曲線運動萬有引力奧賽講義

第三部分曲線運動萬有引力第一講基本知識介紹一、 曲線運動1、 概念、性質(zhì)2、 參量特征二、 曲線運動的研究方法一一運動的分解與合成1、 法則與對象2、 兩種分解的思路a、 固定坐標分解（適用于勻變速曲線運動）建立坐標的一般模式一一沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐標；提高思想一一根據(jù)解題需要建直角坐標或非直角坐標。b、 自然坐標分解（適用于變加速曲線運動）基本常識：在考查點沿軌跡建立切向t、法向n坐標，所有運動學矢量均沿這兩個方向分解。動力學方程〈^［一工'，其中a改變速度的大?。ㄋ俾剩琣改變速度的方向。且a=m^2動力學方程〈〉,F=ma t n npn n其中p表示軌跡在考查點的曲率半徑。定量解題一般只涉及法向動力學方程。三、 兩種典型的曲線運動1、 拋體運動（類拋體運動）關于拋體運動的分析，和新課教材“平跑運動”的分析基本相同。在坐標的選擇方面，有靈活處理的余地。2、 圓周運動勻速圓周運動的處理：運動學參量v、3、n、a、f、T之間的關系，向心力的尋求于合成；臨界問題的理解。變速圓周運動：使用自然坐標分析法，一般只考查法向方程。四、 萬有引力定律1、 定律內(nèi)容2、 條件a、 基本條件b、 拓展條件：球體（密度呈球?qū)ΨQ分布）外部空間的拓展；球體（密度呈球?qū)ΨQ分布）內(nèi)部空間的拓展一一“剝皮法則”c、 不規(guī)則物體間的萬有引力計算一一分割與矢量疊加五、 開普勒三定律天體運動的本來模式與近似模式的差距，近似處理的依據(jù)。六、 宇宙速度、天體運動1、 第一宇宙速度的常規(guī)求法2、 從能量角度求第二、第三宇宙速度萬有引力勢能ep=—G^m

3、解天體運動的本來模式時，應了解橢圓的數(shù)學常識第二講重要模型與專題一、小船渡河物理情形：在寬度為d的河中，水流速度v2恒定。岸邊有一艘小船，保持相對河水恒定的速率v1渡河，但船頭的方向可以選擇。試求小船渡河的最短時間和最小位移。模型分析：小船渡河的實際運動（相對河岸的運動）由船相對水流速度七和水相對河岸的速度v2合成?？梢栽O船頭與河岸上游夾角為。（即V1的方向），速度矢量合成如圖1（學生活動）用余弦定理可求v合的大小v=1，V2+V2一2vvcos0合' 1 2 12vsin0（學生活動）用正弦定理可求v合的方向。令v合與河岸下游夾角為a,vsin0a=arcsin, Jv2+v2-2vvcos01、求渡河的時間與最短時間由于合運動合分運動具有等時性，故渡河時間既可以根據(jù)合運動求，也可以根據(jù)分運動去求。針對由于合運動合分運動具有等時性，這一思想，有以下兩種解法解法一：t=Mv合其中v合可用正弦定理表達，d/sinav^in0

解法一：t=Mv合其中v合可用正弦定理表達，d/sinav^in0

sinavsin0解法二:St=—vid/sin0vsin0此外，結合靜力學正交分解的思想，我們也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐標x、y，然后先將v1分解（v2無需分解），再合成，如圖2所示。而且不難看出，合運動在x、y方向的分量vx和vy與v1在x、y方向的分量v1x、v1y以及v2具有以下關系vy=v1y故有vx=v2-v1x故有由于合運動沿y方向的分量Sy三d，

即“Sdd解法三：t=1=——=———vvvsin9t（9）函數(shù)既已得出，我們不難得出結論當9=90。時，渡河時間的最小值tmin=?-1（從“解法三”我們最容易理解t為什么與v2無關，故tmin也與v2無關。這個結論是意味深長的。）2、求渡河的位移和最小位移在上面的討論中，小船的位移事實上已經(jīng)得出，即sinav—sin9v合d.W2+v2-2vvcon9

—-_1 2 1_2 sinav—sin9v合vsin9但S合（9）函數(shù)比較復雜，尋求S合的極小值并非易事。因此，我們可以從其它方面作一些努力。將S合沿x、y方向分解成Sx和Sy/因為Sy三d，要S合極小，只要Sx極小就行了。而Sx（9）函數(shù)可以這樣求一一 口解法Sx=v解法Sx=vxt=(v2-vix)S~^yvy(v2"cos9)dv1sin9為求極值，令cos9=p，則sin9=j-p2，再將上式兩邊平方、整理，得到v2（S2+d2）p2-2vvd2p+d2v2-S2v2=0這是一個關于p的一元二次方程，要p有解，須滿足小巳0，即4v2v2d4N4v2（S2+d2）（d2v2-S2v2）整理得S2v2Nd2（v2-v2）d v所以，S.=—i.'v2-v2，代入S（9）函數(shù)可知，此時cos9=—xminvv2 1 x v最后，S.=—+s?=、dmin，xminyv1此過程仍然比較繁復，且數(shù)學味太濃。結論得出后，我們還不難發(fā)現(xiàn)一個問題：當v2<v1時，Smin<d，這顯然與事實不符。（造成這個局面的原因是：在以上的運算過程中，方程兩邊的平方和開方過程中必然出現(xiàn)了增根或遺根的現(xiàn)象）所以，此法給人一種玄乎的感覺。解法二：純物理解一一矢量三角形的動態(tài)分析從圖2可知，Sy恒定，Sx越小，必有S合矢量與下游河岸的夾角越大，亦即v合矢量與下游河岸的夾角越大（但不得大于90°）。我們可以通過v1與v2合成v合矢量圖探討v合與下游河岸夾角的最大可能。

先進行平行四邊形到三角形的變換，如圖3所示。當。變化時，v合矢量的大小和方向隨之變化，具體情況如圖4所示。從圖4不難看出，只有當va和虛線半圓周相切時，va與v2（下游）的夾角才會最大。此時，v.±合 合 2 合v，v、v和V構成一個直角三角形，a=arcsini1 1 2合 max v22v并且，此時：。=arccos-^v2v有Cmax的值，結合圖1可以求出：S合min=了d1最后解決v2<v1時結果不切實際的問題。從圖4可以看出，當v2<v1時，v合不可能和虛線半圓周相切（或a=arcsini無解），結合實際情況，a取90°max v max2即：v即：v2<v1時，S合min=d，此時，v9=arccosv1結論：若v<v，9=arccos^時，S.=^d1 2 v 合min vv若v2<v1，9=arccos^2時，S合min=d1、滑輪小船物理情形：如圖5所示，岸邊的汽車用一根不可伸長的輕繩通過定滑輪牽引水中的小船，設小船始終不離開水面，且繩足夠長，求汽車速度終不離開水面，且繩足夠長，求汽車速度v1和小船速度v2的大小關系。模型分析：由于繩不可伸長，滑輪右邊繩子縮短的速率即是汽車速度的大小v1，考查繩與船相連的端點運動情況，vj和v2必有一個運動的合成與分解的問題。

（學生活動）如果V1恒定不變，v2會恒定嗎？若恒定，說明理由；若變化，定性判斷變化趨勢。結合學生的想法，介紹極限外推的思想：當船離岸無窮遠時，繩與水的夾角趨于零，v2—V1。當船比較靠岸時，可作圖比較船的移動距離、繩子的縮短長度，得到v2>v1。故“船速增大”才是正確結論。故只能引入瞬時方位角。，看v1和v2的瞬時關系。（學生活動）V1和V2定量關系若何？是否可以考慮用運動的分解與合成的知識解答？針對如圖6所示的兩種典型方案，初步評說一一甲圖中v2=v1cos0，船越靠岸，。越大，v2越小，和前面的定性結論沖突，必然是錯誤的。錯誤的根源分析：和試驗修TOC\o"1-5"\h\z訂本教材中“飛機起飛”的運動 v分析進行了不恰當?shù)芈?lián)系。仔細 *?、...，比較這兩個運動的差別，并聯(lián)系 相不 土 . ....“小船渡河”的運動合成等事 J ；. 圣f例，總結出這樣的規(guī)律一一 | 戲 /合運動是顯性的、軌跡實在 只'' "■,/■的運動，分運動是隱性的、需要 二分析而具有人為特征（無唯一 '性）的運動。 悶，3解法一：在圖6（乙）中，當我們挖掘、分析了滑輪繩子端點的運動后，不難得出：船的沿水面運動是v2合運動，端點參與繩子的縮短運動v1和隨繩子的轉(zhuǎn)動v轉(zhuǎn)，從而肯定乙方案是正確的。即：v=v即：v=v/cos0AB是繩的初識位置，AC艮是繩的末位置，在AB上取AD=AC得D點，并連接CD。顯然，圖中BC是船的位移大小，DB是繩子的縮短長度。由于過程極短，等腰三角形ACD的頂角ZA-0，則底角ZACD-90°，ACDB趨于直角三角形。將此三角放大成圖7（乙），得出：S2=S1/cos0。鑒于過程極短，繩的縮短運動和船的運動都可以認為是勻速的，即：S2=v2t，S1=v1t。所以：v2=v1/cos0三、斜拋運動的最大射程物理情形：不計空氣阻力，將小球斜向上拋出，初速度大小恒為v0，方向可以選擇，試求小球落回原高度的最大水平位移（射程）。模型分析：斜拋運動的常規(guī)分析和平拋運動完全相同。設初速度方向與水平面夾。角，建立水平、豎直的X、y軸，將運動學參量沿x、y分解。針對拋出到落回原高度的過程10=Sy=v0yt+2（-g）t2Sx=v0xtV2解以上兩式易得：SX=-g^sin20V2結論：當拋射角0=45。時，最大射程S =0xmaxg（學生活動）若v0、e確定，試用兩種方法求小球到達的最大高度。運動學求解一一考查豎直分運動即可；能量求解一一注意小球在最高點應具備的速度v0x，然后對V2sin2拋出到最高點的過程用動能定理或機械能守恒。結論：Hm=02g 。四、物體脫離圓弧的討論物理情形：如圖8所示，長為L的細繩一端固定，另一端系一小球。當小球在最低點時，給球一個vo=2\：''gL的水平初速，試求所能到達的最大高度。模型分析：用自然坐標分析變速圓周運動的典型事例。能量關系的運用，也是對常規(guī)知識的復習。（學生活動）小球能否形成的往復的擺動？小球能否到達圓弧的最高點C？通過能量關系和圓周運動動力學知識的復習，得出：小球運動超過B點、但不能到達C點（vC巳％；gL），即小球必然在BC之間的某點脫離圓弧。 毗-6A（學生活動）小球會不會在BC之間的某點脫離圓弧后 ■；,o作自由落體運動？盡管對于本問題，能量分析是可行的（BC之間不可能出現(xiàn)動能為零的點，則小球脫離圓弧的初速度vD不可能為零），但用動力學的工具分析，是本模型的重點一一在BC階段，只要小球還在圓弧上，其受力分析必如圖9所示。沿軌跡的切向、法向分別建T、n坐標，然后將重力G沿t、n分解為G/口Gn分量，T為繩子張力。法向動力學方程為v2T+Gn=^Fn=man=m—ffl9由于TN0,Gn>0，故v/0。（學生活動：若換一個v0值，在AB階段，v=0是可能出現(xiàn)的；若將繩子換成輕桿，在BC階段v=0也是可能出現(xiàn)的。）下面先解脫離點的具體位置。設脫離點為D，對應方位角為。，如圖8所示。由于在D點之后繩子就要彎曲，則此時繩子的張力T為零，而此時仍然在作圓周運動，故動力學方程仍滿足V2Gn=Gsin9=m— ①在再針對A-D過程，小球機械能守恒，即（選A所在的平面為參考平面）:1mV2+0=mg（L+Lsin9）+萬mvD代入v0值解①、②兩式得：9『sin3，（同時得到：VD=\：撲）小球脫離D點后將以VD為初速度作斜向上拋運動。它所能到達的最高點（相對A）可以用兩種方法求得。解法一：運動學途徑。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"先求小球斜拋的最大高度，、=曳孕竺=VD（1-sin2e）m2g 2g代入9和vd的值得：hm —L匕/50小球相對A的總高度：Hm=L+Lsin9+hm —L匕/解法二：能量途徑小球在斜拋的最高點仍具有vD的水平分量，即vDsin9=2；'3gL。對A—最高點的過程用機械能守恒定律（設A所在的平面為參考平面），有11^mv2+0=^m（VDsine）2+mgHm50容易得到：Hm=3L五、萬有引力的計算物理情形：如圖9所示，半徑為R的均質(zhì)球質(zhì)量為M,球心在O點，現(xiàn)在被內(nèi)切的挖去了一個半徑為R/2的球形空腔（球心在O'）。在O、O'的連線上距離O點為d的地方放有一個很小的、質(zhì)量為m的物體，試求這兩個物體之間的萬有引力。模型分析：無論是“基本條件”還是“拓展條件”，本模型都很難直接符合，因此必須使用一些特殊的處理方法。本模型除了照應萬有引力的拓展條件之外，著重介紹“填

補法”的應用?？涨焕铿F(xiàn)在雖然空無一物，但可以看成是兩個半徑為R/2的球的疊加：一個的質(zhì)量為+M/8,一個的質(zhì)量為一M/8。然后，前者正好填補空腔一一和被挖除后剩下的部分構成一個完整的均質(zhì)球A；注意后者，雖然是一個比較特殊的物體（質(zhì)量為負值），但仍然是一個均質(zhì)的球體，命名為B。既然A、B兩物均為均質(zhì)球體，他們各自和右邊小物體之間的萬有引力，就可以使用“拓展條件”中的定勢來計算了。只是有一點需要說明，B物的質(zhì)量既然負值，它和m之間的萬有“引力”在方向上不再表現(xiàn)為吸引，而應為排斥一一成了“萬有斥力”了。具體過程如下MmFAm=G〒M一-M一-mFBm=GZ^RaAd-R"2JMm=一G R—8(d--)2m1 Mm1^mvam1 Mm1^mva+(—G )=2mv*+—Mm(—G )a+c圈11比較A、B兩點，應用開普勒第二定律，有：vA（a—c）=vB(a+c)結合橢圓的基本關系：c=va2-b2MmMm最后，兩物之間的萬有引力F=FAm+FBm=G —G r—d 8（d-萬）2需要指出的是，在一部分同學的心目中，可能還會存在另一種解題思路，那就是先通過力矩平衡求被挖除物體的重心（仍然要用到“填補法”、負質(zhì)量物體的重力反向等），它將在O、O'的連線上距離O點左側R/14處，然后“一步到位”地求被挖除物與m的萬有引力M—-mF=G7r（d+）214然而，這種求法違背了萬有引力定律適用的條件，是一種錯誤的思路。六、天體運動的計算物理情形：地球和太陽的質(zhì)量分別為m和M，地球繞太陽作橢圓運動，軌道的半長軸為a，半短軸為b，如圖11所示。試求地球在橢圓頂點A、B、C三點的運動速度，以及軌跡在A、C兩點的曲率半徑。模型分析：求解天體運動的本來模式，常常要用到開普勒定律（定量）、機械能守恒（萬有引力勢能X橢圓的數(shù)學常識等等，相對高考要求有很大的不同。地球軌道的離心率很?。ㄆ渲?O0.0167，其中ca為半焦距），這是我們常常能將它近似為圓的原因。為了方便說明問題，在圖11中，我們將離心率夸大了。針對地球從A點運動到針對地球從A點運動到B點的過程，解以上三式可得：vA?A.解以上三式可得：vA?A.a+仲2-b2,'GM

bVBa-&2-b2:GM

b a再針對地球從A到C的過程，應用機械能