流體力學(xué)講義8-2教程文件

一、圓管內(nèi)粘性(zhānxìnɡ)不可壓縮流體的定常層流流動(Hagen-Poiseuille流動)（1）物理(wùlǐ)問題：工程問題：水平設(shè)置，質(zhì)量力不計，管道很長，流動均勻，欲知輸送距離為L的管道上所需的壓強差。設(shè)：流量恒定，因此流動定常。流體力學(xué)可求解：在無限長等截面(jiémiàn)水平圓管內(nèi)的粘性不可壓流體的定常層流流動中。已知：圓管直徑D、長度L、流量和流體的物性（如：密度和粘度），計算兩截面(jiémiàn)1和2間的壓強差圓管Poiseulli流動示意圖

第一頁，共20頁。（2）簡化(jiǎnhuà)與求解流動的幾何邊界是圓柱面，取固結(jié)于圓管的柱坐標(biāo)系()如圖所示。Z軸放在管中心，定常平行流動(liúdòng)的簡化方程在此坐標(biāo)系中可寫為：常數(shù)

邊界條件為:

第二頁，共20頁。（2）簡化(jiǎnhuà)過程與求解分析實際問題，提出簡化流動模型，是用流體力學(xué)理論解決問題的重要步驟，某種意義上說，它比求解方法(fāngfǎ)更為關(guān)鍵。為此，現(xiàn)從不可壓縮牛頓流體的運動方程出發(fā)，詳細討論簡化過程，N-S在柱坐標(biāo)系中的表達式為邊界條件為:第三頁，共20頁。（2）簡化過程(guòchéng)與求解流動特征：流體在無限長直圓管中由流向壓降驅(qū)動，流動是單向的定常的平行流動；且由于(yóuyú)圓管無限長，單向流動沿流動方向是均勻的、在周向是軸對稱的。所以此流場可簡化為：上式代入基本方程和邊界條件，可得以下(yǐxià)結(jié)果：(c)將和，代入方向的運動方程，自動滿足；

(b)將，代入徑向動量方程，得；

(a)將和代入連續(xù)方程，原方程得到滿足；第四頁，共20頁。（2）簡化(jiǎnhuà)與求解(d)由(b)和(c)可知壓強只是(zhǐshì)流向坐標(biāo)的函數(shù)，P=P(z)將和，代入z方向的運動方程(fāngchéng)可得到：常數(shù)上式中只是z的函數(shù)，而只是r的函數(shù)，要使等式成立，兩項都必須是常量。

(e)將，代入邊界條件表達式，得到：

第五頁，共20頁。（2）簡化(jiǎnhuà)與求解簡化的基本方程和邊界條件構(gòu)成定解問題，只要解出該邊值問題，它就是此問題的解。由簡化后表達式可看出(kànchū)，非線性的慣性項消失了，只需積分兩次，就可得到它的一般解。積分(jīfēn)一次得：再積分一次得：根據(jù)該問題的物理特性，在管道中的流動速度應(yīng)處處有界，所以必有：。由管壁邊界條件，，得：。，速度場的解為:第六頁，共20頁。（3）解的分析(fēnxī)與應(yīng)用體積(tǐjī)流量公式：(c)平均速度(pínɡjūnsùdù)（圓管截面上的平均速度(pínɡjūnsùdù)）：式中R是圓管半徑。上式是圓管中層流運動的流量和壓降間關(guān)系式。討論：(a)圓管截面上的速度是拋物線分布；(b)最大速度在處，可見圓管中平均速度是最大速度之半。第七頁，共20頁。（3）解的應(yīng)用(yìngyòng)與分析(d)粘度計公式(gōngshì)：圓管層流(cénɡliú)運動的流量公式由Hagen-Poiseuille最先導(dǎo)出，故又稱Hagen-Poiseuille公式。由流量公式可得到流體的粘性系數(shù)的計算公式如下：

第八頁，共20頁。油平均速度可得沿程阻力(zǔlì)系數(shù)公式為：

式中（3）解的應(yīng)用(yìngyòng)與分析（ii）若是有限長圓管，本節(jié)公式在管道進出口處不適用。離進出口截面(jiémiàn)一定距離的流動才符合上述結(jié)果。（i）以上結(jié)果對應(yīng)無限長圓管中不可壓縮牛頓型流體的層流運動，又稱“完全發(fā)展的圓管層流流動”，與實驗結(jié)果符合良好。(e)沿程阻力系數(shù)

定義：無量綱數(shù)為圓管流動的沿程阻力系數(shù)。注意：第九頁，共20頁。二、兩平行平板間流動(liúdòng)的速度場（1）物理問題(wèntí)及簡化水平放置的兩塊無限大平行平板間充滿了不可壓縮牛頓流體，不計質(zhì)量力,平板間的距離為2h，如圖，已知上板以等速度U沿x軸正方向運動，下板固定。截面1和2上恒定(héngdìng)壓強分別為P1和P2，求平板間速度分布及應(yīng)力分布平面Couette流動示意圖

第十頁，共20頁。（1）物理問題(wèntí)及簡化流動的幾何邊界是平行(píngxíng)平面，流動方向平行(píngxíng)于X軸，用直角坐標(biāo)描述該流場最合適。如圖取固結(jié)于下平板的坐標(biāo)系(x,y,z)，此時

流體的運動方程簡化為：

邊界條件是：

第十一頁，共20頁。（2）求解(qiújiě)速度場動量方程積分兩次得：

應(yīng)用邊界條件得：，，于是所求問題的解為：流場性質(zhì)(xìngzhì)：(a)它由兩部分線性迭加組成(zǔchénɡ)，一部分是壓降驅(qū)動的流動，速度是拋物線分布；另一部分由上平板拖動，速度呈線性分布。第十二頁，共20頁。（2）速度(sùdù)場(b)剪應(yīng)力分布牛頓切應(yīng)力公式可得

：表明一部分切應(yīng)力由壓降引起，呈線性分布；另一部分由上板移動所引起，切應(yīng)力為常數(shù)。(c)流量公式：兩平板(píngbǎn)間單位寬度的體積流量為：(d)截面(jiémiàn)平均速度第十三頁，共20頁。（2）速度(sùdù)場(e)平面(píngmiàn)Poiseuille流動兩固定的平行平板間由壓強差驅(qū)動的流動稱平面Poiseuille流動，以上結(jié)果(jiēguǒ)中令U=0，得平面Poiseuille流動的速度分布及流動特性如下：即，平面Poiseuille流動的速度剖面也是拋物線，最大速度在y=0處：

流量：平均速度：第十四頁，共20頁。切應(yīng)力分布：最大剪應(yīng)力在平板上(y=h)：沿程阻力系數(shù)：式中：。

（2）速度(sùdù)場第十五頁，共20頁。三、Couette流動(liúdòng)

（1）物理問題及簡化無限長同心圓柱和圓筒間充滿不可壓縮牛頓流體，內(nèi)柱以等角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，這時在環(huán)形空間(kōngjiān)內(nèi)的流動稱為Couette流動。求圓柱環(huán)內(nèi)的流體速度分布(fēnbù)和作用在柱面上的剪應(yīng)力？圖Taylor-Couette流動示意圖

第十六頁，共20頁。（1）物理問題(wèntí)及簡化根據(jù)該流場的幾何特征，用柱坐標(biāo)，將柱坐標(biāo)的軸線和同心圓柱的軸線重合，已知：，分別為內(nèi)圓柱的外徑和和外圓筒的內(nèi)徑，內(nèi)圓柱以ω等角速度轉(zhuǎn)動。由邊界條件的軸對稱性和驅(qū)動條件的恒定性，推測流場是定常軸對稱的，即：，，

柱坐標(biāo)系中:連續(xù)(liánxù)方程自動滿足；軸向動量方程:，壓強只是r的函數(shù)；周向動量方程:徑向動量方程:邊界條件：第十七頁，共20頁。（2）速度(sùdù)場設(shè)代入方程，可得：，解得n=±1，即：利用邊界條件，求出積分常數(shù)：最后得：第十八頁，共20頁。（3）應(yīng)力(yìnglì)與力矩上式也可用作測量流體粘度的公式，只要測定內(nèi)圓柱上流體作用力矩和轉(zhuǎn)速以及內(nèi)外圓柱的半徑，就可由該式計算流體動力粘度系數(shù)。壓強分布：可將速度分布公式代入徑向動量(dòngliàng)方程積分求出，說明：壓強的定解條件是必須給定流場一點的壓