高中數學蘇教版第一章立體幾何初步點線面之間的位置關系（省一等獎）

1.２.４平面與平面的位置關系（一）教學目標1.了解兩個平面的位置關系；掌握兩個平面平行的判定方法以及面與面平行的性質定理，并靈活運用面面平行的判定、性質定理。2.應用類比方法理解并掌握兩個平行平面的公垂線、公垂線段、距離的定義，會求兩個平行平面間的距離．3.通過線線、線面、面面平行的轉化，進一步理解等價轉化思想在解決立體幾何問題中的運用，并提高空間想象能力．教學重點與難點本節(jié)課的重點是面與面平行的判定、性質的理解及應用．難點是線線平行、線面平行、面面平行的靈活轉化．教學過程新課引入觀察教室中的四周墻壁，這四個平面兩兩之間是什么關系？利用手中的兩本書作為兩個平面，擺一擺，兩個平面具有哪幾種位置關系？工人師傅將水平儀在桌面上交叉放置兩次，如果水平儀的氣泡兩次都在中央，就能判斷桌面是水平的（即桌面與地面平行），你知道其中的奧秘嗎？數學建構1、學習指引研究三維空間中物體的位置關系是立體幾何重要內容之一，以上問題涉及到兩個平面之間的位置關系，你能夠通過類比及轉化，進一步研究兩個平面之間的位置關系嗎？在前面我們已經通過直線與直線、直線與平面的公共點個數，可判斷它們的位置關系，類比思考兩個平面之間的位置關系有哪幾種？如何判斷兩個平面平行？思考：（1）、平面內有一條直線與平面平行，則，對嗎？（2）、平面內有兩條直線與平面平行，則，對嗎？（3）、平面內有無數條直線與平面平行，則，對嗎？（4）、平面內任意一條直線與平面平行，則，對嗎？（5）、平面內有兩條相交直線分別與平面平行，則，對嗎？探究：判斷兩個平面平行的方法，還有哪些呢？如果兩個平面平行，那么（1）、一個平面內的直線是否平行于另一個平面？（2）、分別在兩個平面內的兩條直線是否平行？回顧一下前面學習過的線線之間、線面之間距離的概念，思考兩個平面在什么樣的位置關系下，才會定義兩平面之間的距離？學過本節(jié)后，你能否整理下在立幾中有關“距離”的知識，并進行聯系類比2、知識梳理（1）、兩個平面互相平行的定義如果兩個平面沒有，我們就說這兩個平面互相平行.如果兩個平面有一個公共點，那么它們相交于經過這個點的，我們說兩平面相交（2）、兩個平面的位置關系位置關系兩平面平行兩平面相交公共點沒有公共點有一條公共直線符號表示aa圖形表示（3）、兩個平面平行的判定定理如果一個平面內有兩條都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.符號語言：AaAab簡記為：線面平行面面平行（4）、兩個平面平行的性質定理如果兩個平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線符號語言：圖形語言：證明：因為,所以a與b沒有公共點因而交線a、b也沒有公共點，又因為a、b都在平面內,所以a∥b.簡記為：面面平行線線平行（5）、面面距離與兩個平行平面的直線,叫做這兩個平行平面的公垂線.它夾在這兩個平行平面間的線段,叫做這兩個平行平面的.由兩個平行平面的公垂線都相等,我們把公垂線的長度叫做兩個平行平面間的數學應用類型一面面平行的判定例1如果在兩個平面內，各有兩組相交直線對應平行，那么這兩個平面平行（要求同學畫出圖形、寫出已知、求證）b，Aab，Aaba，A，‘‘，求證：?分析：對于兩個平面平行的判斷，目前只有兩個方法。一是面面平行的定義；二是面面平行的判定定理。前者要說明兩個平面沒有公共點，但這不易做到。選擇后者，即要證明平面內的兩條相交直線分別平行于平面，運用線面平行的判定定理，很容易得出這個結論。證明：同理，又所以，點評：本命題可以看作面面平行判定定理的推論；在今后判斷面面平行時，此命題可以直接使用。思考：垂直于同一直線的兩個平面平行．已知：．求證：總結有了以上命題，同學們可以總結一下證明兩平面平行的方法：（1）利用定義證明；（2）面面平行的判定定理：（3）在兩個平面內，各有兩組相交直線對應平行，那么這兩個平面平行（4）垂直于同一直線的兩個平面平行。用符號表示是：a⊥α，a⊥β則α∥β。（5）平行于同一個平面的兩個平面平行。類型二面面平行的性質l例2．求證：如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面.l已知：求證：?分析要證，只要證明垂直與平面內的任意一條直線或某兩條相交直線.證明：設在平面內任取一條直線因為點不在平面內，所以點與直線可確定平面設由于直線是平面內的任意一條直線，所以點評本題是面面平行性質定理的一個運用，正是如此，我們才有兩個平行平面公垂線的概念，進而定義兩平行平面之間的距離。當然，本命題也可看作面面平行的一個性質。總結：事實上，兩個平面平行的性質有五條：（1）兩個平面平行，其中一個平面內的任一直線必平行于另一個平面，這個定理可簡記為：“面面平行，則線面平行”。用符號表示是：α∥β，aα，則a∥β。（2）如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行，這個定理可簡記為：“面面平行，則線線平行”。用符號表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，則a∥b。（3）一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面,它也垂直于另一個平面。這個定理可用于證線面垂直。用符號表示是：α∥β，a⊥α，則a⊥β。（4）夾在兩個平行平面間的平行線段相等（5）過平面外一點只有一個平面與已知平面平行題型梳理類型三面面平行判定及性質的綜合運用例3P是△ABC所在平面外一點，A′、B′、C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心。求證：平面A′B′C′∥平面ABC；?分析：證明兩面面平行，一般情況轉化通過線面平行或者線線平行來證。證明：取AB、BC的中點M、N，則∴A′C′∥MNA′C′∥平面ABC。同理A′B′∥面ABC，又A′B′A′C=A′∴面A′B′C′∥面ABC.點評本題的證明方法，體現了轉化思想，即證面面平行，可通過線線平行或者線面平行進行。變式：在例3的條件下，求S△A′B′C′∶S△ABC的值。?分析該問題是上面例3問題進一步的追問，在上面產生了△A′B′C′，自然想到兩個三角形的面積之比。而此類問題，一般會聯想三角形的相似。解答：所以，所以，，即同理，與相似，所以有小結：本題組既考察了面面平行的判斷，又同時考察了面面平行性質的運用。在解決問題的過程中，我們看到立幾問題的解決常常轉化到同一個平面上來解決，即從三維空間向二維空間轉化，這充分體現數學中的“化歸思想”?？偨Y反思知識要點空間兩平面的位置關系（相交、平行）兩個平行平面的判定定理（線面平行面面平行）兩個平行平面的性質定理（面面平行線線平行）兩個平行平面的公垂線的概念，公垂線段的概念以及兩個平行平面間的距離思想方法用類比的思想去認識面面的位置關系（根據兩個對象公共點的個數）注意運用線線、線面、面面之間的平行關系相互轉化，可以給我們明確解題方向。反證法是立幾證明中的常用方法，怎樣將反證法用得“妙”、用得“巧”，還需要在實踐中不斷感悟。注意立體幾何問題向平面幾何問題的轉化，即立幾問題平面化規(guī)律技法面面平行的判定方法，教材中注重介紹了“面面平行的判定定理”，事實上，要證明兩平面平行選擇角度有多種，常用方法五種（見上）。面面平行的性質運用，教材中注重介紹了“面面平行的性質定理”，事實上，兩平面平行可得出常用五條性質（見上）。說明：以上規(guī)律方法，給我們解題提供多種思路，只有在解決問題實踐中，常反思、勤總結，才能做到游刃有余、事半功倍。細節(jié)注意在運用面面平行的判定和性質定理時，要注意推理證明的嚴謹性，譬如運用判定定理證明面面平行，應該有以下條件：，如果在證明書寫過程中，忽略了這個條件，其推理過程很不嚴謹。以上細節(jié)看似無關緊要，實則非常關鍵。無論解題還是證明，一定要注意對文字語言、圖形語言和符號語言進行相互轉化和相互翻譯，使三者之間相輔相成、相得益彰。課后作業(yè)：1．下列命題中正確的是．①平行于同一直線的兩平面平行；②平行于同一平面的兩平面平行；③垂直于同一直線的兩平面平行；④與同一直線成等角的兩平面平行．2.若，則a與b的位置關系為3.下列命題中正確的是．①經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行；②過平面外一點且平行于這個平面的所有直線，都在過該點且平行于這個平面的一個平面內；③平面內有不共線的三點到平面的距離相等，則與平行或相交；④夾在兩平行平面之間的