2023屆云南省昆明市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．2．設(shè)函數(shù)（，）是上的奇函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則（）A． B． C． D．3．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值等于()A．2 B． C．4 D．84．已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑的圓交雙曲線于兩點(diǎn)，若直線與圓相切，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．在等腰直角三角形中，，為的中點(diǎn)，將它沿翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，此時(shí)四面體的外接球的表面積為（）.A． B． C． D．6．是正四面體的面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，為棱中點(diǎn)，記與平面成角為定值，若點(diǎn)的軌跡為一段拋物線，則（）A． B． C． D．7．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)fx=sinωx+π6+A．16,13 B．19．由曲線圍成的封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．10．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長(zhǎng)為4的正三角形，俯視圖是由邊長(zhǎng)為4的正三角形和一個(gè)半圓構(gòu)成，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．12．若復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，則（）A．1 B．0 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，直線平面，垂足為，三棱錐的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為4，在平面內(nèi)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_______，點(diǎn)到直線的距離的最大值為_______.14．在的展開式中，的系數(shù)等于__．15．，則f（f（2））的值為____________．16．在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（3,4），則該雙曲線的準(zhǔn)線方程為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，且過點(diǎn).求橢圓的方程；已知是橢圓的內(nèi)接三角形，①若點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，原點(diǎn)為的垂心，求線段的長(zhǎng)；②若原點(diǎn)為的重心，求原點(diǎn)到直線距離的最小值.18．（12分）設(shè)函數(shù)其中(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為，求的值;(Ⅱ)已知導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，證明:當(dāng)時(shí)，.19．（12分）已知橢圓：，不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).（Ⅰ）若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程；（Ⅱ）若直線過點(diǎn)，點(diǎn)滿足（，分別為直線，的斜率），求的值.20．（12分）在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與交于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，的垂直平分線交于、.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.（1）求的直角坐標(biāo)方程與點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）求證：.21．（12分）已知x，y，z均為正數(shù)．（1）若xy＜1，證明：|x+z|?|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy?2yz?2xz的最小值．22．（10分）某景點(diǎn)上山共有級(jí)臺(tái)階，寓意長(zhǎng)長(zhǎng)久久．甲上臺(tái)階時(shí)，可以一步走一個(gè)臺(tái)階，也可以一步走兩個(gè)臺(tái)階，若甲每步上一個(gè)臺(tái)階的概率為，每步上兩個(gè)臺(tái)階的概率為．為了簡(jiǎn)便描述問題，我們約定，甲從級(jí)臺(tái)階開始向上走，一步走一個(gè)臺(tái)階記分，一步走兩個(gè)臺(tái)階記分，記甲登上第個(gè)臺(tái)階的概率為，其中，且．（1）若甲走步時(shí)所得分?jǐn)?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求甲在登山過程中，恰好登上第級(jí)臺(tái)階的概率．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

利用已知條件畫出幾何體的直觀圖，然后求解幾何體的體積．【詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示，則該幾何體的體積為：．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．2、D【解析】

根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)可得，由函數(shù)的對(duì)稱軸及單調(diào)性即可確定的值，進(jìn)而確定函數(shù)的解析式，即可求得的值.【詳解】函數(shù)（，）是上的奇函數(shù)，則，所以.又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱可得，，即，，由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知，，即，綜上，則，.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，由對(duì)稱軸、奇偶性及單調(diào)性確定參數(shù)，屬于中檔題.3、D【解析】

畫出可行域，計(jì)算出原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離，由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，其中，由于,，所以，所以原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離為.所以的最大值為.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

連接，可得，在中，由余弦定理得，結(jié)合雙曲線的定義，即得解.【詳解】連接，則，，所以，在中，，，故在中，由余弦定理可得.根據(jù)雙曲線的定義，得，所以雙曲線的離心率故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.5、D【解析】

如圖，將四面體放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn)，這樣根據(jù)幾何關(guān)系，求外接球的半徑.【詳解】中，易知，翻折后,，，設(shè)外接圓的半徑為，，，如圖：易得平面，將四面體放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn)，設(shè)幾何體外接球的半徑為，，四面體的外接球的表面積為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計(jì)算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑時(shí)，一般可以用補(bǔ)形法，因正方體，長(zhǎng)方體的外接球半徑容易求，可以將一些特殊的幾何體補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體，比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，或是構(gòu)造直角三角形法，確定球心的位置，構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程求解.6、B【解析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出面的法向量，設(shè)的坐標(biāo)，求出向量，求出線面所成角的正弦值，再由角的范圍，結(jié)合為定值，得出為定值，且的軌跡為一段拋物線，所以求出坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而求出正切值．【詳解】由題意設(shè)四面體的棱長(zhǎng)為，設(shè)為的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，過垂直于面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則可得，，取的三等分點(diǎn)、如圖，則，，，，所以、、、、，由題意設(shè)，，和都是等邊三角形，為的中點(diǎn)，，，，平面，為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)榕c平面所成角為定值，則，由題意可得，因?yàn)榈能壽E為一段拋物線且為定值，則也為定值，，可得，此時(shí)，則，.故選：B.【點(diǎn)睛】考查線面所成的角的求法，及正切值為定值時(shí)的情況，屬于中等題．7、C【解析】

利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷，熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

將fx整理為3sinωx+π3，根據(jù)x的范圍可求得ωx+π3∈π【詳解】f當(dāng)x∈0,π時(shí)，又f0=3sin由fx在0,π上的值域?yàn)?2解得：ω∈本題正確選項(xiàng)：A【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的值域求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象求得角的范圍的上下限，從而得到關(guān)于參數(shù)的不等式.9、A【解析】

先計(jì)算出兩個(gè)圖像的交點(diǎn)分別為，再利用定積分算兩個(gè)圖形圍成的面積.【詳解】封閉圖形的面積為.選A.【點(diǎn)睛】本題考察定積分的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解題時(shí)注意積分區(qū)間和被積函數(shù)的選取.10、B【解析】

分別比較復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與0的大小關(guān)系，可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，所以，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】由題意得到該幾何體是一個(gè)組合體，前半部分是一個(gè)高為底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的三棱錐，后半部分是一個(gè)底面半徑為2的半個(gè)圓錐，體積為故答案為A.點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.12、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可．【詳解】解：∵，∴，則，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

三棱錐的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為4，所以在平面的投影為的重心，利用解直角三角形，即可求出點(diǎn)到平面的距離；，可得點(diǎn)是以為直徑的球面上的點(diǎn)，所以到直線的距離為以為直徑的球面上的點(diǎn)到的距離，最大距離為分別過和的兩個(gè)平行平面間距離加半徑，即可求出結(jié)論.【詳解】邊長(zhǎng)為，則中線長(zhǎng)為，點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)是以為直徑的球面上的點(diǎn)，所以到直線的距離為以為直徑的球面上的點(diǎn)到的距離，最大距離為分別過和的兩個(gè)平行平面間距離加半徑.又三棱錐的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為4，以下求過和的兩個(gè)平行平面間距離，分別取中點(diǎn)，連，則，同理，分別過做，直線確定平面，直線確定平面，則，同理，為所求，，，所以到直線最大距離為.故答案為:；.【點(diǎn)睛】本題考查空間中的距離、正四面體的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力，屬于較難題.14、7【解析】

由題，得，令，即可得到本題答案.【詳解】由題，得，令，得x的系數(shù).故答案為：7【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.15、1【解析】

先求f（1），再根據(jù)f（1）值所在區(qū)間求f（f（1））.【詳解】由題意，f（1）=log3（11–1）=1，故f（f（1））=f（1）=1×e1–1=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值，考查對(duì)應(yīng)性以及基本求解能力.16、【解析】

代入求解得,再求準(zhǔn)線方程即可.【詳解】解：雙曲線經(jīng)過點(diǎn),,解得,即．又,故該雙曲線的準(zhǔn)線方程為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的準(zhǔn)線方程求解,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、；①；②.【解析】

根據(jù)題意列出方程組求解即可；①由原點(diǎn)為的垂心可得，軸，設(shè)，則，，根據(jù)求出線段的長(zhǎng)；②設(shè)中點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為的重心，則，設(shè)：，，，則，當(dāng)斜率不存在時(shí)，則到直線的距離為1，，由，則，，，得出，根據(jù)求解即可.【詳解】解：設(shè)焦距為，由題意知：，因此，橢圓的方程為：；①由題意知：，故軸，設(shè)，則，，，解得：或，，不重合，故，，故；②設(shè)中點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為的重心，則，當(dāng)斜率不存在時(shí)，則到直線的距離為1；設(shè)：，，，則，，則，則：，，代入式子得：，設(shè)到直線的距離為，則時(shí)，；綜上，原點(diǎn)到直線距離的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程的知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合運(yùn)用向量，韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距離的知識(shí)，屬于難題.18、(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析【解析】

(Ⅰ)求導(dǎo)得到，，解得答案.(Ⅱ)，故，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，設(shè)，證明函數(shù)單調(diào)遞減，故，得到證明.【詳解】(Ⅰ)，故，，故.(Ⅱ)，即，存在唯一零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為，故，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，設(shè)，則，設(shè)，則，單調(diào)遞減，，故恒成立，故單調(diào)遞減.，故當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)差法，即可求得直線的斜率，則方程即可求得；（Ⅱ）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理，根據(jù)，即可求得參數(shù)的值.【詳解】（1）設(shè)，，則兩式相減，可得.（*）因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，.代入（*）式，得.所以直線的斜率.所以直線的方程為，即.（Ⅱ）設(shè)直線：（），聯(lián)立整理得.所以，解得.所以，.所以，所以.所以.因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)弦問題的點(diǎn)差法求解，以及利用代數(shù)與幾何關(guān)系求直線方程，涉及韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬中檔題.20、（1），；（2）見解析.【解析】

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程變形為，再由可將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，即可得出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求得，寫出直線的參數(shù)方程，將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)