【教案】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)（第3課時(shí)）必修第一冊(cè)

5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)（第3課時(shí)）（一）教學(xué)內(nèi)容同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系（二）教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)探究及推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，在公式的形成過(guò)程中理解同角三角函數(shù)關(guān)系及其聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)；2.能夠熟練運(yùn)用公式解決“由一個(gè)三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的求值問(wèn)題(知一求二)”，能靈活運(yùn)用公式證明簡(jiǎn)單的三角恒等式，并掌握公式的簡(jiǎn)單變換；3.經(jīng)歷同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式的探索，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)原理和應(yīng)用原理的過(guò)程，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在一系列問(wèn)題解決中感悟數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想、化歸轉(zhuǎn)化等基本數(shù)學(xué)思想方法。（三）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生自主探索、發(fā)現(xiàn)、證明同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式，準(zhǔn)確、熟練、靈活應(yīng)用兩個(gè)公式解決相關(guān)的求值問(wèn)題和證明簡(jiǎn)單的三角恒等式。教學(xué)難點(diǎn)：“知一求二”的求值問(wèn)題時(shí)的分類討論，進(jìn)行求值和證明中公式的靈活變換。（四）教學(xué)過(guò)程問(wèn)題1：已知α=120度，它是第幾象限角？你能求出sinα,cosα,tanα的值嗎？說(shuō)說(shuō)你是怎么求的？師生活動(dòng)：教師給出問(wèn)題，提醒學(xué)生回顧任意角的三角函數(shù)的定義及其在各象限的符號(hào)；學(xué)生回憶已學(xué)的概念進(jìn)行討論交流，學(xué)生代表展示結(jié)果。學(xué)生辨析結(jié)果，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)要點(diǎn)：只要給出了一個(gè)角，就可以求出它的所有三角函數(shù)值。追問(wèn)1：那如果只給出了一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，你還能求出它的其他三角函數(shù)嗎？追問(wèn)2：已知，那的值是多少呢？你是怎么求出的？追問(wèn)3：對(duì)于任意角α，sinα,cosα,tanα之間有什么樣的關(guān)系呢？本節(jié)課就來(lái)研究這樣的問(wèn)題。設(shè)計(jì)意圖：《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提高學(xué)生的思維能力”。教育心理學(xué)相關(guān)研究也表明，思維的動(dòng)力源自學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)與學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的不協(xié)調(diào)，學(xué)生思維的活躍度取決于他們解決問(wèn)題的知識(shí)基礎(chǔ)和心理需要。問(wèn)題是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心。要有效地提高學(xué)生的思維能力，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)就必須根據(jù)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)情況等認(rèn)知起點(diǎn)，認(rèn)真研究學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的差異，站在學(xué)生的立場(chǎng)去思考，從學(xué)生已有的思維出發(fā)提出問(wèn)題。上節(jié)課學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的概念及其在各象限的符號(hào)情況，是本節(jié)課學(xué)習(xí)公式的起點(diǎn)和基礎(chǔ)。通過(guò)問(wèn)題串復(fù)習(xí)舊知，讓學(xué)生回憶三角函數(shù)的定義及其所在象限符號(hào)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行同角三角函數(shù)關(guān)系的探索。從數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系提出問(wèn)題串，構(gòu)建起邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程，既明確了本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，還能引導(dǎo)學(xué)生解決新問(wèn)題的興趣和欲望，將對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)落實(shí)在課堂。問(wèn)題2：既然sinα,cosα,tanα都是通過(guò)圓上同一點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義的，那么你能從圓的幾何性質(zhì)出發(fā)來(lái)尋找它們間的關(guān)系嗎？師生活動(dòng)：(1)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧圓的幾何性質(zhì)，將圓上點(diǎn)的坐標(biāo)與三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)；(2)學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，交流討論，展示結(jié)果；(3)師生辨析結(jié)果，得出公式。追問(wèn)1：結(jié)合定義，從圓的幾何性質(zhì)出發(fā)，如何探究sinα,cosα,tanα之間的關(guān)系呢？追問(wèn)2：你還能想到其他方法證明嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合坐標(biāo)與三角函數(shù)，找到直角三角形，即可得到平方關(guān)系；或者根據(jù)圓的定義，結(jié)合距離公式，得到平方關(guān)系。利用圓的定義及幾何性質(zhì)進(jìn)行證明，因?yàn)閱挝粓A在三角函數(shù)一章的學(xué)習(xí)中發(fā)揮重要的作用，包括后續(xù)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，兩角差的余弦公式推導(dǎo)，所以課堂教學(xué)中還是要引導(dǎo)學(xué)生使用單位圓進(jìn)行推導(dǎo)，理解單位圓在學(xué)習(xí)中的價(jià)值，即設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P坐標(biāo)為，而單位圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，也可得到.問(wèn)題3：（1）已知，求的值.判斷下列各式是否成立？①②③④師生活動(dòng)：(1)教師展示上述問(wèn)題，學(xué)生分組討論；(2)小組展示成果，其他小組評(píng)價(jià)補(bǔ)充；(3)教師引導(dǎo)學(xué)生一起總結(jié)升華。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)層層設(shè)問(wèn)，構(gòu)造認(rèn)知沖突，學(xué)生通過(guò)操作感知和小組討論，辨?zhèn)渭m錯(cuò)。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式中的“同角”，只需要角度相同即可，至于角的形式無(wú)關(guān)緊要，比如等，同時(shí)還要注意商數(shù)關(guān)系式和三角恒等式都是對(duì)于使它們有意義的角而言的。由特殊到一般，由具體到抽象，通過(guò)問(wèn)題3，剖析公式的條件，進(jìn)一步明確同角的意義，體會(huì)公式字母的可變性和關(guān)系的穩(wěn)定性，幫助學(xué)生不但從形式上弄清了“同角”的含義，而且從本質(zhì)上理角同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。問(wèn)題4：(1)已知，求的值；(2)已知，且是第三象限角，求的值；(3)已知，求的值；(4)已知，求的值.師生活動(dòng)：小組合作求解，并請(qǐng)不同小組成員闡述求解過(guò)程、求解思路，師生一起總結(jié)方法，并比較不同方法的特點(diǎn)。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)由特殊到一般再由一般到特殊的課本例題和習(xí)題的變式訓(xùn)練，加深對(duì)公式的理解和鞏固。問(wèn)題4的各小題設(shè)置有梯度，循序漸進(jìn)，適合學(xué)生的認(rèn)知水平差異，夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。在準(zhǔn)確、熟練運(yùn)用公式解決螺旋上升的問(wèn)題串中體悟分類討論和方程思想等基本數(shù)學(xué)思想方法。問(wèn)題5：已知，求下列式子的值：；(3)師生活動(dòng)：師生一起分析題意，小組合作求解，并請(qǐng)不同小組成員闡述求解過(guò)程、求解思路，師生一起總結(jié)方法，并比較不同方法的特點(diǎn)。設(shè)計(jì)意圖：“數(shù)學(xué)是思維的體操”，因此在教學(xué)中應(yīng)該盡可能地為學(xué)生創(chuàng)造活動(dòng)的機(jī)會(huì)。在課堂上創(chuàng)設(shè)條件讓學(xué)生主動(dòng)參與，提出問(wèn)題一要引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，給學(xué)生時(shí)間去思考，去交流，去展示。這里問(wèn)題5的(2)和(3)略有難度，讓學(xué)生主動(dòng)思考，積極交流，大膽展示，踴躍點(diǎn)評(píng)，這樣不僅可以發(fā)展學(xué)生的思維能力，同時(shí)還能發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。課堂小結(jié)教師提出問(wèn)題供學(xué)生思考：?jiǎn)栴}6：(1)本節(jié)課學(xué)習(xí)了同角三角函數(shù)的哪些基本關(guān)系？每個(gè)關(guān)系式成立的條件是什么？(2)本節(jié)課的學(xué)習(xí)主要解決了什么問(wèn)題？根據(jù)一個(gè)三角函數(shù)值求另外兩個(gè)三角函數(shù)值時(shí)如何進(jìn)行分類討論？(3)本節(jié)課體現(xiàn)了哪些基本數(shù)學(xué)思想方法？你還有什么疑問(wèn)嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生思考、小組討論、推舉代表發(fā)言，其它同學(xué)補(bǔ)充。教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行小結(jié)，并對(duì)學(xué)生回答情況進(jìn)行評(píng)價(jià)和補(bǔ)充。設(shè)計(jì)意圖：課堂小結(jié)以問(wèn)題串的方式請(qǐng)學(xué)生根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容有針對(duì)性地從知識(shí)和方法的角度進(jìn)行歸納總結(jié)，反思知識(shí)、方法上的體驗(yàn)、收獲，進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的記憶和掌握，起到加深鞏固的作用。同時(shí)積極關(guān)注學(xué)生的自主體驗(yàn)，不僅能讓學(xué)生再次回歸知識(shí)的生成過(guò)程，達(dá)成學(xué)生對(duì)知識(shí)的自我發(fā)現(xiàn)、自我生成、自我應(yīng)用、自我完善，讓學(xué)生獲得了成功的自我效能感，還可以讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想及化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法在解決問(wèn)題的過(guò)程中的應(yīng)用，讓學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)在平時(shí)