x+2y-1=0向左平移3個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位后得到直線l′,則直線l與l′的距離為()答案:B類型一兩條直線位置關(guān)系的判定和應(yīng)用解題準(zhǔn)備:判斷兩條直線平行或垂直時(shí),往往從兩條直線斜率間的關(guān)系入手加以判斷,當(dāng)直線方程中含有字母系數(shù)時(shí),要考慮斜率不存在的特殊情況.判斷兩直線垂直時(shí),若用l1⊥l2?A1A2+B1B2=0可不用分類討論,但在兩直線平行的判斷中,既要看斜率,又要看截距.【典例1】已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行;(2)當(dāng)l1⊥l2時(shí),求a的值.[分析]可以把直線化成斜截式,運(yùn)用斜率或截距的數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷求解,但由于直線的斜率可能不存在,就必須進(jìn)行分類討論;也可以運(yùn)用一般式方程中的關(guān)系來(lái)判斷或求解,這樣可以避免討論.[反思感悟](1)直線l1:y=k1x+b1,直線l2:y=k2x+b2,“l(fā)1∥l2?k1=k2且b1≠b2”的前提條件是l1,l2的斜率都存在,若不能確定斜率的存在性,應(yīng)對(duì)其進(jìn)行分類討論:當(dāng)l1,l2中有一條存在斜率,而另一條不存在斜率時(shí),l1與l2不平行;當(dāng)l1,l2的斜率都不存在(l1與l2不重合)時(shí),l1∥l2;當(dāng)l1,l2均有斜率且k1=k2,b1≠b2時(shí),有l(wèi)1∥l2.為避免分類的討論,可采用直線方程的一般式,利用一般式方程中的“系數(shù)關(guān)系”的形式來(lái)判斷兩直線是否平行,如本例解法二.(2)當(dāng)l1⊥l2時(shí),可分斜率不存在與斜率存在,且k1·k2=-1解決問(wèn)題,如果利用A1A2+B1B2=0可避免分類討論.類型二距離問(wèn)題3.點(diǎn)到幾種特殊直線的距離:(1)點(diǎn)P(x0,y0)到x軸的距離d=|y0|.(2)點(diǎn)P(x0,y0)到y(tǒng)軸的距離d=|x0|.(3)點(diǎn)P(x0,y0)到與x軸平行的直線y=a的距離d=|y0-a|.(4)點(diǎn)P(x0,y0)到與y軸平行的直線x=b的距離d=|x0-b|.【典例2】?jī)蓷l互相平行的直線分別過(guò)點(diǎn)A(6,2),B(-3,-1),并且各自繞著A,B旋轉(zhuǎn),如果兩條平行直線間的距離為d.求:(1)d的變化范圍;(2)當(dāng)d取最大值時(shí),兩條直線的方程.[解](1)解法一:①當(dāng)兩條直線的斜率都不存在時(shí),即兩直線分別為x=6和x=-3,則它們之間的距離為9.②當(dāng)兩條直線的斜率存在時(shí),設(shè)這兩條直線方程為l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3), 即l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0.∴即(81-d2)k2-54k+9-d2=0.∵k∈R,且d≠9,d>0,∴Δ=542-4(81-d2)(9-d2)≥0,即0<d≤且d≠9.綜合①②可知,所求的d的變化范圍為解法二:如圖所示,顯然有0<d≤|AB|. (2)由圖可知,當(dāng)d取最大值時(shí),兩直線垂直于AB.則∴所求的直線的斜率為-3.故所求的直線方程分別為y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3),即3x+y-20=0和3x+y+10=0.類型三 交點(diǎn)及直線系問(wèn)題解題準(zhǔn)備:符合特定條件的某些直線構(gòu)成一個(gè)直線系,常見(jiàn)的直線系方程有如下幾種:(1)過(guò)定點(diǎn)M(x0,y0)的直線系方程為y-y0=k(x-x0)(這個(gè)直線系方程中未包括直線x=x0).(2)和直線Ax+By+C=0平行的直線系方程為Ax+By+C′=0(C≠C′).(3)和直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程為Bx-Ay+C′=0.(4)經(jīng)過(guò)兩相交直線A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(這個(gè)直線系方程中不包括直線A2x+B2y+C2=0).【典例3】求經(jīng)過(guò)直線l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交點(diǎn),且垂直于直線l3:3x-5y+6=0的直線l的方程.[分析]本題可先求出交點(diǎn)坐標(biāo),然后由直線間的位置關(guān)系求得;也可由直線系方程,根據(jù)直線間位置關(guān)系求得.解法二:∵l⊥l3,故l是直線系5x+3y+C=0中的一條,而l過(guò)l1、l2的交點(diǎn)(-1,2),故5×(-1)+3×2+C=0.由此求出C=-1,故l的方程為5x+3y-1=0.解法三:∵l過(guò)l1、l2的交點(diǎn),故l是直線系3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0中的一條,將其整理,得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0.其斜率解得λ=代入直線系方程即得l的方程為5x+3y-1=0.[反思感悟]對(duì)直線系方程的形式不熟悉或不能正確運(yùn)用直線系方程,是出錯(cuò)的原因之一.運(yùn)用直線系方程,有時(shí)會(huì)給解題帶來(lái)方便,常見(jiàn)的直線系方程有:(1)與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是:Ax+By+m=0(m∈R且m≠C)(2)與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R)(3)過(guò)直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.類型四 對(duì)稱問(wèn)題解題準(zhǔn)備:(1)對(duì)稱問(wèn)題主要包括中心對(duì)稱和軸對(duì)稱.中心對(duì)稱:①點(diǎn)P(x,y)關(guān)于O(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)P′(x′,y′)滿足②直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決.軸對(duì)稱:①點(diǎn)A(a,b)關(guān)于直線Ax+By+C=0(B≠0)的對(duì)稱點(diǎn)A′(m,n),則有②直線關(guān)于直線的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決. (2)在對(duì)稱問(wèn)題中,點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱是中心對(duì)稱中最基本的,處理這類問(wèn)題主要抓住:已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)連成線段的中點(diǎn)為對(duì)稱中心;點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱是軸對(duì)稱中最基本的,處理這類問(wèn)題要抓住兩點(diǎn):一是已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直;二是已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上.【典例4】求直線a:2x+y-4=0關(guān)于直線l:3x+4y-1=0對(duì)稱的直線b的方程.[分析]本題的思路較多,可以根據(jù)點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫出直線b的方程,也可以利用軌跡或?qū)ΨQ觀點(diǎn)求出直線b的方程.錯(cuò)源一缺乏分類意識(shí)【典例1】求過(guò)直線4x-2y-1=0與直線x-2y+5=0的交點(diǎn)且與兩點(diǎn)A(0,8),B(4,0)距離相等的直線l的方程. [剖析]錯(cuò)解缺乏分類討論的意識(shí),對(duì)直線的位置關(guān)系考慮不全,事實(shí)上當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)時(shí)也滿足條件. [正解]由已知可求得兩直線的交點(diǎn)為(1)若點(diǎn)A,B在直線l的同側(cè),則l∥AB,AB的斜率k=-2.所以直線l的方程為 即4x+2y-15=0.(2)若點(diǎn)A,B在直線l的兩側(cè),則直線l經(jīng)過(guò)線段AB的中點(diǎn)(2,4),可求出直線方程為x=2.綜上可得,直線l的方程為4x+2y-15=0或x=2.錯(cuò)源二 忽視隱含條件【典例2】如果直線(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2與y軸平行,求m的值.[錯(cuò)解]因?yàn)橹本€(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2與y軸平行,所以m2+3m+2=0.解得m=-1或m=-2.所以當(dāng)m=-1或m=-2時(shí)直線與y軸平行.[剖析]方程Ax+By+C=0表示直線,其中隱含著A·B≠0這一條件.當(dāng)m=-2時(shí),直線方程(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2為0·x+0·y=0,它不表示直線,所以出現(xiàn)錯(cuò)誤. [正解]因?yàn)橹本€(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2與y軸平行,所以m2+3m+2=0,且m+2≠0,解得m=-1,所以當(dāng)m=-1時(shí)直線與y軸平行.技法一數(shù)形結(jié)合【典例1】已知△ABC中,A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),AB、AC邊上的中線所在直線方程分別為x-2y+1=0和y-1=0,求△ABC各邊所在直線的方程.[解題切入點(diǎn)]畫出草圖幫助思考,欲求各邊所在直線的方程,只需求出三角形頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo).B點(diǎn)應(yīng)滿足的兩個(gè)條件是:①B在直線y-1=0上;②BA的中點(diǎn)D在直線x-2y+1=0上.由①可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(xB,1),進(jìn)而再由②確定xB,依照同樣的方法可以確定頂點(diǎn)C的坐標(biāo),故△ABC各邊所在的直線方程可求.[解]設(shè)AB、AC邊上的中線分別為CD?BE,其中D?E為中點(diǎn).∵B在中線y-1=0上,∴設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(xB,1).又∵D為AB的中點(diǎn),A(1,3), ∴D的坐標(biāo)為 [方法與技巧]依據(jù)已知條件求平面圖形中某些直線的方程,必須“數(shù)形結(jié)合”.通過(guò)數(shù)形結(jié)合,特別是借助平面圖形分析出隱含條件,這樣可以達(dá)到化難為易?化繁為簡(jiǎn)的目的,以形助數(shù)也是平面解析幾何中常用的方法.技法二對(duì)稱問(wèn)題的解法(1)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱【典例2】已知直線l:3x-y+3=0,求點(diǎn)P(4,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn).[解題切入點(diǎn)]利用對(duì)稱性質(zhì)列有關(guān)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的方程組進(jìn)而求解.[方法與技巧]解法一的應(yīng)用最為廣泛,其關(guān)鍵是利用“垂直”?“平分”.點(diǎn)P(a,b)關(guān)于特殊直線的對(duì)稱點(diǎn)列表如下:(2)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【典例3】求直線l1:2x-y+1=0關(guān)于點(diǎn)P(2,1)的對(duì)稱直線l2的方程.[解題切入點(diǎn)]利用好中心對(duì)稱的性質(zhì)是解對(duì)稱問(wèn)題的關(guān)鍵.[解]解法一:因?yàn)閘1與l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱,所以l1∥l2.設(shè)l2:2x-y+C=0.由點(diǎn)P(2,1)到兩直線的距離相等,有:解得C=-7或C=1(舍去).故所求的方程為2x-y-7=0.解法二:設(shè)直線l2上任意一點(diǎn)Q(x,y),則它關(guān)于P(2,1)的對(duì)稱點(diǎn)為Q′(4-x,2-y).由Q′在直線2x-y+1=0上可得2(4-x)-(2-y)+1=0.化簡(jiǎn)可得:2x-y-7=0.[方法與技巧]解法一是利用線線平行及點(diǎn)到兩直線距離相等來(lái)解;解法二是設(shè)動(dòng)點(diǎn),運(yùn)用“代入法”求解,這也是求曲線方程的一般方