高中數(shù)學(xué)人教A版第二章數(shù)列等比數(shù)列（全國(guó)一等獎(jiǎng)）

等比數(shù)列的性質(zhì)一、教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能1.了解等比數(shù)列更多的性質(zhì);2.能將學(xué)過(guò)的知識(shí)和思想方法運(yùn)用于對(duì)等比數(shù)列性質(zhì)的進(jìn)一步思考和有關(guān)等比數(shù)列的實(shí)際問(wèn)題的解決中;3.能在生活實(shí)際的問(wèn)題情境中，抽象出等比數(shù)列關(guān)系，并能用有關(guān)的知識(shí)解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題.過(guò)程與方法1.繼續(xù)采用觀察、思考、類比、歸納、探究、得出結(jié)論的方法進(jìn)行教學(xué);2.對(duì)生活實(shí)際中的問(wèn)題采用合作交流的方法，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，引導(dǎo)學(xué)生探究問(wèn)題的解決方法，經(jīng)歷解決問(wèn)題的全過(guò)程;3.當(dāng)好學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者的角色.情感態(tài)度與價(jià)值觀1.通過(guò)對(duì)等比數(shù)列更多性質(zhì)的探究，培養(yǎng)學(xué)生的良好的思維品質(zhì)和思維習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生對(duì)知識(shí)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生的類比、歸納的能力;2.通過(guò)生活實(shí)際中有關(guān)問(wèn)題的分析和解決，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)社會(huì)、了解社會(huì)的意識(shí)，更多地知道數(shù)學(xué)的社會(huì)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值.二、教學(xué)重點(diǎn)：1.探究等比數(shù)列更多的性質(zhì);2.解決生活實(shí)際中的等比數(shù)列的問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn)；滲透重要的數(shù)學(xué)思想（類比思想、歸納思想、數(shù)形結(jié)合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等.）.三、學(xué)情及導(dǎo)入分析：這節(jié)課師生將進(jìn)一步探究等比數(shù)列的知識(shí)，以教材練習(xí)中提供的問(wèn)題作為基本材料，認(rèn)識(shí)等比數(shù)列的一些基本性質(zhì)及內(nèi)在的聯(lián)系，理解并掌握一些常見(jiàn)結(jié)論，進(jìn)一步能用來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題.通過(guò)一些問(wèn)題的探究與解決，滲透重要的數(shù)學(xué)思想方法.教學(xué)中以師生合作探究為主要形式，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.教具準(zhǔn)備多媒體課件、投影膠片、投影儀等四、教學(xué)過(guò)程：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)舊知識(shí)，引入新知?dú)w納抽象形成概念比較分析，深化認(rèn)識(shí)1.溫故知新師教材中第59頁(yè)練習(xí)第3題、第4題，請(qǐng)學(xué)生課外進(jìn)行活動(dòng)探究，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們把你們的探究結(jié)果展示一下.師對(duì)各組的匯報(bào)給予評(píng)價(jià).師出示多媒體幻燈片一：第3題、第4題詳細(xì)解答：猜想：在數(shù)列{an}中每隔m(m是一個(gè)正整數(shù))取出一項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)數(shù)列是以a1為首項(xiàng)、qm為公比的等比數(shù)列.

本題可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，等比數(shù)列中下標(biāo)為等差數(shù)列的子數(shù)列也構(gòu)成等比數(shù)列，可以讓學(xué)生再探究幾種由原等比數(shù)列構(gòu)成的新等比數(shù)列的方法.第4題解答：設(shè){an}的公比是q，則a52=(a1q4)2=a12q8而a3·a7=a1q2·a1q6=a12q8,所以a52=a3·a7.同理,a52=a1·a9.(2)用上面的方法不難證明an2=an-1·an+1(n＞1).由此得出，an是an-1和an+1的等比中項(xiàng)，同理可證an2=an-k·an+k(n＞k＞0).an是an-k和an+k的等比中項(xiàng)(n＞k＞0).師和等差數(shù)列一樣，等比數(shù)列中蘊(yùn)涵著許多的性質(zhì)，如果我們想知道的更多，就要對(duì)它作進(jìn)一步的探究.學(xué)生回答；生由學(xué)習(xí)小組匯報(bào)探究結(jié)果.第3題解答：(1)將數(shù)列{an}的前k項(xiàng)去掉，剩余的數(shù)列為ak+1，ak+2,….令bi=ak+i,i=1,2,…,則數(shù)列ak+1,ak+2,…,可視為b1,b2，….因?yàn)?i≥1),所以，{bn}是等比數(shù)列，即ak+1，ak+2,…是等比數(shù)列.(2){an}中每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)組成的數(shù)列是a1,a11,a21，…,則(k≥1).所以數(shù)列a1,a11,a21,…是以a1為首項(xiàng)，q10為公比的等比數(shù)列.由復(fù)習(xí)引入，通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部提出問(wèn)題。合作探究師出示投影膠片1例題1(教材P61B組第3題)就任一等差數(shù)列{an}，計(jì)算a7+a10，a8+a9和a10+a40，a20+a30，你發(fā)現(xiàn)了什么一般規(guī)律，能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用一般化的推廣嗎？從等差數(shù)列和函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題.在等比數(shù)列中會(huì)有怎樣的類似結(jié)論？師注意題目中“就任一等差數(shù)列{an}”，你打算用一個(gè)什么樣的等差數(shù)列來(lái)計(jì)算？師很好，這個(gè)數(shù)列最便于計(jì)算，那么發(fā)現(xiàn)了什么樣的一般規(guī)律呢？師題目要我們“從等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題”，如何做？師出示多媒體課件一：等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系.師從等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題：由等差數(shù)列{an}的圖象，可以看出,根據(jù)等式的性質(zhì)，有.所以ak+as=ap+aq.師在等比數(shù)列中會(huì)有怎樣的類似結(jié)論？師讓學(xué)生給出上述猜想的證明.證明：設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q，則有ak·as=a1qk-1·a1qs-1=a12·qk+s-2,ap·at=a1qp-1·a1qt-1=a12·q因?yàn)閗+s=p+t,所以有ak·as=ap·at.師指出：經(jīng)過(guò)上述猜想和證明的過(guò)程，已經(jīng)得到了等比數(shù)列的一個(gè)新的性質(zhì).即等比數(shù)列{an}中，若k+s=p+t(k,s,p,t∈N*)，則有ak·as=ap·at.師下面有兩個(gè)結(jié)論：(1)與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積；(2)與某一項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)之積等于這一項(xiàng)的平方.你能將這兩個(gè)結(jié)論與上述性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)嗎？師引導(dǎo)學(xué)生思考，得出上述聯(lián)系，并給予肯定的評(píng)價(jià).師上述性質(zhì)有著廣泛的應(yīng)用.師出示投影膠片2：例題2例題2（1）在等比數(shù)列{an}中，已知a1=5,a9a10=100,求a18（2）在等比數(shù)列{bn}中，b4=3,求該數(shù)列前七項(xiàng)之積；（3）在等比數(shù)列{an}中，a2=-2,a5=54,求a8.生用等差數(shù)列1，2，3，…生在等差數(shù)列{an}中，若k+s=p+q(k,s,p,q∈N*)，則ak+as=ap+aq.生思考、討論、交流.生猜想對(duì)于等比數(shù)列{an}，類似的性質(zhì)為：k+s=p+t(k,s,p,t∈N*)，則ak·as=ap·at.生思考、列式、合作交流，得到：結(jié)論(1)就是上述性質(zhì)中1+n=(1+t)+(n-t)時(shí)的情形；結(jié)論(2)就是上述性質(zhì)中k+k=(k+t)+(k-t)時(shí)的情形.例題2三個(gè)小題由師生合作交流完成，充分讓學(xué)生思考，展示將問(wèn)題與所學(xué)的性質(zhì)聯(lián)系到一起的思維過(guò)程.解答：(1)在等比數(shù)列{an}中，已知a1=5，a9a10=100，求a18解：∵a1a18=a9a10，∴a18=(2)在等比數(shù)列{bn}中，b4=3，求該數(shù)列前七項(xiàng)之積.解：b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.∵b42=b1b7=b2b6=b3b5，∴前七項(xiàng)之積(32)3×3=37=2187.(3)在等比數(shù)列{an}中，a2=-2，a5=54，求a8.解：.∵a5是a2與a8的等比中項(xiàng)，∴542=a8×(-2).∴a8=-1458.另解：a8=a5q3=a5·=-1458.培養(yǎng)學(xué)生分析，抽象能力、感受數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程及建模思想。培養(yǎng)學(xué)生善于聯(lián)想，體會(huì)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。教師引導(dǎo)學(xué)生回答，作出評(píng)價(jià)例題解析師判斷一個(gè)數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法：1、定義法；2、中項(xiàng)法；3、通項(xiàng)公式法.例題3：已知{an}{bn}是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，仿照下表中的例子填寫表格.從中你能得出什么結(jié)論？證明你的結(jié)論.anbnan·bn判斷{an·bn}是否是等比數(shù)列例-5×2n-1是自選1自選2師請(qǐng)同學(xué)們自己完成上面的表.師根據(jù)這個(gè)表格，我們可以得到什么樣的結(jié)論？如何證明？［教師精講］除了上面的證法外，我們還可以考慮如下證明思路：證法二：設(shè)數(shù)列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么數(shù)列{an·bn}的第n項(xiàng)、第n-1項(xiàng)與第n＋1項(xiàng)(n＞1,n∈N*)分別為a1pn-1b1qn-1、a1pn-2b1qn-2與a1pnb1qn，因?yàn)?anbn)2=(a1pn-1b1qn-1)2=(a1b1)2(pq)2(n-1),(an-1·bn-1)(an+1·bn+1)=(a1pn-2b1qn-2)(a1pnb1qn)=(a1b1)2(pq)2(n-1),即有(anbn)2=(an-1·bn-1)(an+1·bn+1)(n＞1,n∈N*),所以{an·bn}是一個(gè)等比數(shù)列.師根據(jù)對(duì)等比數(shù)列的認(rèn)識(shí)，我們還可以直接對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式考察：證法三：設(shè)數(shù)列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么數(shù)列{an·bn}的通項(xiàng)公式為anbn=a1pn-1b1qn-1=(a1b1)(pq)n-1,設(shè)cn=anbn,則cn=(a1b1)(pq)n-1,所以{an·bn}是一個(gè)等比數(shù)列.學(xué)生分組討論自主探究，教師巡視指導(dǎo)。生得到：如果{an}、{bn}是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，那么{an·bn}也是等比數(shù)列.證明如下：設(shè)數(shù)列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么數(shù)列{an·bn}的第n項(xiàng)與第n＋1項(xiàng)分別為a1pn-1b1qn-1與a1pnb1qn，因?yàn)?它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以{an·bn}是一個(gè)以pq為公比的等比數(shù)列.引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主分析思考、合作交流解決問(wèn)題，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和能力。課堂小結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容：1.等比數(shù)列的性質(zhì)的探究.2.證明等比數(shù)列的常用方法.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自己總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)知識(shí)的形成、發(fā)展、完善的過(guò)程.課后作業(yè)1.課本第60頁(yè)習(xí)題2.4A組第3題、B組第1題.2.配套練習(xí)學(xué)生課后完成.進(jìn)一步對(duì)所學(xué)知識(shí)鞏固深化。五、板書(shū)設(shè)計(jì)板書(shū)設(shè)計(jì)等比數(shù)列的基本性質(zhì)及其應(yīng)用例1例2例3備課資料備用例題1.已知無(wú)窮數(shù)列,,,…,,….求證：(1)這個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列；(2)這個(gè)數(shù)列中的任一項(xiàng)是它后面第五項(xiàng)的；(3)這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)的積仍在這個(gè)數(shù)列中.證明：(1)(常數(shù))，∴該數(shù)列成等比數(shù)列.(2),即：.(3)apaq=，∵p,q∈N，∴p+q≥2.∴p+q-1≥1且(p+q-1)∈N.∴∈(第p+q-1項(xiàng)).2.設(shè)a,b,c,d均為非零實(shí)數(shù)，(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0,求證：a,b,c成等比數(shù)列且公比為d.證法一：關(guān)于d的二次方程(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0有實(shí)根，∴Δ=4b2(a+c)2-4(a2+b2)(b2+c2)≥0.∴-4(b2-ac)2≥0.∴-(b2-ac)2≥0.則必有：b2-ac=0，即b2=ac，∴a,b,c成等比數(shù)