高中數(shù)學北師大版第一章立體幾何初步 單元測試三簡單幾何體的面積和體積

單元測試三簡單幾何體的面積和體積班級____姓名____考號____分數(shù)____本試卷滿分100分，考試時間90分鐘．一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在下列各題的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．兩個半徑為1的鐵球，熔化成一個球，這個大球的半徑為()A．2\r(2)\r(3,2)\f(1,2)eq\r(3,4)答案：C解析：根據(jù)體積不變：eq\f(4,3)π×13×2＝eq\f(4,3)πr3，解得r＝eq\r(3,2).2．長方體一個頂點上的三條棱長分別為3,4，x，表面積為108，則x等于()A．2B．3C．5D．6答案：D解析：該長方體的表面積為2(3×4＋3x＋4x)＝108，x＝6.3．設(shè)等腰梯形ABCD是圓臺的一個軸截面，且AD∥BC，AB＝3，AD＝2，BC＝4，則圓臺的側(cè)面積為()A．9πB．10πC．14πD．18π答案：A解析：由圓臺的軸截面及相關(guān)數(shù)據(jù)知圓臺的底面半徑分別為1,2，母線長為3，則圓臺的側(cè)面積為π(r1＋r2)l＝π(1＋2)×3＝9π.4．過圓錐的軸的平面截圓錐所得三角形是邊長為2的等邊三角形，則該圓錐的體積為()\f(π,3)\f(\r(3)π,3)\f(2π,3)\f(2\r(3)π,3)答案：A解析：正方體的對角線長等于球的直徑，該球的半徑為R，則eq\r(3)a＝2R，所以球的表面積為S＝4πR2＝π·(2R)2＝3πa2＝3π，a＝1.5．某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的體積是()A．3eq\r(2)＋eq\r(3)\r(2)＋3eq\r(3)C．2eq\r(2)＋3eq\r(3)D．3eq\r(2)＋2eq\r(3)答案：B解析：該幾何體是上面是正四棱錐，下面為正方體的組合體，體積為V＝(eq\r(3))3＋eq\f(1,3)×(eq\r(3))2×eq\r(2)＝3eq\r(3)＋eq\r(2).6．一個棱長為a的正方體的頂點都在一個球面上，該球的表面積為3π，則a等于()A．1\r(2)\r(3)D．2答案：A解析：正方體的對角線長等于球的直徑，該球的半徑為R，則eq\r(3)a＝2R，所以球的表面積為S＝4πR2＝π·(2R)2＝3πa2＝3π，a＝1.7．兩個平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段，那么圓錐被分成的三部分的體積比是()A．1：2：3B．1：7：19C．3：4：5D．1：9：27答案：B解析：考查幾何體的體積．可以直接求，也可以用間接法．本題還可以選取特例或特殊值．根據(jù)錐體的平行截面性質(zhì)，如圖所示，三個圓錐高的比是1：2：3，從而它們的體積比是1：8：27.圓錐被分成的三部分的體積的比是1：7：19.8．如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的正方形，高為1，M為線段AB的中點，則三棱錐C－MC1D1的體積為()\f(1,2)\f(1,3)C．1\f(2,3)答案：D解析：S△C1D1C＝eq\f(1,2)×1×2＝1，∴VC－MC1D1＝VM－C1D1C＝eq\f(1,3)S△C1DC·h＝eq\f(1,3)×1×2＝eq\f(2,3).9．已知軸截面是正方形的圓柱，高與球的直徑相等，則圓柱的表面積和球的表面積的比是()A．65B．54C．43D．32答案：D解析：設(shè)球半徑為R，則圓柱的高為2R，底面圓的半徑為R，eq\f(S柱,S球)＝eq\f(2πR2＋2πR·2R,4πR2)＝eq\f(3,2).10．球面上有A，B，C三點，AB＝AC＝2，BC＝2eq\r(2)，球心到平面ABC的距離為1，則球的表面積為()A．4πB．6πC．12πD．4eq\r(3)π答案：C解析：由題意知AB2＋AC2＝BC2，所以△ABC為直角三角形，故△ABC所在圓的圓心在斜邊BC的中點處，則有R2＝12＋(eq\r(2))2＝3，所以S球＝4πR2＝4π×3＝12π，故選C.二、填空題：本大題共3小題，每小題4分，共12分．把答案填在題中橫線上．11．一個球的表面積是144πcm2，它的體積是________．答案：288πcm3解析：由公式得S＝4πR2＝144π，故R＝6.則V＝eq\f(4π,3)R3＝eq\f(4π,3)×63＝288π.12．已知一個凸多面體共有9個面，所有棱長均為1，其平面展開圖如圖所示，則該凸多面體的體積V＝________.答案：1＋eq\f(\r(2),6)解析：該凸多面體由一個正方體及一個正四棱錐組成，體積V＝1＋eq\f(1,3)×1×eq\f(\r(2),2)＝1＋eq\f(\r(2),6).13．現(xiàn)要建造一個長方體形狀的倉庫，其內(nèi)部的高為3m，長和寬的和為20m，那么倉庫的容積的最大值是________m3.答案：300解析：設(shè)倉庫的長為x，則倉庫容積為3x(20－x)＝－3x2＋60x＝－3(x－10)2＋300，所以當倉庫底面為一邊長為10m的正方形時，容積最大為300m3.三、解答題：本大題共5小題，共48分，其中第14小題8分，第15～18小題各10分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．14．已知圓臺的上、下底面半徑分別是2、5，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺的母線長．解：設(shè)圓臺的上、下底面半徑為r、R，母線為l，則有πr2＋πR2＝π(r＋R)l，所以l＝eq\f(πr2＋πR2,πr＋R)＝eq\f(22＋52,2＋5)＝eq\f(29,7).即該圓臺的母線長為eq\f(29,7).15．長、寬、高分別為80cm,60cm,50cm的水槽中有水216000cm3.(1)求水槽中水面高度；(2)現(xiàn)在水槽中放入一個直徑為30cm的鐵球，求此時水面的高度(結(jié)果保留一位小數(shù))．解：設(shè)水面高度為xcm，(1)由80×60x＝216000得x＝45，所以水面高度為45cm.(2)球體積為eq\f(4,3)πr3＝4500π，水槽體積為80×60×50＝240000，由于240000－216000＝24000>4500π，所以80×60x＝216000＋4500π，x＝45＋eq\f(15,16)π≈此時水面高度約為cm.16．已知三棱柱三個側(cè)面都是矩形，若底面的一邊長為2cm，另兩邊長都為3cm，側(cè)棱長為4cm，求它的體積和表面積．解：由題意設(shè)AB＝AC＝3，BC＝2，AA′＝4，則底面BC邊上的高為eq\r(32－1)＝2eq\r(2)，所以體積為V＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)×4＝8eq\r(2)cm3，表面積為S＝2×eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＋(3＋3＋2)×4＝4eq\r(2)＋32(cm2)．17．一個高為16的圓錐內(nèi)接于一個體積為972π的球，在圓錐內(nèi)又有一個內(nèi)切球，求：(1)圓錐的側(cè)面積；(2)圓錐的內(nèi)切球的體積．解：(1)如圖所示，作軸截面，⊙O1內(nèi)切于△ABC.設(shè)⊙O的半徑為R，由題意，得eq\f(4,3)πR3＝972π，R3＝729，R＝9，∴CE＝18.由已知CD＝16，故ED＝2.連結(jié)AE，∵CE是⊙O的直徑，∴CA⊥AE，又AB⊥CE，∴CA2＝CD·CE＝16×18＝288，CA＝12eq\r(2).AD2＝CD·DE＝16×2＝32，AD＝4eq\r(2).于是S圓錐側(cè)＝π×4eq\r(2)×12eq\r(2)＝96π.(2)設(shè)內(nèi)切球半徑為r.∵△ABC的周長為2×(12eq\r(2)＋4eq\r(2))＝32eq\r(2)，∴eq\f(1,2)r×32eq\r(2)＝eq\f(1,2)×8eq\r(2)×16.∴r＝4，于是V內(nèi)切球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(256,3)π.18．斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，頂點A1在底面ABC的射影O是△ABC的中心，AA1與AB的夾角為45°.(1)求證：AA1⊥面A1BC；(2)求此棱柱的側(cè)面積；(3)求此棱柱的體積．解：(1)如圖所示，∵底面△ABC為正三角形，點A1在面ABC上的射影點O為△ABC的中心，∴點O在AD上，(D為BC中點)．∵AD⊥BC，∴BC⊥AA1.又∵A1點在面ABC上射影點O為△ABC的中心，而△ABC為正三角形，OA＝OB，∴A1A＝A1B.又∵∠A1AB＝45°，∴△A1AB為等腰直角三角形，即AA1⊥A1B.∵AA1⊥BC，A1B∩BC＝B，∴AA1⊥面A1BC.(2)∵底面△ABC為正三角形，且點A1在面ABC上的射影點O為△ABC的中心，∴側(cè)面AA1B1B與側(cè)面AA1C1C全等，由(1)知側(cè)面BB1C1C為矩形．∵AB＝2，∴S?AA1C1C＝2S△AA1B＝2×(eq\r(2))2×eq\f(1,2)＝2，S?BB1C1C＝2×eq\r(2)＝2eq