廣東省惠州市康達中學2021-2022學年高二數(shù)學理期末試題含解析

廣東省惠州市康達中學2021-2022學年高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知,若,則=(

)A．0.2

B．0.3 C．0.7

D．0.8參考答案：D略2.若直線y=k（x+4）與曲線x=有交點，則k的取值范圍是（）A．[﹣，] B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）參考答案：A考點：直線與圓的位置關系．專題：計算題；數(shù)形結(jié)合；直線與圓．分析：求得直線恒過定點（﹣4，0），曲線x=即為右半圓x2+y2=4，作出直線和曲線，通過圖象觀察，即可得到直線和半圓有交點時，k的范圍．解答：解：直線y=k（x+4）恒過定點（﹣4，0），曲線x=即為右半圓x2+y2=4，當直線過點（0，﹣2）可得﹣2=4k，解得k=﹣，當直線過點（0，2）可得2=4k，解得k=．由圖象可得當﹣≤k≤時，直線和曲線有交點．故選A．點評：本題考查直線和圓的位置關系，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．3.設全集是實數(shù),,則（

）A．

B.

C.

D.參考答案：A略4.命題：若，則與的夾角為鈍角.命題：定義域為R的函數(shù)在及上都是增函數(shù)，則在上是增函數(shù).下列說法正確的是（

）A.是真命題

B.是假命題

C.為假命題

D.為假命題參考答案：B略5.(本小題滿分12分)已知關于的不等式的解集為，（1）求的值；（2）解關于的不等式：參考答案：（1）由題意知且和3是方程的兩個根------3分

------------------------------------------------------------6分

------------------------------------------------------------7分（2）由（1）知不等式可化為

-------------------8分即

-------------------10分原不等式的解集為

----------------12分6.已知橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點恰好為一個正方形的四個頂點,則該橢圓的離心率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.如圖所示是的導數(shù)的圖像，下列四個結(jié)論：①在區(qū)間上是增函數(shù)； ②是的極小值點；③在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；④是的極小值點．

其中正確的結(jié)論是A．①②③

B．②③ C．③④

D．①③④參考答案：B8.過橢圓內(nèi)的一點P（2，﹣1）的弦，恰好被P點平分，則這條弦所在的直線方程是(

)A．5x﹣3y﹣13=0 B．5x+3y﹣13=0 C．5x﹣3y+13=0 D．5x+3y+13=0參考答案：A考點：橢圓的簡單性質(zhì)；中點坐標公式．專題：計算題．分析：設過點P的弦與橢圓交于A1，A2兩點，并設出他們的坐標，代入橢圓方程聯(lián)立，兩式相減，根據(jù)中點P的坐標可知x1+x2和y1+y2的值，進而求得直線A1A2的斜率，根據(jù)點斜式求得直線的方程．解答：解：設過點P的弦與橢圓交于A1（x1，y1），A2（x2，y2）兩點，則，且x1+x2=4，y1+y2=﹣2，∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0，∴kA1A2==．∴弦所在直線方程為y+1=（x﹣2），即5x﹣3y﹣13=0．故選A．點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)和直線與橢圓的位置關系．涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化9.是直線y=kx﹣1與曲線x2﹣y2=4僅有一個公共點的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】把直線y=kx﹣1方程代入曲線x2﹣y2=4，化為：（k2﹣1）x2﹣2kx+5=0，由△=0，解得k=．此時直線與雙曲線有唯一公共點．當k=±1時，直線y=kx﹣1與曲線x2﹣y2=4僅有一個公共點．j即可判斷出結(jié)論．【解答】解：把直線y=kx﹣1方程代入曲線x2﹣y2=4，化為：（k2﹣1）x2﹣2kx+5=0，由△=4k2﹣20（k2﹣1）=0，解得k=．此時直線與雙曲線有唯一公共點．當k=±1時，直線y=kx﹣1與曲線x2﹣y2=4僅有一個公共點．∴是直線y=kx﹣1與曲線x2﹣y2=4僅有一個公共點的充分不必要條件．故選：A．10.數(shù)列前n項的和為（ ）A．

B．C．

D． 參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點A（－3，1，2），則點A關于原點的對稱點B的坐標為

；AB的長為

；參考答案：B（3，-1，-2）,|AB|=略12.下列命題（為虛數(shù)單位）中正確的是①已知，則a＝b是為純虛數(shù)的充要條件；②當z是非零實數(shù)時，恒成立；③復數(shù)的實部和虛部都是－2；④如果，則實數(shù)a的取值范圍是；⑤復數(shù)，則其中正確的命題的序號是

。（注：把你認為正確的命題的序號都填上）。參考答案：②③④13.已知F是拋物線C:y2=4x的焦點，A,B是C上的兩個點，線段AB的中點為M（2,2），則△ABF的面積等于________.參考答案：214.各邊長為1的正四面體，內(nèi)切球表面積為，外接球體積為

．參考答案：【考點】球的體積和表面積．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關系與距離．【分析】畫出圖形，確定兩個球的關系，通過正四面體的體積，求出兩個球的半徑的比值，即可求棱長為1的正四面體的外接球體積、內(nèi)切球的表面積．【解答】解：設正四面體為PABC，兩球球心重合，設為O．設PO的延長線與底面ABC的交點為D，則PD為正四面體PABC的高，PD⊥底面ABC，且PO=R，OD=r，OD=正四面體PABC內(nèi)切球的高．設正四面體PABC底面面積為S．將球心O與四面體的4個頂點PABC全部連接，可以得到4個全等的正三棱錐，球心為頂點，以正四面體面為底面．每個正三棱錐體積V1=?S?r而正四面體PABC體積V2=?S?（R+r）根據(jù)前面的分析，4?V1=V2，所以，4??S?r=?S?（R+r），所以，R=3r，因為棱長為1，所以AD=，所以PD=，所以R=，r=所以棱長為1的正四面體的外接球體積為π?（）2=、內(nèi)切球的表面積為4π?（）2=，故答案為：，【點評】本題是中檔題，考查正四面體的內(nèi)切球與外接球的表面積，找出兩個球的球心重合，半徑的關系是解題的關鍵，考查空間想象能力，計算能力．15.已知幾何體的三視圖如圖所示,它的表面積是

．參考答案：16.擇優(yōu)班)．函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx＋ny－1＝0(m，n>0)上，則的最小值為________．參考答案：417.已知各項都為正項的等比數(shù)列的任何一項都等于它后面相鄰兩項的和，則該數(shù)列的公比

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.點，是橢圓：上兩點，點滿足.（1）若點M在橢圓上，求證：；（2）若，求點M到直線距離的取值范圍.參考答案：（1）詳見解析；（2）.【分析】（1）設點，由，可得，，由點橢圓上，∴，代入可得證明；（2）由（1）和，可得點在橢圓上.，設與直線平行且與橢圓相切的直線方程為，整理可得的值，可得點到直線距離的取值范圍.【詳解】解：設點，由，可得：，即.

①（1）∵點在橢圓上，∴.將①代入上式得，展開并整理得.∵點，在橢圓上，∴且.∴，即.（2），即點M在橢圓上.設與直線平行且與橢圓相切的直線方程為.消去并整理得，令判別式，即，解得.點到直線距離的最大值為，最小值為，∴點M到直線距離的取值范圍是.【點睛】本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)及向量與橢圓的綜合，及直線與橢圓的位置關系，相對較復雜，需注意運算的準確性.19.已知函數(shù)①求函數(shù)的最大值和最小值；②求的單調(diào)遞區(qū)間.參考答案：略20.已知二次函數(shù)(其中,t為常數(shù)）,的圖象如圖所示.

（1）根據(jù)圖象求a、b、c的值；

（2）求陰影面積S關于t的函數(shù)S(t)的解析式；

（3）若問是否存在實數(shù)m，使得的圖象與的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．參考答案：解：（1）由圖形知：

解之,得∴函數(shù)f（x）的解析式為

（2）由

得

∵，∴∴直線l1與f（x）的圖象的交點坐標為

由定積分的幾何意義知：.

（3）令因為x＞0，要使函數(shù)與函數(shù)有且僅有2個不同的交點，則函數(shù)的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點.

.當x∈（0，1）時，是增函數(shù)；當x∈（1，3）時，是減函數(shù)；當x∈（3，+∞）時，是增函數(shù)；

當x=1或x=3時，.∴.又因為當x無限趨近于零時，當x無限大時,所以要使有且僅有三個不同的正根，必須且只須

，即

故∴時，函數(shù)與的圖象有且只有三個不同交點略21.如圖，平面直角坐標系中，射線y=x（x≥0）和y=0（x≥0）上分別依次有點A1、A2，…，An，…，和點B1，B2，…，Bn…，其中，，．且，（n=2，3，4…）．（1）用n表示|OAn|及點An的坐標；（2）用n表示|BnBn+1|及點Bn的坐標；（3）寫出四邊形AnAn+1Bn+1Bn的面積關于n的表達式S（n），并求S（n）的最大值．參考答案：【考點】數(shù)列與解析幾何的綜合；數(shù)列遞推式．【分析】（1）由，能求出．（2）由，知，由此能用n表示|BnBn+1|及點Bn的坐標．（3）由，寫出四邊形AnAn+1Bn+1Bn的面積關于n的表達式S（n），并求出S（n）的最大值．【解答】解：（1）∵…∴…（2）…，∴…（3），∴…∵，∴n≥4時，S（n）單調(diào)遞減．又，