廣東省廣州市市越秀外國語學(xué)校2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣東省廣州市市越秀外國語學(xué)校2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.若sin（α+β）=，則為（）A．5 B．﹣1 C．6 D．參考答案：A【考點(diǎn)】三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值．【專題】計算題．【分析】由兩角和差的正弦公式，解得sinαcosβ=，cosαsinβ=，相除求得的值．【解答】解：由題意可得sinαcosβ+cosαsinβ=，sinαcosβ﹣cosαsinβ=，解得sinαcosβ=，cosαsinβ=，∴=5，故選A．【點(diǎn)評】本題考查兩角和差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求出sinαcosβ=，cosαsinβ=，是解題的關(guān)鍵．2.點(diǎn)P（x，y）在直線x+y﹣4=0上，O是原點(diǎn)，則|OP|的最小值是（）A．B． C． D．2參考答案：B【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【專題】計算題．【分析】過O作已知直線的垂線，垂足為P，此時|OP|最小，所以|OP|最小即為原點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出即可．【解答】解：由題意可知：過O作已知直線的垂線，垂足為P，此時|OP|最小，則原點(diǎn)（0，0）到直線x+y﹣4=0的距離d==2，即|OP|的最小值為2．故選B．【點(diǎn)評】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡求值，是一道綜合題．解答本題的關(guān)鍵是找到|OP|的最小時即OP垂直與已知直線．3.有20位同學(xué)，編號從1至20，現(xiàn)在從中抽取4人作問卷調(diào)查，用系統(tǒng)抽樣方法確定所抽的編號為（

）A.5,10,15,20

B.2,6,10,14

C.2,4,6,8

D.5,8,11,14參考答案：A4.設(shè)是定義在(-￥，+￥)上的偶函數(shù),且它在[0，+￥)上單調(diào)遞增,若,,，則

的大小關(guān)系是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C略5.已知，則的大小關(guān)系是A．

B．

C．

D．

參考答案：A6.下列四個集合中，是空集的是（

）A．

B．C．

D．參考答案：D略7.（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=，若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，則關(guān)于x的方程f（x）=x的解的個數(shù)為（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4參考答案：C考點(diǎn)： 根的存在性及根的個數(shù)判斷．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 由題意可得bc的方程組，解之可得bc的值，令f（x）=x化為方程組解之可得．解答： 由f（﹣4）=f（0）可得16﹣4b+c=c，解之可得b=4，再由f（﹣2）=﹣2可得4﹣2b+c=﹣2，解之可得c=2，故f（x）=，令f（x）=x可得，或，解之可得x=3，或x=﹣1，或x=﹣2故選C點(diǎn)評： 本題考查根的存在性及個數(shù)的判斷，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的系數(shù)，屬中檔題．8.已知函數(shù)f（x）=，函數(shù)g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函數(shù)y=f（x）﹣g（x）恰有4個零點(diǎn)，則b的取值范圍是(

)A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（0，） D．（，2）參考答案：D【考點(diǎn)】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【專題】創(chuàng)新題型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】求出函數(shù)y=f（x）﹣g（x）的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函數(shù)h（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，設(shè)h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，則﹣x≥0，2﹣x≥2，則h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，則﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，則h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜2，2﹣x＜0，則h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函數(shù)h（x）的圖象如圖：當(dāng)x≤0時，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，當(dāng)x＞2時，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故當(dāng)b=時，h（x）=b，有兩個交點(diǎn)，當(dāng)b=2時，h（x）=b，有無數(shù)個交點(diǎn)，由圖象知要使函數(shù)y=f（x）﹣g（x）恰有4個零點(diǎn)，即h（x）=b恰有4個根，則滿足＜b＜2，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．9.偶函數(shù)滿足，且在時，，若直線與函數(shù)的圖象有且僅有三個交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．

C． D．參考答案：B10.已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，＝(n∈N*)，則a20等于

()參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線m被兩平行線與所截得的線段的長為2，則m的傾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°；⑥90°.其中正確答案的序號是_____．參考答案：②⑥【分析】先求兩平行線間的距離，結(jié)合題意直線m被兩平行線l1與l2所截得的線段的長為2，求出直線m與l1的夾角為30°，推出結(jié)果．【詳解】兩平行線間的距離為，直線m被兩平行線l1與l2所截得的線段的長為2，故直線m與l1的夾角為30°，l1的傾斜角為60°，所以直線m的傾斜角等于30°+60°＝90°或60°﹣30°＝30°．故答案為：②⑥【點(diǎn)睛】本題考查直線的斜率、直線的傾斜角，兩條平行線間的距離，考查數(shù)形結(jié)合的思想．12.設(shè)x,y滿足約束條件,則z=2x-3y的最小值是

參考答案：略13.對于任意實(shí)數(shù)x，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[2]=2；[2.1]=2；[﹣2.2]=﹣3．函數(shù)y=[x]叫做“取整函數(shù)”，它在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用．則[log31]+[log32]+[log33]+…+[log311]的值為

．參考答案：12【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】直接利用新定義，化簡求解即可．【解答】解：由題意可知：[log31]=0，[log33]=1，[log39]=2，∴[log31]+[log32]+[log33]+…+[log311]=0+0+1+1+1+1+1+1+2+2+2=12，故答案為：12．14.（5分）一個幾何體的三視圖如圖所示，那么此幾何體的側(cè)面積（單位：cm2）為

．參考答案：80cm2考點(diǎn)： 由三視圖求面積、體積．專題： 計算題．分析： 由三視圖判斷幾何體的特征，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)關(guān)系，求出幾何體的側(cè)面積．解答： 由三視圖復(fù)原幾何體可知，此幾何體為正四棱錐，底面邊長為8，側(cè)面上的高為5，所以S側(cè)=4××8×5=80cm2．故答案為：80cm2．點(diǎn)評： 本題是基礎(chǔ)題，考查三視圖與直觀圖的關(guān)系，考查計算能力，正確判斷幾何體的特征是解題的關(guān)鍵．15.函數(shù)f（x）=（m2﹣1）xm是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為．參考答案：

【考點(diǎn)】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】只有y=xα型的函數(shù)才是冪函數(shù)，當(dāng)m2﹣1=1函數(shù)f（x）=（m2﹣1）xm才是冪函數(shù)，又函數(shù)f（x）=（m2﹣1）xm在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)，所以冪指數(shù)應(yīng)大于0．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=（m2﹣1）xm是冪函數(shù)，∴m2﹣1=1，解得：m=±，m=時，f（x）=在（0，+∞）上是增函數(shù)，m=﹣時，f（x）=在（0，+∞）上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m=，故答案為：．16.用“＜”或“＞”號填空：0.50.80.50.7；log125log1215．參考答案：＜；=略17.設(shè)函數(shù)．若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為___________．參考答案：【分析】首先根據(jù)奇函數(shù)的定義，得到，即，從而確定出函數(shù)的解析式，之后對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得對應(yīng)切線的斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線的方程，最后整理成一般式，得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，從而得到，即，所以，所以，所以切點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)?，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故答案是.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)圖象在某點(diǎn)處的切線問題，涉及到的知識點(diǎn)有奇函數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于簡單題目.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知集合，集合．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求．參考答案：（Ⅰ）．

…6分（Ⅱ）

…12分19.（10分）如圖，已知兩條直線l1:x-3y+12=0,l2:3x+y-4=0，過定點(diǎn)P(-1，2)作一條直線l，分別與l1,l2交于M、N兩點(diǎn)，若P點(diǎn)恰好是MN的中點(diǎn)，求直線l的方程.參考答案：參考答案：設(shè)所求直線l的方程為：y=k(x+1)+2由交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM=.由交點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN=∵P為MN的中點(diǎn)，∴.所求直線l的方程為x+2y-3=0.

略20.如圖，公園有一塊邊長為2的等邊△ABC的邊角地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上.(1).設(shè)（x≥0），，求用表示的函數(shù)關(guān)系

式,并求函數(shù)的定義域；(2).如果是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望它最短，的位置應(yīng)在哪里？如果是參觀線路，則希望它最長，的位置又應(yīng)在哪里？請予證明.

參考答案：略21.已知數(shù)列{an}滿足：，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.（Ⅰ）試求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足：，試求{bn}的前n項(xiàng)和公式Tn；參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由知，兩式相減得到，由此能導(dǎo)出的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，利用錯位相減法即可求出．【詳解】解：（Ⅰ）①②②①得又時，（Ⅱ）③④③④得整理得：【點(diǎn)睛】本題主要考查了已知來求以及錯位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題．22.2019年3月22日是第二十七屆“世界水日”，3月22~28日是第三十二屆“中國水周”．我國紀(jì)念2019年“世界水日”和“中國水周”活動的宣傳主題為“堅持節(jié)水優(yōu)先，強(qiáng)化水資源管理”．某中學(xué)課題小組抽取A、B兩個小區(qū)各20戶家庭，記錄他們4月份的用水量（單位：t）如下表：A小區(qū)家庭月用水量(t)612271528182223323525261227152930312324B小區(qū)家庭月用水量(t)32171989241226131416518631112512275

（1）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面的莖葉圖，從莖葉圖看，哪個小區(qū)居民節(jié)水意識更好？A

B

0

1

2

3

（2）從用水量不少于30t的家庭中，A、B兩個小區(qū)各隨機(jī)抽取一戶，求A小區(qū)家庭的用水量低于B小區(qū)的概率．參考答案：（1）見解析（2）【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)繪制出莖葉圖，并結(jié)合莖葉圖中數(shù)據(jù)的分布可比較出兩個小區(qū)居民節(jié)水意識；（2）列舉出所有的基本事件，確定所有的基本事件數(shù)，然后確定事件“A小區(qū)家庭的用水量低于B小區(qū)”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可計算出事件“A小