高中數(shù)學人教A版3第一章計數(shù)原理二項式定理 二項式定理教學設計（席志濤）

《二項式定理》教學設計（貴州省實驗中學席志濤）一．教學內(nèi)容及其解析二項式定理是帶領(lǐng)我們進入微積分領(lǐng)域大門的一把金鑰匙，只是在初中沒有顯示的機會。本節(jié)知識類型屬于概念型認識，將本節(jié)內(nèi)容放在計數(shù)原理之后來學習，一方面是因為二項式定理證明要用到計數(shù)原理，另一方面也是學習隨機變量及其分布列的準備。二項式定理安排在高中數(shù)學排列組合內(nèi)容后的一部分內(nèi)容，其形成過程是計數(shù)原理、組合知識的應用，同時也是自成體系的知識塊，它是二項展開式與多項式乘法有密切的聯(lián)系，本節(jié)知識的學習，必然從更廣的視角和更高的層次來審視初中學習的關(guān)于多項式變形的知識。運用二項式定理可以解決一些比較典型的數(shù)學問題，例如近似計算、整除問題、不等式的證明等。二．教學目標及其解析（一）目標1、能用計數(shù)原理分析的展開式；捕捉二項式展開式各項的系數(shù)的組合規(guī)律。2.會用類比、合情推理的方法研究，，二項式展開式問題。3.學生會主動觀察項以及系數(shù)的變化規(guī)律、類比，、猜想、歸納二項式的能力。（二）目標解析1、將二項式展開式與計數(shù)原理聯(lián)系在一起并不容易，所以通過小桶去球的情景鋪設兩者的對接的橋梁，實現(xiàn)對的展開式”的深入探究，最終摸索出的展開式的規(guī)律，并能用自己的語言說出的展開式的項數(shù)、各項次數(shù)及展開式中各項系數(shù)的特點，體驗從特殊到一般的邏輯思考方法。2、培養(yǎng)學生類比歸納的合情推理在本節(jié)課指的是學生能從取球的例題從遷移到的展開式，從而歸納的展開式。三．學情分析1.根據(jù)學生的實際情況，學生已有的基礎是計數(shù)原理、排列組合相關(guān)知識，但教學中遇到的第一個困難就是學生不能主動運用計數(shù)原理分析二項式的展開式。要解決這一問題，在教學中設計一個學生熟悉的取球的例子；然后引導學生用解決上述問題的方法寫出的展開式，突出計數(shù)原理在解決二項式展開式可以起到的作用。2.學生已有基礎多項式相承運算法則，但教學中可能遇到的又一困難就是學生不能發(fā)現(xiàn)系數(shù)用組合數(shù)表示的規(guī)律。課堂教學中，關(guān)鍵是考察學生是否理解“完成一件事”是什么？如何完成這件事情？，要完成這件事可以分成兩步完成：第一步取足夠的，第二步取相應個數(shù)的；同時也要注意到教材中“由于選定后，的選法也隨之確定”這句話對理解取計數(shù)的重要性，當然也應該留給學生足夠的時間去分析思考；老師根據(jù)具體情況進行適當?shù)囊龑?。四、教學策略分析：1、通過數(shù)學模型的引入，幫助學生復習預備知識，完成學與較的現(xiàn)實出發(fā)。2、學生習慣使用多項式乘積展開，特別提出展開，促使學生向新方法轉(zhuǎn)向。3、圍繞重點設計問題串，“展開式中同類項的形式是怎樣的？每一類型的項的個數(shù)如何計算？引導學生深入思考問題的本質(zhì)。四．教學重點：探究并歸納用計數(shù)原理分析的展開式的形成過程，并依此方法得到二項式定理．五．教學難點：1、展開式中會有哪幾種類型的項？2、展開式中各項的系數(shù)如何確定？本節(jié)課的教學流程：取球例題分析的展開式分析的展開式分析展開式解決二項式展開式問題六、教學技術(shù)開發(fā)與利用：智能網(wǎng)絡教學平臺本節(jié)課借助本校智能網(wǎng)絡教學平臺，參與學生自主探究、課堂練習過程，一方面，可以快速捕捉學生學習中的問題.，及時了解學生對知識掌握的情況；另一方面，可以高效的展示學生的學習成果，更好的為學生樹立學習數(shù)學的興趣。七．教學環(huán)節(jié)：（一）創(chuàng)設情境引入新課：問題：有兩個小桶裝有大小相同，質(zhì)地相同的a、b兩小球。在每個桶中各取一個小球，共有幾種不同的取法？枚舉法：共有aa、ab、ba、bb等4種不同的取法。分步計數(shù)原理：第一步，第一次取球有2種方法；第二步，第二次取球有2種方法，所以一共22=4種不同的取法。分類計數(shù)原理：第一類，都取a，有1種；第二類，取不同，2種；第三類，都取b，有2種，所以一共有N=1+2+1=4種不同的取法。教師多媒體演示：取球過程。師：上述過程實際上就是解決展開式的問題【設計意圖】取球是同學們極為熟悉的組合代表性例子，也是基本的概型，解決該問題學生已經(jīng)得心應手，并已深刻理解，問題的解決便于學生采用類比的合情推理解決新問題，為下面教學做準備。（二）新課講授（定理是怎么來的？）問題1：我們知道，當我們遇到的數(shù)學問題需要的展開式解決，那我們又該怎么辦呢？我們能否剛才的取球模型中找出規(guī)律，解決這個問題呢？【設計意圖】直接提出的展開式是因為學生用以前所學多項式乘法知識進行展開時，計算麻煩，這樣就可以為新的研究方法塑造重要地位。該設計旨在利用新舊方法之間產(chǎn)生的沖突激發(fā)學生的求知欲，同時向?qū)W生點明二項式定理所要研究的問題。問題2、我們是否可以從剛才的取球的數(shù)學模型找出解決問題的方法呢？我們重新認識如何？獲得認識：【設計意圖】問題2是本節(jié)課的關(guān)鍵所在，從計數(shù)原理，組合知識探尋的展開式，是全新的研究方法，必須讓學生“入戲”，從這個角度理解二項式展開式。課堂探究1：從特殊入手，推導的展開式。①展開式中的項：歸納：②每一項的系數(shù)：歸納：③寫出展開式：+++探究2：仿照上述過程，推導的展開式。+++++++教師啟發(fā)學生觀察上述等式，尋找其項數(shù)、各項次數(shù)及展開式中各項系數(shù)的特點?！驹O計意圖】利用三個特殊的展開式尋找規(guī)律，讓學生從中體會到解決問題的一般策略：從特殊到一般，即不完全歸納法。探究3：由上述四個展開式，猜想的展開式。此處的證明采用“說理”的方法。讓學生用計數(shù)原理，分析的展開過程，證明猜想。問題2：二項式定理的內(nèi)容是什么？一般地，對于任意正整數(shù)n，有：此公式所表示的定理，我們稱為二項式定理，右邊的多項式叫做的二項展開式。請學生總結(jié)：①二項展開式有多少項？為什么？②展開式的每一項由哪幾個部分構(gòu)成？字母的指數(shù)如何變化？③能否寫出展開式的通項？它是展開式中的第幾項？（三）二項式定理的簡單應用：1、課堂練習：求的展開式。2、例：求的展開式。思考1：展開式的第2項的系數(shù)是多少？思考2：展開式的第2項的二項式系數(shù)是多少？思考3：你能否直接求出展開式的第4項？