廣東省揭陽(yáng)市僑場(chǎng)中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

廣東省揭陽(yáng)市僑場(chǎng)中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在中，一定成立的等式是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略2.用“輾轉(zhuǎn)相除法”求得和的最大公約數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D3.下列屬于相關(guān)現(xiàn)象的是（）Ａ．利息與利率

Ｂ．居民收入與儲(chǔ)蓄存款Ｃ．電視機(jī)產(chǎn)量與蘋果產(chǎn)量

Ｄ．某種商品的銷售額與銷售價(jià)格參考答案：B4.已知集合，，則A∩B=（

）A.[0,3] B.(0,3] C.[－1,+∞) D.[－1,1)參考答案：B集合，，則.故選B.5.用反證法證明“設(shè)，為實(shí)數(shù)，則方程至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是（

）．A．方程至多有一個(gè)實(shí)根 B．方程至多有兩個(gè)實(shí)根C．方程恰好有兩個(gè)實(shí)根 D．方程沒(méi)有實(shí)根參考答案：D否定詞，至少有一個(gè)的否定為沒(méi)有．6.圓上的點(diǎn)到直線的距離最大值是（

）A

B

C

D

參考答案：B略7.命題p：?x∈R，x＞1的否定是（）A．￢p：?x∈R，x≤1 B．￢p：?x∈R，x≤1 C．￢p：?x∈R，x＜1 D．￢p：?x∈R，x＜1參考答案：A【考點(diǎn)】命題的否定．【專題】整體思想；定義法；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題進(jìn)行判斷即可．【解答】解：命題是特稱命題，則命題的否定是：?x∈R，x≤1，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．8.設(shè)集合，，，則圖中陰影（（

）部分所表示的集合是

A. B.

C. D.參考答案：B9.“”是“直線與直線平行”的（

）A．必要而不充分條件

B．充分而不必要條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略10.若復(fù)數(shù)z滿足

，則z的虛部為

A、

B、

C、

D、參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹(shù)型”圖：

設(shè)第個(gè)圖有個(gè)樹(shù)枝，則與之間的關(guān)系是．參考答案：略12.函數(shù)f（x）=x﹣lnx的單調(diào)減區(qū)間為．參考答案：{x|0＜x＜1}【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，然后令導(dǎo)函數(shù)小于0求x的范圍即可．【解答】解：∵f（x）=x﹣lnx∴f'（x）=1﹣=令＜0，則0＜x＜1故答案為：{x|0＜x＜1}13.已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P,函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)Q,且點(diǎn)P和點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.參考答案：【分析】由題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象有交點(diǎn)，即方程a+2lnx＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣2lnx，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的值域，可得答案．【詳解】函數(shù)y＝﹣x2﹣2的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象上存在點(diǎn)P，函數(shù)y＝﹣x2﹣2的圖象上存在點(diǎn)Q，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象有交點(diǎn)，即方程a+2lnx＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣2lnx，則f′（x），當(dāng)x∈[，1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，f′（x）＞0，故當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）取最小值3，由f（）4，f（e）＝e2，故當(dāng)x＝e時(shí)，f（x）取最大值e2，故a∈[3，e2]，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)圖象的對(duì)稱性，函數(shù)的值域，難度中檔．14.在直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離的最小值為

.參考答案：略15.已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（5，0），（﹣5，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為26，則橢圓的方程為

．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的定義．【專題】計(jì)算題．【分析】由題意可得：c=5，并且得到橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，再根據(jù)橢圓的定義得到a=13，進(jìn)而由a，b，c的關(guān)系求出b的值得到橢圓的方程．【解答】解：∵兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，0），（﹣5，0），∴橢圓的焦點(diǎn)在橫軸上，并且c=5，∴由橢圓的定義可得：2a=26，即a=13，∴由a，b，c的關(guān)系解得b=12，∴橢圓方程是

．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的定義，以及考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，此題屬于基礎(chǔ)題．16.稱集合A=的某非空子集中所有元素之和為奇數(shù)的集合為奇子集，問(wèn)A共有

_

個(gè)奇子集。（用數(shù)字作答）參考答案：25617.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）若在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn).（?。┣髮?shí)數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）；（ii）詳見(jiàn)解析.【分析】（Ⅰ）求出，列表討論的單調(diào)性，問(wèn)題得解。（Ⅱ）（i）由在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化成有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)，求出，討論的單調(diào)性，問(wèn)題得解。（ii）由得，將轉(zhuǎn)化成，由得單調(diào)性可得，討論在的單調(diào)性即可得證?！驹斀狻拷猓海á瘢┊?dāng)時(shí)，，，令，得.的單調(diào)性如下表：

-0+

單調(diào)遞減

單調(diào)遞增

易知.（Ⅱ）（i）.令，則.令，得.的單調(diào)性如下表：

-0+

單調(diào)遞減

單調(diào)遞增

在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，即在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合的單調(diào)性可知，且，即且.所以，即的取值范圍是.（ii）由（i）知，所以.又，，，結(jié)合的單調(diào)性可知，.令，則.當(dāng)時(shí)，，，，所以在上單調(diào)遞增，而，，因此.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，考查了分類思想及轉(zhuǎn)化思想，考查了極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，還考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于難題。19.（1）已知等比數(shù)列{an}中，a1=﹣1，a4=64，求q與S4（2）已知等差數(shù)列{an}中，a1=，d=﹣，Sn=﹣15，求n及an．參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】（1）由a1=﹣1，a4=64，可得﹣q3=64，解得q．利用求和公式即可得出．（2）等差數(shù)列{an}中，a1=，d=﹣，Sn=﹣15，可得﹣15=n+×，解得n，再利用通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：（1）∵a1=﹣1，a4=64，∴﹣q3=64，解得q=﹣4．∴S4==51．（2）∵等差數(shù)列{an}中，a1=，d=﹣，Sn=﹣15，∴﹣15=n+×，化為n2﹣7n﹣60=0，n∈N*，解得n=12．∴a12=+11×=﹣4．20.(本小題滿分12分)相關(guān)部門對(duì)跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行達(dá)標(biāo)定級(jí)考核，動(dòng)作自選，并規(guī)定完成動(dòng)作成績(jī)?cè)诎朔旨耙陨系亩檫_(dá)標(biāo)，成績(jī)?cè)诰欧旨耙陨系亩橐患?jí)運(yùn)動(dòng)員.已知參加此次考核的共有56名運(yùn)動(dòng)員.（1）考核結(jié)束后，從參加考核的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取了8人，發(fā)現(xiàn)這8人中有2人沒(méi)有達(dá)標(biāo)，有3人為一級(jí)運(yùn)動(dòng)員，據(jù)此請(qǐng)估計(jì)此次考核的達(dá)標(biāo)率及被定為一級(jí)運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)；（2）經(jīng)過(guò)考核，決定從其中的A、B、C、D、E五名一級(jí)運(yùn)動(dòng)員中任選2名參加跳水比賽（這五位運(yùn)動(dòng)員每位被選中的可能性相同）.寫出所有可能情況，并求運(yùn)動(dòng)員E被選中的概率.參考答案：（Ⅰ）依題意，估計(jì)此次考核的達(dá)標(biāo)率為一級(jí)運(yùn)動(dòng)員約有（人）

（Ⅱ）依題意，從這五人中選2人的基本事件有：（A、B）（A、C）（A、D）（A、E）

（B、C）（B、D）（B、E）（C、D）（C、E）（D、E），共10個(gè)

其中“E被選中”包含：（A、E）（B、E）（C、E）（D、E）4個(gè)基本事件，因此所求概率

21.統(tǒng)計(jì)表明：某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為，已知甲、乙兩地相距100千米.（1）當(dāng)汽車以40千米/時(shí)的速度行駛時(shí)，從甲地到乙要耗油多少升？（2）當(dāng)汽車以多大速度行駛時(shí)，從甲地到乙耗油最少？最少為多少升？參考答案：解（1）當(dāng)千米/小時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，要耗油（（升），所以，當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油17.5升………………5分（2）設(shè)速度為千米/小時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了時(shí)，設(shè)耗油量為升，依題意得，

……7分，令，得，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，當(dāng)，是增函數(shù)，.∴當(dāng)時(shí)，取得極小值.此時(shí)（升）

……12分當(dāng)汽車以80千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油量少，最少為11.25升.………13分

略22.（16分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C經(jīng)過(guò)A（2，﹣2），B（1，1）兩點(diǎn)，且圓心在直線x﹣2y﹣2=0上．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)圓C內(nèi)一點(diǎn)P（1，﹣1）作兩條相互垂直的弦EF，GH，當(dāng)EF=GH時(shí)，求四邊形EGFH的面積．（3）設(shè)直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，PQ=4，且△POQ的面積為，求直線l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；直線與圓．【分析】（1）求出線段AB的垂直平分線的方程，與直線x﹣2y﹣2=0聯(lián)立，求得圓心坐標(biāo)，再求出圓的半徑，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）C到直線EF，GH的距離相等，設(shè)為d，求出d后，進(jìn)而求出EF=GH，進(jìn)而得到答案．（3）求出PQ=4，分類討論，利用坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，即可求直線l的方程【解答】解：（1）因?yàn)锳（2，﹣2），B（1，1），所以kAB==﹣3，AB的中點(diǎn)為（，﹣），故線段AB的垂直平分線的方程為y+=（x﹣），即x﹣3y﹣3=0，…由，解得圓心坐標(biāo)為（0，﹣1）．…所以半徑r滿足r2=12+（﹣1﹣1）2=5．…故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+（y+1）2=5．…（2）∵EF=GH，∴C到直線EF，GH的距離相等，設(shè)為d

…則=1，即d=…∴EF=GH=2=3…∴四邊形EGFH的面積S=×=9…（3）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為h，因?yàn)椤鱌OQ的面積S==，∴h=．①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，由坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為知，直線l的方程為x=或x=﹣，經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)PQ≠4，