高中數(shù)學(xué)人教A版5不等式和絕對值不等式學(xué)業(yè)分層測評2

學(xué)業(yè)分層測評（二）(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(x),x＋1)的最大值為()\f(2,5)\f(1,2)\f(\r(2),2)D．1【解析】顯然x≥0.當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝0；當(dāng)x>0時(shí)，x＋1≥2eq\r(x)，∴f(x)≤eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號成立，∴f(x)max＝eq\f(1,2).【答案】B2．設(shè)0＜a＜b，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)＜b＜eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)B．a(chǎn)＜eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)＜bC．a(chǎn)＜eq\r(ab)＜b＜eq\f(a＋b,2)\r(ab)＜a＜eq\f(a＋b,2)＜b【解析】取特殊值法．取a＝2，b＝8，則eq\r(ab)＝4，eq\f(a＋b,2)＝5，所以a＜eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)＜b.故選B.【答案】B3．已知x≥eq\f(5,2)，則f(x)＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)有()A．最大值為eq\f(5,4) B．最小值為eq\f(5,4)C．最大值為1 D.最小值為1【解析】∵x≥eq\f(5,2)，∴x－2≥eq\f(1,2)，∴f(x)＝eq\f(x－22＋1,2x－2)＝eq\f(1,2)(x－2)＋eq\f(1,2x－2)≥2eq\r(\f(x－2,2)·\f(1,2x－2))＝1，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x－2,2)＝eq\f(1,2x－2)，即x＝3時(shí)，等號成立，∴f(x)min＝1.【答案】D4．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則eq\f(a＋b2,cd)的最小值是()A．0 B．1C．2 【解析】由題意知a＋b＝x＋y，cd＝xy，∴(a＋b)2＝(x＋y)2≥4xy＝4cd，∴eq\f(a＋b2,cd)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，取等號．【答案】D5．已知a，b是不相等的正數(shù)，x＝eq\f(\r(a)＋\r(b),\r(2))，y＝eq\r(a＋b)，則x，y的關(guān)系是()A．x>y B．y>xC．x>eq\r(2)y >eq\r(2)x【解析】因?yàn)閍，b是不相等的正數(shù)，所以x2＝eq\f(a＋b,2)＋eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)＋eq\f(a＋b,2)＝a＋b＝y(tǒng)2，即x2<y2，故x<y.【答案】B二、填空題6．若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是________.【導(dǎo)學(xué)號：32750010】【解析】x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－eq\f(x＋y2,4)＝eq\f(3,4)(x＋y)2，∴(x＋y)2≤eq\f(4,3)，∴|x＋y|≤eq\f(2,3)eq\r(3)，即x＋y的最大值為eq\f(2,3)eq\r(3).【答案】eq\f(2,3)eq\r(3)7．已知x，y∈R＋，且滿足eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，則xy的最大值為________．【解析】因?yàn)閤＞0，y＞0，所以eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)≥2eq\r(\f(x,3)·\f(y,4))＝eq\r(\f(xy,3))，即eq\r(\f(xy,3))≤1，解得xy≤3，所以其最大值為3.【答案】38．已知a，b，m，n均為正數(shù)，且a＋b＝1，mn＝2，則(am＋bn)(bm＋an)的最小值為________．【解析】∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，∴(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2ab·mn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋b2＋2ab)＝2(a＋b)2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝eq\r(2)時(shí)，取“＝”，∴所求最小值為2.【答案】2三、解答題9．已知a，b，x，y∈R＋，x，y為變量，a，b為常數(shù)，且a＋b＝10，eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，x＋y的最小值為18，求a，b.【解】∵x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))＝a＋b＋eq\f(bx,y)＋eq\f(ay,x)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(bx,y)＝eq\f(ay,x)時(shí)取等號．又(x＋y)min＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝18，即a＋b＋2eq\r(ab)＝18. ①又a＋b＝10， ②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝8，,b＝2.))10．已知x1，x2，x3為正實(shí)數(shù)，若x1＋x2＋x3＝1，求證：eq\f(x\o\al(2,2),x1)＋eq\f(x\o\al(2,3),x2)＋eq\f(x\o\al(2,1),x3)≥1.【證明】∵eq\f(x\o\al(2,2),x1)＋x1＋eq\f(x\o\al(2,3),x2)＋x2＋eq\f(x\o\al(2,1),x3)＋x3≥2eq\r(x\o\al(2,2))＋2eq\r(x\o\al(2,3))＋2eq\r(x\o\al(2,1))＝2(x1＋x2＋x3)＝2，∴eq\f(x\o\al(2,2),x1)＋eq\f(x\o\al(2,3),x2)＋eq\f(x\o\al(2,1),x3)≥1.[能力提升]1．設(shè)x，y∈R＋，且滿足x＋4y＝40，則lgx＋lgy的最大值是()A．40 B．10C．4 【解析】因?yàn)閤，y∈R＋，∴eq\r(4xy)≤eq\f(x＋4y,2)，∴eq\r(xy)≤eq\f(x＋4y,4)＝10，∴xy≤100.∴l(xiāng)gx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2.【答案】D2．某公司租地建倉庫，每月土地占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉庫到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站()A．5千米處 B．4千米處C．3千米處 千米處【解析】由已知：y1＝eq\f(20,x)，y2＝(x為倉庫到車站的距離)．費(fèi)用之和y＝y(tǒng)1＋y2＝＋eq\f(20,x)≥2eq\r·\f(20,x))＝8.當(dāng)且僅當(dāng)＝eq\f(20,x)，即x＝5時(shí)等號成立．【答案】A3．y＝eq\f(3＋x＋x2,x＋1)(x＞0)的最小值是________．【解析】∵x＞0，∴y＝eq\f(3＋x＋x2,x＋1)＝eq\f(3,x＋1)＋x＋1－1≥2eq\r(3)－1.當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝eq\r(3)時(shí)取等號．【答案】2eq\r(3)－14．若對任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【導(dǎo)學(xué)號：32750011】【解】由x>0，知原不等式等價(jià)于0<eq\f(1,a)≤eq\f(x2＋3x＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)＋3恒成立．又x>0時(shí)，x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，∴x