【教案】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)設(shè)計（第3課時）必修第一冊

5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)設(shè)計（第3課時）（一）教學(xué)內(nèi)容同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系（二）教學(xué)目標(biāo)1.通過探究及推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，在公式的形成過程中理解同角三角函數(shù)關(guān)系及其聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)；2.能夠熟練運用公式解決“由一個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的求值問題(知一求二)”，能靈活運用公式證明簡單的三角恒等式，并掌握公式的簡單變換；3.經(jīng)歷同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式的探索，體驗發(fā)現(xiàn)原理和應(yīng)用原理的過程，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本活動經(jīng)驗，在一系列問題解決中感悟數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想、化歸轉(zhuǎn)化等基本數(shù)學(xué)思想方法。（三）教學(xué)重點、難點教學(xué)重點：引導(dǎo)學(xué)生自主探索、發(fā)現(xiàn)、證明同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式，準(zhǔn)確、熟練、靈活應(yīng)用兩個公式解決相關(guān)的求值問題和證明簡單的三角恒等式。教學(xué)難點：“知一求二”的求值問題時的分類討論，進(jìn)行求值和證明中公式的靈活變換。（四）教學(xué)過程問題1：已知α=120度，它是第幾象限角？你能求出sinα,cosα,tanα的值嗎？說說你是怎么求的？師生活動：教師給出問題，提醒學(xué)生回顧任意角的三角函數(shù)的定義及其在各象限的符號；學(xué)生回憶已學(xué)的概念進(jìn)行討論交流，學(xué)生代表展示結(jié)果。學(xué)生辨析結(jié)果，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)要點：只要給出了一個角，就可以求出它的所有三角函數(shù)值。追問1：那如果只給出了一個角的某一個三角函數(shù)值，你還能求出它的其他三角函數(shù)嗎？追問2：已知，那的值是多少呢？你是怎么求出的？追問3：對于任意角α，sinα,cosα,tanα之間有什么樣的關(guān)系呢？本節(jié)課就來研究這樣的問題。設(shè)計意圖：《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提高學(xué)生的思維能力”。教育心理學(xué)相關(guān)研究也表明，思維的動力源自學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)與學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的不協(xié)調(diào)，學(xué)生思維的活躍度取決于他們解決問題的知識基礎(chǔ)和心理需要。問題是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心。要有效地提高學(xué)生的思維能力，在教學(xué)設(shè)計時就必須根據(jù)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)情況等認(rèn)知起點，認(rèn)真研究學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的差異，站在學(xué)生的立場去思考，從學(xué)生已有的思維出發(fā)提出問題。上節(jié)課學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的概念及其在各象限的符號情況，是本節(jié)課學(xué)習(xí)公式的起點和基礎(chǔ)。通過問題串復(fù)習(xí)舊知，讓學(xué)生回憶三角函數(shù)的定義及其所在象限符號，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行同角三角函數(shù)關(guān)系的探索。從數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系提出問題串，構(gòu)建起邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，既明確了本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，還能引導(dǎo)學(xué)生解決新問題的興趣和欲望，將對學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)落實在課堂。問題2：既然sinα,cosα,tanα都是通過圓上同一點的坐標(biāo)來定義的，那么你能從圓的幾何性質(zhì)出發(fā)來尋找它們間的關(guān)系嗎？師生活動：(1)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧圓的幾何性質(zhì)，將圓上點的坐標(biāo)與三角函數(shù)聯(lián)系起來；(2)學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，交流討論，展示結(jié)果；(3)師生辨析結(jié)果，得出公式。追問1：結(jié)合定義，從圓的幾何性質(zhì)出發(fā)，如何探究sinα,cosα,tanα之間的關(guān)系呢？追問2：你還能想到其他方法證明嗎？設(shè)計意圖：通過圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合坐標(biāo)與三角函數(shù)，找到直角三角形，即可得到平方關(guān)系；或者根據(jù)圓的定義，結(jié)合距離公式，得到平方關(guān)系。利用圓的定義及幾何性質(zhì)進(jìn)行證明，因為單位圓在三角函數(shù)一章的學(xué)習(xí)中發(fā)揮重要的作用，包括后續(xù)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，兩角差的余弦公式推導(dǎo)，所以課堂教學(xué)中還是要引導(dǎo)學(xué)生使用單位圓進(jìn)行推導(dǎo)，理解單位圓在學(xué)習(xí)中的價值，即設(shè)角的終邊與單位圓交于點P，則點P坐標(biāo)為，而單位圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，也可得到.問題3：（1）已知，求的值.判斷下列各式是否成立？①②③④師生活動：(1)教師展示上述問題，學(xué)生分組討論；(2)小組展示成果，其他小組評價補充；(3)教師引導(dǎo)學(xué)生一起總結(jié)升華。設(shè)計意圖：通過層層設(shè)問，構(gòu)造認(rèn)知沖突，學(xué)生通過操作感知和小組討論，辨?zhèn)渭m錯。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式中的“同角”，只需要角度相同即可，至于角的形式無關(guān)緊要，比如等，同時還要注意商數(shù)關(guān)系式和三角恒等式都是對于使它們有意義的角而言的。由特殊到一般，由具體到抽象，通過問題3，剖析公式的條件，進(jìn)一步明確同角的意義，體會公式字母的可變性和關(guān)系的穩(wěn)定性，幫助學(xué)生不但從形式上弄清了“同角”的含義，而且從本質(zhì)上理角同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。問題4：(1)已知，求的值；(2)已知，且是第三象限角，求的值；(3)已知，求的值；(4)已知，求的值.師生活動：小組合作求解，并請不同小組成員闡述求解過程、求解思路，師生一起總結(jié)方法，并比較不同方法的特點。設(shè)計意圖：通過由特殊到一般再由一般到特殊的課本例題和習(xí)題的變式訓(xùn)練，加深對公式的理解和鞏固。問題4的各小題設(shè)置有梯度，循序漸進(jìn)，適合學(xué)生的認(rèn)知水平差異，夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能。在準(zhǔn)確、熟練運用公式解決螺旋上升的問題串中體悟分類討論和方程思想等基本數(shù)學(xué)思想方法。問題5：已知，求下列式子的值：；(3)師生活動：師生一起分析題意，小組合作求解，并請不同小組成員闡述求解過程、求解思路，師生一起總結(jié)方法，并比較不同方法的特點。設(shè)計意圖：“數(shù)學(xué)是思維的體操”，因此在教學(xué)中應(yīng)該盡可能地為學(xué)生創(chuàng)造活動的機(jī)會。在課堂上創(chuàng)設(shè)條件讓學(xué)生主動參與，提出問題一要引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，給學(xué)生時間去思考，去交流，去展示。這里問題5的(2)和(3)略有難度，讓學(xué)生主動思考，積極交流，大膽展示，踴躍點評，這樣不僅可以發(fā)展學(xué)生的思維能力，同時還能發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。課堂小結(jié)教師提出問題供學(xué)生思考：問題6：(1)本節(jié)課學(xué)習(xí)了同角三角函數(shù)的哪些基本關(guān)系？每個關(guān)系式成立的條件是什么？(2)本節(jié)課的學(xué)習(xí)主要解決了什么問題？根據(jù)一個三角函數(shù)值求另外兩個三角函數(shù)值時如何進(jìn)行分類討論？(3)本節(jié)課體現(xiàn)了哪些基本數(shù)學(xué)思想方法？你還有什么疑問嗎？師生活動：學(xué)生思考、小組討論、推舉代表發(fā)言，其它同學(xué)補充。教師引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行小結(jié)，并對學(xué)生回答情況進(jìn)行評價和補充。設(shè)計意圖：課堂小結(jié)以問題串的方式請學(xué)生根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容有針對性地從知識和方法的角度進(jìn)行歸納總結(jié)，反思知識、方法上的體驗、收獲，進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能的記憶和掌握，起到加深鞏固的作用。同時積極關(guān)注學(xué)生的自主體驗，不僅能讓學(xué)生再次回歸知識的生成過程，達(dá)成學(xué)生對知識的自我發(fā)現(xiàn)、自我生成、自我應(yīng)用、自我完善，讓學(xué)生獲得了成功的自我效能感，還可以讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想及化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法在解決問題的過程中的應(yīng)用，讓學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)在平時