高中數(shù)學(xué)北師大版第一章立體幾何初步 優(yōu)秀獎

(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨立形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．半徑為r的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為()\f(\r(5),24)πr3 \f(\r(5),8)πr3\f(\r(3),24)πr3 \f(\r(3),8)πr3解析：設(shè)底面半徑為r′，則2πr′＝πr，∴r′＝eq\f(r,2).∴圓錐的高h＝eq\r(r2－r′2)＝eq\f(\r(3),2)r.∴V錐＝eq\f(1,3)πr′2×h＝eq\f(1,3)π×eq\f(r2,4)×eq\f(\r(3),2)r＝eq\f(\r(3),24)πr3.答案：C2．在棱長為1的正方體中，分別用過共頂點的三條棱的中點的平面截該正方體，則截去8個三棱錐后，剩下的幾何體的體積是()\f(2,3) \f(3,4)\f(4,5) \f(5,6)解析：V正方體－8V三棱錐＝1－8×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,6)，故選D.答案：D3．一個四棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，主視圖如圖所示，則該四棱錐側(cè)面積和體積分別是()A．4eq\r(5)，8 B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3) D．8,8解析：由題意可知該四棱錐為正四棱錐，底面邊長為2，高為2，側(cè)面上的斜高為eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，所以S側(cè)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(5)))＝4eq\r(5)，V＝eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(8,3).答案：B4．如圖，三棱臺ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，則三棱錐A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的體積之比為()A．1∶1∶1 B．1∶1∶2C．1∶2∶4 D．1∶4∶4解析：設(shè)棱臺的高為h，S△ABC＝S，則S△A1B1C1＝4S.∴VA1－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh.VC－A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V臺＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB－A1B1C＝V臺－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh.∴體積之比為1∶2∶4.答案：C二、填空題(每小題5分，共10分)5．已知圓錐的母線長為5cm，側(cè)面積為15πcm2，則此圓錐的體積為________cm3.解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則有πrl＝15π，知r＝3，∴h＝eq\r(52－32)＝4.∴其體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)×π×32×4＝12π.答案：12π6．如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D為棱AA1的中點．若截面△BC1D是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為________．解析：設(shè)AC＝a，CC1＝b，則BD2＝DCeq\o\al(2,1)＝a2＋eq\f(1,4)b2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,4)b2))×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,4)b2))＝6，∴a2＝8，b2＝16，∴V＝eq\f(\r(3),4)×8×4＝8eq\r(3).答案：8eq\r(3)三、解答題(每小題10分，共20分)7．如圖，正三棱錐O－ABC底面邊長為2，高為1，求該三棱錐的體積及表面積．解析：由已知條件可知，正三棱錐O－ABC的底面△ABC是邊長為2的正三角形，經(jīng)計算得底面△ABC的面積為eq\r(3).所以該三棱錐的體積為eq\f(1,3)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),3).設(shè)O′是正三角形ABC的中心．由正三棱錐的性質(zhì)可知，OO′垂直于平面ABC.延長AO′交BC于D，得AD＝eq\r(3)，O′D＝eq\f(\r(3),3).又因為OO′＝1，所以正三棱錐的斜高OD＝eq\f(2\r(3),3).故側(cè)面積為eq\f(1,2)×2×eq\f(2\r(3),3)×3＝2eq\r(3).所以該三棱錐的表面積為eq\r(3)＋2eq\r(3)＝3eq\r(3).因此，所求三棱錐的體積為eq\f(\r(3),3)，表面積為3eq\r(3).8．如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點．設(shè)三棱錐F－ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，求V1∶V2.解析：通過點D，E，F(xiàn)為中點得出三棱柱與三棱錐的底面面積以及高之間的關(guān)系，然后利用體積公式得到體積之間的比值．設(shè)三棱柱的底面ABC的面積為S，高為h，則其體積為V2＝Sh.因為D，E分別為AB，AC的中點，所以△ADE的面積等于eq\f(1,4)S.又因為F為AA1的中點，所以三棱錐F－ADE的高等于eq\f(1,2)h，于是三棱錐F－ADE的體積V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)S×eq\f(1,2)h＝eq\f(1,24)Sh＝eq\f(1,24)V2，故V1∶V2＝1∶24.eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)如圖是一個底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6cm，高為20cm的圓錐形鉛錘，且水面高于圓錐頂部，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降多少？解析：因為圓錐形鉛錘的體積為eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\